escudo.gif (1840 bytes)ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE NÁUTICA Y MÁQUINAS NAVALES / NAUTIKAKO ETA ITSASONTZI MAKINETAKO GOI ESKOLA TEKNIKOA

NOCIONES PRELIMINARES DE MATEMÁTICAS 

 

12.  ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS

  12.1  Operaciones (leyes de composición interna).

   Consideraremos un conjunto numérico E, a sus elementos los representaremos por letras minúsculas: a, b, c, ...

  Se define operación interna entre los elementos de un conjunto E como:

es decir, se trata de una aplicación lineal de forma que al elemento (a , b) de E×E se le hace corresponder un elemento c del conjunto E, lo cual se expresa:  *(a,b) = c, o más comúnmente:

a * b = c.

 Ejemplos típicos de operaciones internas son el conjunto Z de los números enteros , Z = {... , -3, -2, -1, 0, +1, + 2, +3, ... }, y la suma:

a + b = c

si sumamos dos números enteros su resultado es otro número entero, por tanto se dice que la operación suma es una operación interna. Sin embargo no sucede esto con la operación división en Z, la división de los enteros 3 y 5:

3 : 5 = 0,6 

que es un número no-entero, por tanto en Z la división no es una operación interna.

  A las operaciones internas también se las llama leyes de composición.

  
  12.2  Diversas propiedades de las operaciones.

  Sea un conjunto E, denotemos por a, b, c, ... sus elementos, y por  *, o, ...  diversas operaciones con estos elementos. Entonces según las propiedades de la operación se habla de:

   

   12.3  Estructuras algebraicas

  Dado un conjunto y una operación interna definida en él, hay ciertas estructuras algebraicas que vienen definidas según las diversas propiedades que cumplen. 

  SEMIGRUPO:

  Se trata de un conjunto S con una operación *, (S, *),  que verifica las propiedades:

 1)  * es una operación interna.
 2)  * es asociativa.

   GRUPO:

   Es un conjunto G con una operación *, (G, *), que verifica las propiedades:

 1)  * es una operación interna.
 2)  * es asociativa.
 3)  Hay elemento neutro para *.
 4)  Todo elemento de G tiene su inverso para *.

      SUBGRUPO:

       Dado un grupo G, una parte C de G se llama subgrupo de G si C tiene estructura de Grupo para la operación *. Es decir el elemento neutro de * está en C (3) y todo elemento de C tiene su inverso en C (4).

   La condición necesaria y suficiente para que C sea subgrupo puede expresarse así:

  GRUPO ABELIANO (Conmutativo):

   Es un conjunto G con una operación  *, (G, *), que verifica las propiedades:

 1)  * es una operación interna.
 2)  * es asociativa.
 3)  Hay elemento neutro para *.
 4)  Todo elemento de G tiene su inverso para *.
 5)  * es conmutativa.

   ANILLO:

  Es un conjunto A con dos operaciones  *, º,   (A, *, º), que verifica las propiedades: 

 1a)  * es una operación interna.
 2a)  * es asociativa.
 3a)  Hay elemento neutro para *.
 4a)  Todo elemento de A tiene su inverso para *. 
 
5a)  * es conmutativa.   -- (A, *) es un grupo abeliano--
 1b)  º es una operación interna.
 2b)  º es asociativa.     -- (A, º) es un semigrupo ---
 
1c)  La segunda operación, º, es distributiva respecto de la primera *.
         a º (b * c) = (a º b) * (a º c)

    ANILLO CONMUTATIVO:

  Es un conjunto A con dos operaciones  *, º,   (A, *, º), que verifica las propiedades: 

 1a)  * es una operación interna.
 2a)  * es asociativa.
 3a)  Hay elemento neutro para *.
 4a)  Todo elemento de A tiene su inverso para *. 
 
5a)  * es conmutativa.   -- (A, *) es un grupo abeliano--
 1b)  º es una operación interna.
 2b)  º es asociativa.     -- (A, º) es un semigrupo ---
 
3b)   º es conmutativa.
 1c)  La segunda operación, º, es distributiva respecto de la primera *.
         a º (b * c) = (a º b) * (a º c)

   CUERPO:

  Es un conjunto  C con dos operaciones  *, º,   (A, *, º), que verifica las propiedades: 

 1a)  * es una operación interna.
 2a)  * es asociativa.
 3a)  Hay elemento neutro para *.
 4a)  Todo elemento de A tiene su inverso para *. 
 
