Irakasgaiaren azalpena eta testuingurua

La asignatura de Geometría de variedades se centra en el estudio de variedades con estructura algebraica (variedades afines y/o proyectivas) o diferenciable (variedades diferenciables y/o Riemannianas).

La geometría algebraica ofrece herramientas fundamentales para el tratamiento de sistemas de ecuaciones polinómicas y la comprensión de sus soluciones. Aunque se trata de una teoría clásica, los trabajos de Buchberger e Hironaka en los años 60 han hecho que el tratamiento de estos sistemas de ecuaciones sea más algorítmico y esté al alcance de unos ordenadores que son cada vez más veloces. Esta parte de la asignatura tocará los temas clásicos, pero con una componente algorítmica que permita dar demostraciones a los resultados de manera constructiva. Las aplicaciones de estos algoritmos centrados en torno a las bases de Gröbner hacen que esta asignatura sea útil a matemáticos, ingenieros y físicos.

La geometría diferenciable ha sido y es el lugar natural de los modelos matemáticos de los procesos físicos, químicos y termodinámicos. La comprensión de estos objetos y sus transformaciones es esencial en múltiples áreas del conocimiento matemático puro y aplicado. De hecho, en la asignatura se presentarán algunas aplicaciones de la Geometría Diferencial en la modelización de sistemas provenientes de la Mecánica Clásica, mostrando cuáles son las variedades diferenciales que aparecen en la descripción de algunos sistemas de configuración y describiendo geométricamente las ecuaciones que rigen la evolución de un sistema dinámico

Ohiko deialdia: orientazioak eta uko egitea

CRITERIOS DE LA EVALUACIÓN CONTINUA:

Realización de un trabajo individual consistente en una serie de ejercicios de geometría algebraica y de geometría diferencial: 80%

Entrega de unos ejercicios extraordinarios: 20%

Para aprobar la asignatura será necesario alcanzar una nota de 5 sobre 10 en el trabajo individual.



CRITERIOS DE LA EVALUACIÓN FINAL:

Los estudiantes que lo soliciten, podrán someterse a una evaluación final, que podrá consistir en una prueba única, o en un conjunto de pruebas y trabajos.

Se podrá establecer de manera excepcional la asistencia a determinadas sesiones presenciales, y la superación, en su caso, de las pruebas que en ellas se establezcan.

Los estudiantes deberán solicitar la evaluación diferenciada mediante escrito razonado dirigido al Coordinador del Máster, desde el momento de la matrícula hasta transcurridos, como máximo, cinco días desde el inicio del curso. La solicitud se acompañará de todos los documentos que acrediten la imposibilidad de seguir con normalidad el desarrollo del curso. La Comisión Académica del Máster, resolverá en el plazo máximo de veinte días.



RENUNCIA:

El alumnado que haya realizado las actividades a lo largo del curso, pero no se presente a la convocatoria ordinaria, será calificado como No presentado/a.

Ezohiko deialdia: orientazioak eta uko egitea

Los criterios de evaluación serán los mismos que en la convocatoria ordinaria. La evaluación de las actividades realizadas a lo largo del curso (prácticas de ordenador, ejercicios, seminarios) será válida para las dos convocatorias del curso. En consecuencia, el alumnado que haya superado estas actividades a lo largo del curso, en la convocatoria extraordinaria solo tendrá que presentarse al trabajo individual. En el caso del alumnado que no haya superado la evaluación de dichas actividades o haya elegido la modalidad de evaluación final, en la convocatoria extraordinaria deberá realizar, también, una prueba complementaria diseñada para la evaluación de las actividades realizadas a lo largo del curso. Dicha prueba puede consistir en una exposición oral, una demostración ante un ordenador o una descripción escrita de los conocimientos prácticos abordados en las actividades planteadas a lo largo del curso.

Irakasgai-zerrenda

Geometría diferencial

Variedades diferenciables (generalidades)

Campos vectoriales y formas diferenciales

Métricas Riemannianas

Geometría algebraica

Variedades afines y proyectivas

Curvas planas (cónicas, cúbicas)

Superficies de Riemann

Bibliografia

Nahitaez erabili beharreko materiala

Apuntes y prácticas de la asignatura "Geometría de Variedades" publicados en la plataforma virtual de apoyo a la docencia Moodle (UPV/EHU)

Oinarrizko bibliografia

W.M. Boothby, An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry, Academic Press, 1975



M.P. Do Carmo, Riemannian Geometry, Birkhäuser Boston, 1992



M. Lee, Introduction to Smooth Manifolds, GTM 218, Springer, 2003



F.W. Warner, Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, GTM 94, Springer, 1983



W. Fulton, Algebraic curves. An introduction to algebraic geometry. Notes written with the collaboration of Richard Weiss. Reprint of 1969 original. Advanced Book Classics. Addison-Wesley Publishing Company, Advanced Book Program, Redwood City, CA, 1989



Harris, Algebraic geometry. A first course. Corrected reprint of the 1992 original. Graduate Texts in Mathematics, 133. Springer-Verlag, New York, 1995



M. Namba, Geometry of projective algebraic curves. Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics, 88. Marcel Dekker, Inc., New York, 1984

Gehiago sakontzeko bibliografia

A. Cannas da Silva, Lectures on symplectic geometry, Lecture Notes in Math. 1764, Springer 2001.



T. Sakai, Riemannian Geometry, Translations of Mathematical Monographs; Vol. 149. Amer. Math. Soc. 1996.



M. Namba, Geometry of projective algebraic curves. Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics, 88. Marcel Dekker, Inc., New York, 1984.

Aldizkariak

La Gaceta de la Real Sociedad Matemática Española

http://www.rsme.es/gacetadigital/



The American Mathematical Monthly

http://www.maa.org/pubs/monthly.html

Estekak

J.S. Milne, Algebraic Geometry. Versión accesible on line

http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/AG.pdf



Angel Montesdeoca, Apuntes de introducción a las variedades diferenciables, versión accesible online en

http://amontes.webs.ull.es/apuntes/geomvari.pdf



Angel Montesdeoca, Apuntes de introducción a las variedades de Riemann, versión accesible online en

http://amontes.webs.ull.es/apuntes/geomriem.pdf



Pascual Lucas, Variedades diferenciables y Topología, versión accesible online en

http://www.um.es/docencia/plucas/