Descripción y contextualización de la asignatura

Esta asignatura complementa los aspectos básicos de la Teoría de Ecuaciones Diferenciales que se imparten en el Grado. En el Grado de Ingeniería Mecánica los contenidos relativos a Ecuaciones Diferenciales se circunscriben a las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias lineales. El objetivo aquí es proporcionar una formación ampliada que permita acceder al estudio de otras materias que requieren estos conceptos como herramientas.



En la primera parte de la asignatura se estudian las ecuaciones y sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias, centrándonos en los problemas de valor inicial. Se empiezan estudiando las ecuaciones diferenciales de primer orden lineales, analizando sus principales características y propiedades y a continuación métodos para resolver algunas ecuaciones no lineales. En cuanto a los sistemas, se estudian las propiedades de los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden que son la base para el estudio y resolución de los sistemas y ecuaciones lineales de orden superior.



En la segunda parte de la asignatura y previo al estudio de las ecuaciones en derivadas parciales de orden 2 lineales, se analizan los problemas de contorno de orden dos lineales, trabajando el desarrollo de funciones en serie de autofunciones mediante el teorema de Fourier. La resolución de las ecuaciones en derivadas parciales se realizará mediante el método de separación de variables. Se abordan tanto problemas homogéneos como no homogéneos de las ecuaciones de difusión del calor, ecuación de ondas y ecuación de Laplace.



Tema 1: La naturaleza de las ecuaciones diferenciales.



Tema 2: Ecuaciones diferenciales de primer orden.



Tema 3: Sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden.



Tema 4: Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden y superior.



Tema 5: Problemas de contorno.

Tema 6: Ecuaciones en derivadas parciales.

Convocatoria ordinaria: orientaciones y renuncia

La evaluación de los resultados del aprendizaje constará de:

- Primera prueba escrita: 40% de la nota. Evalúa la resolución de EDOs y de sistemas lineales de primer orden y EDOs lineales de orden 2 y superior.

- Prueba final escrita: 60% en que se evalúa los contenidos de las clases de teoría y problemas de la asignatura que no fueron incluidos en la primera prueba escrita.

Se exige para aprobar la asignatura la obtención de un 5 sobre 10 de media ponderada en la nota correspondiente a los exámenes escritos y además al menos un 3.5 sobre 10 en el examen correspondiente a la prueba escrita final.

Convocatoria extraordinaria: orientaciones y renuncia

Se realizará una única prueba escrita de la asignatura que supondrá el 100% de la nota.

Se exige para aprobar la asignatura una nota final igual o superior a 5/10

Temario

TEMA 1: La naturaleza de las ecuaciones diferenciales.



CAPÍTULO 1.1 Introducción a las ecuaciones diferenciales.

1.1.1. Ecuaciones diferenciales ordinarias y en derivadas parciales.

1.1.2. Generalidades sobre las soluciones.

1.1.3. Condiciones iniciales y condiciones de contorno.



CAPÍTULO 1.2 Existencia y unicidad de soluciones.

1.2.1. Método de aproximaciones sucesivas.

1.2.2. Teorema de Picard.



TEMA 2: Ecuaciones diferenciales de primer orden.



CAPÍTULO 2.1 Ecuaciones diferenciales de primer orden lineales.

2.1.1. Ecuaciones homogéneas.

2.1.2. Ecuaciones no homogéneas.



CAPÍTULO 2.2 Ecuaciones diferenciales de primer orden no lineales.

2.2.1. Ecuaciones homogéneas.

2.2.2. Ecuaciones exactas.

2.2.3. Factores integrantes.

2.2.4. Cambio de variable.



TEMA 3: Sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden.



CAPÍTULO 3.1 Sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden lineales.

3.1.1. Generalidades sobre sistemas.

3.1.2. Sistemas lineales.

3.1.3. Sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes.

3.1.4. Sistemas lineales no homogéneos.



CAPÍTULO 3.2 Sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden no lineales.

3.2.1. Sistemas Autónomos.

3.2.2. Tipos de puntos críticos. Estabilidad.

3.2.3. Estudio del plano de fases. Teorema de Poincaré.



TEMA 4: Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden y superior.



CAPÍTULO 4.1 Ecuaciones diferenciales homogéneas.

4.1.1. Introducción.

4.1.2. Solución general de la ecuación homogénea.

4.1.3. Método de reducción de orden.

4.1.4. Ecuación homogénea con coeficientes constantes.

4.1.5. Ecuación homogénea con coeficientes variables. Ecuación de Euler.



CAPÍTULO 4.2 Ecuaciones diferenciales no homogéneas.

4.2.1. Método de variación de los parámetros.

4.2.2. Método de los coeficientes indeterminados.



CAPÍTULO 4.3 Transformadas de Laplace.

4.3.1. Introducción.

4.3.2. Transformadas de Laplace.

4.3.3. Convolución de funciones.

4.3.4. Transformadas de Laplace de funciones especiales.

4.3.5 Aplicaciones de la Transformada de Laplace.



TEMA 5: Problemas de contorno.



CAPÍTULO 5.1 Series de Fourier y funciones ortogonales .

5.1.1. Los coeficientes de Fourier.

5.1.2. El problema de convergencia.

5.1.3. Funciones pares e impares. Series de senos y cosenos.

5.1.4. Extensión a intervalos arbitrarios.

5.1.5. Funciones ortogonales.



CAPÍTULO 5.2 Problemas lineales con condiciones de contorno.

5.2.1. Introducción.

5.2.2. Problemas de contorno lineales homogéneos. Autovalores y Autofunciones.

5.2.3. Problema regular de Sturm-Liouville homogéneo.

5.2.4. Problema periódico de Sturm-Liouville homogéneo.

5.2.5. Desarrollo de funciones en serie de las autofunciones de un problema de Sturm Liouville homogéneo.

5.2.6. Problema regular de Sturm-Liouville no homogéneo.



TEMA 6: Ecuaciones en derivadas parciales.



CAPÍTULO 6.1 Resolución del problema homogéneo.

6.1.1. Problema de Difusión.

6.1.2. Problema de Ondas.

6.1.3. Problema de Laplace en coordenadas cartesianas y en coordenadas polares.



CAPÍTULO 6.2 Resolución del problema no homogéneo.

6.1.1. Problema de Difusión.

6.1.2. Problema de Ondas.

Bibliografía

Bibliografía básica

- "Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones y notas históricas". F. SIMMONS, Ed McGraw-Hill, 1993.

- "Fundamentos de Ecuaciones Diferenciales". R.K. NAGLE y E.B. SAFF. Ed Addison-Wesley

iberoamericana, 1992.

- "Ecuaciones Diferenciales y Problemas de valores en la frontera". W.E. BOYCE y R.C. DIPRIMA.

Ed Limusa, 1991.

Bibliografía de profundización

- "Partial Differential Equations for Scientists and Engineers". G. STEPHENSON. Ed. Longman, 1986.



- "Ecuaciones Diferenciales. Un enfoque de modelado". G. LEDDER W.H. Ed. Mc Graw-Hill, 2006.



- "Introduction to Ordinary Differential Equations with Mathematica". GRAY, A., MEZZINO M.,



PINSKY, M.A. Springer-Verlag, New York, Inc., 1997.



- "Differential Equations. An introduction with Mathematica". ROSS, C., C. Springer- Verlag, 1994.

Enlaces

www.wolfram.com