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Las escalas logarítmicas y la escala Richter

C. F. Richter

C. F. Richter

La web del Instituto Geográfico Nacional, IGN,  (http://www.ign.es/ign/main/index.do) recoge mucha información relacionada con la sismología. Entre la información podemos leer “la magnitud de un terremoto es una medida de la energía liberada y se determina a partir de la señal registrada en un sismograma. Dependiendo del tipo de onda del sismograma se obtiene una escala de magnitud diferente (ML, Ms, mb, Mw), siendo la más conocida la magnitud local de Richter ML”. También podemos encontrar que “la escala sismológica de Richter, también conocida como escala de magnitud local (ML), es una escala logarítmica arbitraria que asigna un número para cuantificar la energía que libera un terremoto, denominada así en honor del sismólogo estadounidense Charles F. Richter (1900-1985)”.

Por tanto, para entender la escala Richter hay que saber qué es una escala logarítmica. Este tipo de escala de medida reemplaza el valor de una variable por su logaritmo en una determinada base (logbasevalor). En una escala lineal (quizás la escala más habitual) utilizaríamos los ejes perpendiculares OX y OY para representar los valores de dos variables X e Y, mientras que en una escala logarítmica utilizaremos, por ejemplo, el eje OX y el eje OlogbaseY (es posible utilizar logaritmos en ambos ejes).

Ejemplo del cálculo de la magnitud Richter (Ml)  de un terremoto local
Utilizar el logaritmo en un eje implica que las divisiones (marcas) en dicho eje no se ajustarán al valor de la variable, sino que serán relativas al logaritmo utilizado de dicho valor. Por ejemplo, en escalas lineales se utilizan distancias unitarias, 1,2,3,4… o múltiplos de un valor, 5,10,15,20…, y en una escala logarítmica utilizaremos valores del logaritmo. Esto significa que para un logaritmo en base 10 las divisiones vendrían dadas por los valores asociados a la fórmula log10(valor). Dado que el logaritmo y la función exponencial son funciones inversas, los valores 100,101,102,103,… se muestran en la representación gráfica de escala logarítmica en las divisiones 0,1,2,3,… respectivamente, consiguiendo de esta manera una reducción importante en el rango de valores representado. Esto es lo mismo que en lugar de representar una función del tipo y=10x en los ejes OX y OY, representemos la función log10y=x en los ejes OX y Olog10Y, sin duda algo mucho más manejable.
Escala logarítmica
Así, la representación de datos en una escala logarítmica es útil cuando los datos cubren un rango de valores amplio, ya que como hemos visto el logaritmo lo reduce a un rango menor y, por tanto, más manejable, o cuando la función a representar crece muy rápidamente, como ocurre con la función exponencial. Por ejemplo, la ilustración muestra en color azul la gráfica de cierta magnitud y, mientras que en color verde se ha representado el logaritmo en base 10 de dicha magnitud y. Observe cómo los valores de y superan la cota de 40, y se salen del gráfico cuando x está próximo a 20. En cambio, log10(y) no alcanza el valor 5 aún para valores de x superiores a 50.

Podríamos afirmar que el logaritmo decimal (logaritmo en base 10) y el logaritmo neperiano (logaritmo en base e) comparten notoriedad. Este último, también llamado logaritmo natural, recibe su nombre en honor del científico escocés que propuso esta herramienta matemática, los logaritmos, John Napier of Merchiston (1550-1617).

Napier

Napier

Euler

Euler

 

La base del logaritmo neperiano es el número irracional e, así llamado en honor de su proponente, Leonhard Euler (1707-1783), cuyo valor es imposible de escribir de manera exacta mediante cifras, he aquí una aproximación:

e≈2.7182818284590452353602874…

Volviendo al caso de los terremotos, la escala de magnitudes Richter está basada en una escala logarítmica decimal, es decir, de base 10. Así pues, por cada incremento de una unidad en la escala Richter la amplitud de la onda del terremoto recogida en el sismógrafo se incrementa 10 veces (se multiplica por 10). Atendiendo a esta fórmula, un terremoto de magnitud 6 tendría una amplitud de onda 10 veces mayor que uno de magnitud 5; 100 veces mayor que uno de magnitud 4; 1 000 veces mayor que uno de magnitud 3; y 10 000 veces mayor que uno de magnitud 2. Esta variación en la amplitud evidencia la necesidad de utilizar logaritmos en la representación. La escala Richter hoy en día se utiliza para clasificar terremotos entre los valores 2.0 a 6.9. A partir de ese valor se utiliza otra escala, la escala de magnitud de momento. Por razones obvias, difícilmente podríamos dibujar un rango de valores de amplitud cien mil unidades sin utilizar una escala logarítmica.

Por otro lado, es interesante completar la información de la escala de magnitud de un terremoto con la cantidad de energía liberada por éste. La representación de esta cantidad de energía se ajusta a otra fórmula, también logarítmica. En este caso cada incremento de una unidad en la magnitud está asociado a un incremento de aproximadamente 32 veces en la energía liberada en el seísmo. Por tanto, un terremoto de magnitud 6 ML libera aproximadamente 32 veces más energía que uno de magnitud 5, aproximadamente 1 000 veces más que uno de magnitud 4, aproximadamente 32 000 veces más que uno de magnitud 3 y casi 100 000 veces más que uno de magnitud 2.

Japón 2011, Hisorshima 1945, cráter meteorito (sim.)

 

Como curiosidad, el terremoto de mayor magnitud registrado en el planeta sucedió en Chile en 1960 y tuvo una magnitud de 9.5 Mw (magnitud de momento). Más tarde, el que sucedió en Indonesia en 2004, tuvo una magnitud de 9.3 Mw y otro más reciente, el ocurrido en 2011 en Japón, tuvo una magnitud de 9 Mw. Por otro lado, una de las hipótesis más extendidas en la comunidad científica para explicar la extinción de los dinosaurios hace 65 millones de años es que fue el resultado del impacto de un meteorito con nuestro planeta. Se estima que ese impacto liberaría una energía equivalente a un terremoto de magnitud de momento de 13.0. Esto se corresponde con una energía aproximada de 1011 kilotones, algo descomunal teniendo en cuenta que la bomba de Hiroshima liberó una energía aproximada de 15 kilotones.

 

Imágenes tomadas de Internet de las páginas Wikipedia, National Geographic, Science Source y Servicio Sismológico de México.

Adolfo Morais Ezkerro, Departamento de Matemática Aplicada.

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