ANÁLISIS ESPECTRAL

    El análisis espectral de una señal digital tiene por objeto la descomposición de dicha señal en sus diversas componentes dentro del dominio frecuencial. Este análisis, que puede llevarse a efecto en un ordenador (vía software) o en un sistema digital con un hardware específico, es una técnica ampliamente utilizada en varias especialidades de ingeniería, ciencias aplicadas, y procesamiento de datos. Una tarea muy común en el análisis espectral es tratar de encontrar una determinada señal que está contaminada por otras, por ejemplo ruido.

    La FFT, a causa de su rapidez, es la herramienta más adecuada para llevar a cabo un análisis espectral. Cualquier algoritmo para calcular la FFT contiene un conjunto de coeficientes espectrales, armónicos, que se pueden entender como muestras de la correspondiente función espectral continua (Transformada continua de Fourier ).

    Veamos diversos ejemplos para familiarizarnos con esta técnica de análisis.

Ejemplo 1.- Se toman N = 128 muestras de la señal senoidal modulada x[n] definida por:

    Las cuatro componentes frecuenciales caracterizadas por b1 b2 b3 y b4 , de amplitudes a1 a2 a3 y a4 , corresponden exactamente con los armónicos b1 b2 b3 y b4.

    Se ha desarrollado un programa interactivo que permite visualizar dichos armónicos.

    En la Figura 8.2. se muestra la respuesta obtenida para b1 = 7; b2 = 21; b3 = 33; b4 = 0; a1 = 0.2 ; a2 = 0.4 ; a3 = 0.3 y a4 = 0. Los armónicos presentes son justamente el 7º , 21º, y 33º. La amplitud de dichos armónicos es proporcional a los valores de las ai respectivas. Observar la simetría en la respuesta.

Fig. 8.2.

Ejecutar. Analizar la respuesta obtenida para diferentes valores de ai y bi tanto positivos como negativos.

    Cuando las componentes bi no son números enteros la correspondiente muestra espectral no es única sino que existe una dispersión en un entorno del valor entero.

Ejemplo 2.- Se toman N = 2m muestras de la señal senoidal modulada x[n] definida por:

+
Activar

Ejemplo 3.- En este ejemplo se representa la FFT de 128 puntos como máximo de las siguientes funciones:

    a) Senoidal, b) Escalón, c) Exponencial amortiguada. d) Senoidal amortiguada.

    e) x[n] = sen(w)+sen(3w)/3 + sen(5w)/5 + sen(7w)/7 + sen(9w)/9

    f) x[n] = sen(w)+sen(3w)/3 - sen(5w)/5 + sen(7.w)/7 - sen(9w)/9          w = 2. p . n /N

    Las señales correspondientes a los apartados e) y f) son distintas, pero si correspondiesen a una señal acústica sonarían de forma idéntica puesto que nuestros oídos no captan la información de fase. Activar

    Una explicación al fenómeno de dispersión espectral, consiste en considerar la operatividad de la DFT o FFT como un proceso de filtrado. En efecto, el comportamiento de la DFT implica la actuación de un conjunto de filtros elementales de paso de banda que separan la señal en varias componentes frecuenciales. Esta interpretación, para N=8, se representa en la Figura 8.3. donde el rango de frecuencia digital  se ha dividido en 8 bandas de paso solapadas donde se cuantifica en qué medida está presente la señal de entrada x[n] en cada una de ellas.

Fig. 8.3.

    Por ejemplo una señal senoidal x[n] con una frecuencia coincidente con la frecuencia central nº 2, generaría un único valor espectral espectral correspondiente a dicha frecuencia.

    La parte (a) de la Figura 8.3. no proporciona un representación completa del fenómeno porque la respuesta frecuencial de cada filtro elemental tiene unos lóbulos laterales. La anchura del lóbulo principal, centrado en Wc es 4 p / N radianes y la de los laterales
2 p / N radianes. La frecuencia de paso por cero coincide con las frecuencias centrales de los demás filtros elementales. Por lo tanto si una señal x[n] tiene una componente cuya frecuencia corresponde exactamente con una de las frecuencias centrales (frecuencia de un armónico, termino ) la salida será única. Si la componente está desplazada de la frecuencia central, la salida, además de la componente correspondiente a la frecuencia central tendrá otras componentes correspondientes a los lóbulos laterales.

Ejemplo 4.- Analizar el efecto de los lóbulos laterales. Solución

    Cuanto más amplia sea la señal x[n] mayor deberá de ser el valor de N y por lo tanto mayor también el número de filtros elementales que simulan la operatividad de la FFT. Por ejemplo una muestra de 64 puntos (N=64) solo puede resolver componentes espaciadas 2 p / 64 radianes. En aplicaciones donde se necesita una amplia resolución espectral se puede llegar a emplear N = 4096 (1012) puntos o incluso superior.

    Se ha desarrollado un programa interactivo que permite calcular y representar la FFT de una serie de muestras x[n] almacenadas en un fichero. Así mismo los resultados se almacenan en otro fichero para su posterior análisis. El algoritmo es el correspondiente a la estimación en el tiempo en base 2. Activar

    En los siguientes apartados se desarrollan aspectos relativos al empleo de la FFT en el procesamiento de señales.

La FFT y el ruido

La FFT y las ventanas