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El problema de Monty Hall

Let´s make a deal es el nombre de un famoso programa-concurso de la televisión estadounidense que funcionó desde 1963 hasta 1990. En una de las pruebas se mostraban tres puertas de las cuales el concursante debía elegir una.

Monty Hall

Monty Hall

Detrás de una de las puertas había un gran premio (un coche); detrás de las otras puertas, no había premio (en realidad, el premio que escondían estas dos puertas era una cabra).Monty Hall, el simpático presentador del concurso, conocía dónde se escondía el premio. Una vez que el concursante hacía su elección, Monty abría una puerta sin premio de entre las dos restantes y hacía la siguiente pregunta al concursante: «¿Quieres cambiar tu elección por la otra puerta no abierta?». ¿Le parece a Ud. más ventajoso para el concursante cambiar de puerta?

Una vez abierta una de las puertas sin premio, parece evidente que las posibilidades de ganar son del 50%, se cambie o no se cambie de puerta. ¿Puede haber algo más obvio?

Un domingo de septiembre de 1990, un lector hizo la consulta en la famosa columna periodística Ask Marilyn. Esta columna, que comenzó a publicarse en 1986, aparece en 350 periódicos estadounidenses con una tirada total de casi 36 millones de ejemplares, Marilyn vos Savant, ya famosa entre otras cosas por poseer un altísimo coeficiente intelectual, dio al lector de su columna una sorprendente respuesta que abrió la caja de los truenos. Marilyn aseguró que era más ventajoso para el concursante cambiar de puerta.

Marilyn vos Savant

Marilyn vos Savant

Los lectores de Ask Marilyn parecieron sentirse defraudados y reaccionaron con una avalancha de cartas de protesta. Marilyn había sido capaz de tratar con gran acierto una gran variedad de temas en su columna, ¿cómo podía estar confundida ahora en una cuestión tan sencilla? Expertos en probabilidad, profesores de Matemáticas, matemáticos, doctores del ejército norteamericano y universidades se lamentaban de «la incultura matemática del país» y pidieron a Marilyn que rectificara su respuesta. Sin embargo, Marilyn mantuvo su respuesta.

No se preocupe si Ud. también piensa que Marilyn estaba equivocada. El húngaro Paul Erdös, uno de los matemáticos más destacados del siglo XX, se enfurecía y decía «esto es imposible». El filósofo y divulgador Martin Gardner apuntó que «en ninguna otra rama de las Matemáticas es más fácil que los expertos la pifien que en la Teoría de la Probabilidad»

El problema de Monty Hall es difícil de entender porque el papel del presentador pasa desapercibido. El presentador abre una puerta sin premio pero no se trata de una elección al azar porque el presentador conoce cuál es la puerta que oculta el premio.

Supongamos que el concursante decide adoptar la estrategia de cambiar su primera elección de puerta. Esta estrategia provoca un fracaso si inicialmente eligió la puerta con premio, lo cual ocurre con probabilidad 1/3. Pero esta estrategia produce éxito si la puerta inicialmente elegida era una puerta sin premio, lo cual ocurre con probabilidad 2/3. Por tanto, la estrategia de cambiar de puerta da lugar a una probabilidad 2/3 de ganar.

¿Escéptico? Se consultaron los datos de los 4500 programas desde 1963 a1990 y se comprobó que aquéllos concursantes que cambiaban su elección ganaban dos veces más frecuentemente que aquéllos otros que mantenían su elección de puerta.

¿Todavía escéptico? Cuando a Paul Erdös le presentaban la demostración matemática de la respuesta correcta, seguía sin creerlo y se enfurecía aún más. Sólo hubo un modo de convencerle, la simulación por ordenador. Mediante una simple hoja de cálculo es posible construir una simulación del concurso en la que se observa el resultado de una y otra estrategia a largo plazo, y se comprueba que aproximadamente en un 66% de las simulaciones la estrategia de cambiar de puerta tiene éxito.

Véase la historia completa en: El andar del borracho: Cómo el azar gobierna nuestras vidas, Leonard Mlodinow, Editorial Critica, 2008.

El problema de Monty Hall apareció en el número de octubre de 1959 de Scientific American, en la sección Mathematical Games que Martin Gardner tenía a su cargo.

José Ignacio Barragués,
Departamento de Matemática Aplicada.

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