5a)  * es conmutativa.   -- (C, *) es un grupo abeliano--
 1b)  º es una operación interna.
 2b)  º es asociativa.    
 
3b)   Hay elemento neutro para º.
 4b)  Todo elemento de A (excepto el neutro para *) tiene su inverso para º.  -- (C, ª) es un grupo (si exceptuamos al elemento neutro para *)--
 
1c)  La segunda operación, º, es distributiva respecto de la primera *.
         a º (b * c) = (a º b) * (a º c)

  CUERPO CONMUTATIVO:

  Es un conjunto  C con dos operaciones  *, º,   (A, *, º), que verifica las propiedades: 

 1a)  * es una operación interna.
 2a)  * es asociativa.
 3a)  Hay elemento neutro para *.
 4a)  Todo elemento de A tiene su inverso para *. 
 
5a)  * es conmutativa.   -- (C, *) es un grupo abeliano--
 1b)  º es una operación interna.
 2b)  º es asociativa.    
 
3b)    Hay elemento neutro para º.
 4b)  Todo elemento de A (excepto el neutro para *) tiene su inverso para º.  
 5b)  º es conmutativa.   -- (si exceptuamos al elemento neutro para *) (C, *) es un grupo abeliano--
 
1c)  La segunda operación, º, es distributiva respecto de la primera *.
         a º (b * c) = (a º b) * (a º c)


  12.4  Algunos ejemplos.

  Ejemplo 1:  Sea R el conjunto de los números reales, se define la siguiente operación entre elementos de R:

Comprobar que tiene estructura de grupo conmutativo .

  Demostración:  Se trata de comprobar el cumplimiento de cada una de las cinco propiedades del grupo conmutativo:

  1)  es una operación interna. En efecto, pues si a y b son números reales, también lo es:   .

  2)  cumple la propiedad asociativa. Para ello hagamos en primer lugar a(bc):

  Ahora veamos (a b) c:

  Son iguales, por tanto la operación es asociativa.

  3)  En R existe elemento neutro para :

 

  el elemento neutro para esta operación es el 0.

  4)  Todo elemento x de R tiene su inverso:

  5)  Finalmente es conmutativa, pues es obvio que:

a b = b a


  Ejemplo 2:  Sea el conjunto de los números enteros, Z, y las dos siguientes operaciones:

  Decir si (Z, , *) tiene estructura de anillo.

  Solución:  Debemos comprobar cada una de las ocho propiedades del anillo.

  1a) es una operación interna en Z, pues dados dos números enteros a, b, también es entero a b = a + b - 8.

  2a) Comprobemos la asociatividad de :

     a (b c) = a ( b + c - 8) = a + (b + c - 8) - 8 =  a + b + c - 16.

    (a b) c = ( a + b - 8) c =   ( a + b - 8) + c - 8 =  a + b + c - 16.

   En efecto, es asociativa.

  3a)  Veamos si en Z hay elemento neutro para :

         x e = x   ->  x + e - 8 = ->   e = 8  (el 8 es el elemento neutro)

  4a)  Todo elemento de A ... ¿tiene su inverso para ?:

         

    En efecto, el elemento inverso del a es:  16 - a.

  5a)  ¿ Es conmutativa ?:

      a b = a + b - 8     ;     b a = b + a - 8

     Sí lo es, pues las dos expresiones son iguales.

  1b) * es operación interna.

     Verdaderamente, pues si tomamos dos números enteros a, b, entonces también es entero el número:

a * b = a + b - a.b

  2b) Comprobemos si * es asociativa :

   a * (b * c) = a * ( b + c - b c) = a + (b + c - bc) - a.(b + c - bc) =

= a + b + c - bc - ab - ac - abc.

(a * b) * c = ( a + b - ab) * c =   ( a + b - ab) + c - ( a + b - ab).c =

= a + b + c - bc - ab - ac - abc.

     Las dos expresiones son iguales, por lo tanto sí es asociativa.

