escudo.gif (1840 bytes)ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE NÁUTICA Y MÁQUINAS NAVALES / NAUTIKAKO ETA ITSASONTZI MAKINETAKO GOI ESKOLA TEKNIKOA

NOCIONES PRELIMINARES DE MATEMÁTICAS 

Regla de L'Hôpital para límites. 

  La regla de L´Hôpital permite resolver muchos casos de indeterminación de límites de funciones en un punto x = a. En principio la vamos a enunciar así:

  Un límite indeterminado de la forma:

lho0.gif (301 bytes)

valdrá L, en caso de que también sea L el límite en x=a del cociente de las derivadas de numerador y denominador, es decir:

lho1.gif (571 bytes)

De esta manera podemos resolver indeterminaciones del tipo 0/0. Veamos un ejemplo.

  EJEMPLO 1:  Hallar el límite:

lho2.gif (232 bytes)

este límite tiene la forma indeterminada 0/0, por tanto, podemos aplicar la regla de L'Hôpital:

lho3.gif (674 bytes)

límite que sigue teniendo la forma indeterminada 0/0, pero a la cual se puede volver a aplicar la regla de L'Hôpital:

lho4.gif (256 bytes)

que es en definitiva el valor del límite.

  Pero la regla de L'Hôpital es mucho más general, pues es aplicable no sólo a la indeterminación 0/0, sino también a las indeterminaciones:  infinito.gif (65 bytes)/ infinito.gif (65 bytes), 0×infinito.gif (65 bytes), infinito.gif (65 bytes)-infinito.gif (65 bytes).

  Por ejemplo, una indeterminación del tipo infinito.gif (65 bytes)/infinito.gif (65 bytes), provendrá de un límite de la forma:

lho7.gif (309 bytes)

en donde las dos funciones f(x) y g(x) tiendan a infinito en x=a, y este límite obviamente no varía si lo expresamos en la forma:

lho8.gif (422 bytes)

y ahora sí tiene la forma 0/0. En definitiva, la indeterminación infinito.gif (65 bytes)/infinito.gif (65 bytes) no es diferente de la 0/0.

EJEMPLO 2:  Hallar el límite:

lho5.gif (224 bytes)

  Este límite en principio toma la forma indeterminada infinito.gif (65 bytes)/infinito.gif (65 bytes), y lo resolvemos aplicando directamente la regla de L'Hôpital:

lho6.gif (491 bytes)

OBSERVACIÓN:  No es necesario pasar el límite a la indeterminación 0/0 ántes de aplicar la regla de L'Hôpital. Si bien  (f '/g') es distinto de (1/g)'/(1/f '), en cambio no son diferentes para nuestro caso de límites en el punto x=a.

  En cuanto a las indeterminaciones del tipo 0×infinito.gif (65 bytes), aparecen en límites de productos de funciones f(x)×g(x) cuando una de ellas, p.ej. la f(x) tiende a 0, y la otra, la g(x), tiende a infinito.gif (65 bytes). En este caso nosotros expresaremos el límite en la forma:

lho9.gif (459 bytes)

y como 1/g(x) tenderá a 0, se obtiene la forma típica 0/0, a la cual se puede aplicar directamente la regla de L'Hôpital.

EJEMPLO 3:  Hallar el límite:

lhoa.gif (275 bytes)

Este límite tiene la forma 0×infinito.gif (65 bytes), por lo tanto, operamos como hemos dicho:

lhob.gif (753 bytes)

habiendo expresado la inversa de la tangente como la cotangente, cuya derivada es: - 1/(seno)², esto es:

lhoc.gif (639 bytes)

  Otro tipo de indeterminación susceptible de realizarse por la regla de L'Hôpital es la forma infinito.gif (65 bytes)-infinito.gif (65 bytes), que aparece en límites de una resta, es decir, cuando tenemos: f(x) - g(x), y ambas funciones en x=a se hacen +infinito.gif (65 bytes). Para este caso hay que tener en cuenta la siguiente identidad:

lhod.gif (322 bytes)

y si en en x=a las funciones f y g son infinito, la expresión con sus inversas será 0, por lo que f-g equivaldrá a 0/0; no obstante para aplicar la regla de L'Hôpital, en este caso deberemos transformar f-g como una expresión que incluya un cociente, tal como en el ejemplo siguiente:

EJEMPLO 4:  Hallar el límite:

lhoe.gif (385 bytes)

Este límite tiene la forma infinito.gif (65 bytes)-infinito.gif (65 bytes), y ántes de aplicar la regla de L'Hôpital debemos ponerlo en forma de cociente:

lhof.gif (571 bytes)

así expresado el cociente tiene la forma 0/0, y se puede aplicar esta regla:

lhog.gif (559 bytes)

  Finalmente, vamos a ver unos ejemplos en los que la regla de L'Hôpital ha de aplicarse sobre el exponente. Se trata de indeterminaciones del tipo: 0°, infinito.gif (65 bytes)°, unoinf.gif (66 bytes),  que proceden de límites de una función f(x) elevada a otra función g(x), para su resolución es conveniente tener en cuenta la siguiente identidad:

identie.gif (118 bytes)

teniendo en cuenta esta identidad, la cual suele escribirse por comodidad: A = exp(log A), podemos poner:

identif.gif (395 bytes)

y ahora si estamos hallando un límite en x=a de esa función exponencial, nosotros calcularemos el límite en el exponente, es decir, dentro del paréntesis de "exp", en concreto el límite de (g×log f), el cual puede ser, por ejemplo, de la forma 0×infinito.gif (65 bytes), cuya forma de resolverse es la del ejemplo 3.

EJEMPLO 5:  Hallar el límite:

lhoh.gif (145 bytes)

  Este límite tiene la forma indeterminada 0°, y tal como hemos dicho, puede expresarse:

lhoi.gif (424 bytes)

en el interior del paréntesis (la exponencial) tenemos una indeterminación 0×infinito.gif (65 bytes), y ahora procederemos así:

lhoj.gif (771 bytes)

lhok.gif (586 bytes)

NOTA:  Algunos, este tipo de límites los suelen hacer de otra manera -equivalente a la que hemos visto aquí- que vamos a pasar a exponer:

  Partiendo de la equivalencia:

lhol.gif (306 bytes)

y ahora resuelven el límite de (g×log f) por la regla de L'Hôpital, tal como lo hacemos aquí, y si el resultado de este límite es "A", entonces:

log y = A

por tanto, el límite pedido, y, será e elevado a ese número A. En nuestro ejemplo 5, como el límite de (g×log f), es decir, el límite de (3x . log x) es 0, el límite pedido es e "elevado a 0", como ya lo hemos visto ántes.

EJERCICIOS PARA EL ALUMNO

lhom.gif (2463 bytes)

SOLUCIONES:

a)  0.   b) -1/3  c)  4p³   d)  -1  e) 2/p   f)g) 1/2  h) 1/e i)j) 1.