  3b) Comprobemos si * es conmutativa:

  a *  b = a + b - a.b  ;    b * a = a + b - b.a

    que son obviamente iguales, por tanto la operación sí es conmutativa.

   1c) Finalmente comprobemos si la segunda operación, *, es distributiva respecto de la primera, , es decir, si se cumple:

a * (b c) = (a * b) (a * c?

 a * (b c) = a * (b + c - 8) = a + (b + c - 8) - a(b + c - 8) =

= a + b + c - 8 - ab - ac + 8a =

= 9a + b + c - 8 - ab - ac

(a * b) (a * c) = (a + b - ab) (a + c - ac) = (a + b - ab) + (a + c - ac) - 8 =
= 2a + b + c - 8 - ab - ac

    Los resultados son diferentes, por lo tanto no tiene estructura de anillo,  falla la propiedad distributiva.


   Ejemplo 3:  Sean las tres aplicaciones siguientes:

  Consideremos el conjunto formado por las tres,  G = {f1f2, f3} , y consideremos la ley de composición entre aplicaciones º, tal que:

fi º  fjfi [ fj(x)]

  Comprobar que (G, º) tiene estructura de grupo.


  Solución:  Para estos casos de conjuntos tan pequeños, sólo tres elementos en este ejemplo, es conveniente hacer la tabla de la ley de composición:

   Por una parte, es obvio que:

f1 º  fifi    

fi º  f1fi 

  puesto que  f1 = se comporta como función identidad (elemento neutro).

   Ahora veamos f2 º  f2 :

   A continuación veamos f2 º  f3 :

  

   Ahora veamos f3 º  f2 :

 

   Finalmente veamos f3 º  f3 :

   Con estos resultados podemos establecer la siguiente tabla:

º f1  f2  f3
f1 f1  f2  f3
 f2  f2  f3 f1
 f3  f3 f1  f2

  A partir de esta tabla comprobemos cada una de las cuatro propiedades:

  1) Operación interna: obviamente sí lo es.

  2) Operación asociativa: la composición de aplicaciones sí es asociativa:

f º (g º h) = f [ g [ h (x)] ] 

(º g ) º h = f [ g [ h (x)] ] 

  3) El elemento neutro de º es  f1 (obsérvese en la tabla).

  4)  f2 f3 tienen inverso,  son f3 f2 respectivamente (obsérvese la tabla).


  Ejemplo 4:  Demuéstrese que en todo grupo (G, ) en el que se verifica:

x x = e   

siendo 'e' el elemento neutro, es un grupo conmutativo.


   Solución:  Consideremos dos elementos de G: a, b,  por ser una operación interna se tiene que:

a b

y por la propiedad que verifican todos los elementos de G tenemos.

(a b ) (a b) = e

ahora componemos a por la izquierda, y b por la derecha (en ambos miembros):

a (a b ) (a b) b= a e b

por la propiedad asociativa del grupo:

(a a (b a) (b b) = a b

los paréntesis de los extremos son e, por tanto:

b a = a b

 

  EJERCICIOS PARA EL ALUMNO:

  1.  Sabiendo que el conjunto G = {a, b, c} es un grupo multiplicativo. Establecer la tabla del grupo.

  2.  Se considera el conjunto A de los números de la forma: 2x. 3y (siendo los exponentes x, y enteros cualesquiera). Comprobar si A es un grupo para el producto.

  3.  Se considera el conjunto: . ¿ Es C un anillo respecto de las operaciones ordinarias +, . ?. 

  4.  Demostrar que un grupo (G, .) en el que cualquier par de elementos a, b de G verifican:

(a . b)2 = a2 . b2   

es un grupo abeliano.

  5.  Probar que el conjunto C de los números complejos, a + b i ,  con las operaciones + y . (suma y producto de números complejos) tiene estructura de cuerpo conmutativo.



  *   Ir a página de ejercicios resueltos.


 

  Puede ver algo más sobre conjuntos de números en la siguiente website: http://www.eneayudas.cl/conjnum.htm

   Otros lugares de Internet relacionados con el tema:

  - Operaciones y estructuras algebraicas (desde la UCA)

  - Estructuras algebraicas (desde las Matemáticas de Mario)

  - Estructuras algebraicas básicas (UNED Baroja) en formato Adobe 

  - Estructuras algebraicas