Los resultados de aprendizaja de la asignatura "Matamáticas I" serán:

* Comprender y manejar la notación y el lenguaje matemático.

* Manipular con seguridad expresiones algebraicas.

* Comprender nociones y problemas de contenido económico expresados en lenguaje matemático.

* Plantear, resolver e interpretar problemas de álgebra.

* Plantear, resolver e interpretar problemas de cálculo diferencial de funciones de una variable.



Además, en esta asignatura se trabajarán las competencias transversales:

* Capacidad de aplicar los conocimientos en la práctica

* Capacidad de aprendizáje autónomo.

Parte I: ALGEBRA LINEAL



Tema 1.- MATRICES Y VECTORES. ESPACIO VECTORIAL



1.1 Matrices y operaciones con matrices.

1.2 Tipos de matrices.

1.3 Concepto de vector y representación gráfica. Espacio vectorial

1.4 Combinación lineal de vectores

1.5 Producto escalar de vectores. Módulo de un vector. Vectores ortogonales.

1.6 Sistema generador

1.7 Dependencia e independencia lineal de vectores

1.8 Base y dimensión de un espacio vectorial

1.9 Definición de Aplicación lineal

1.10 Matriz asociada a una aplicadión lineal



Tema 2.- DETERMINANTES Y MATRICES INVERSAS



2.1 Determinante de una matriz cuadrada.

2.2 Menor complementario y adjunto.

2.3 Cálculo mediante el desarrollo por los elementos de una línea.

2.4 Propiedades de los determinantes.

2.5 Inversa de una matriz. Matrices invertibles.

2.6 Propiedades de la matriz inversa.

2.7 Cálculo de la matriz inversa.



Tema 3.- TEORIA DEL RANGO Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALE



3.1 Rango de una matriz. Cálculo del rango de una matriz.

3.2 Sistemas de ecuaciones lineales. Interpretación matricial y vectorial.

3.2.1. Regla de Cramer

3.3 Sistemas compatibles e incompatibles. Estudio de la compatibilidad: teorema de Rouché-Fröbenius.

3.4 Métodos matriciales de resolución de sistemas lineales (matriz inversa; Cramer; Gauss).

3.5 Sistemas homogéneos.

3.9 Sistemas de ecuaciones lineales en economía.





Tema 4.- DIAGONALIZACION DE MATRICES



4.1 Autovalores y autovectores de una matriz cuadrada.

4.2 Cálculo de los autovalores y de los autovectores.

4.3 Diagonalización de matrices.

4.4 Aplicaciones económicas





Parte II: CALCULO EN UNA VARIABLE



Tema 5.- FUNCIONES DE UNA VARIABLE



5.1. Funciones más frecuentes

5.2. Dominio de una función

5.3. Función inversa.

5.4. Funciones definidas a trozos. Función valor absoluto.

5.5. Composición de funciones.



Tema 6.- LIMITES, CONTINUIDAD Y DERIVACION DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE



6.1. Límites de una función en un punto.

6.2. Propiedades de los límites

6.3. Operaciones con infinitos. Indeterminaciones

6.4. Regla de L´hôpital para resolución de límites indeterminados.

6.5. Continuidad.

6.6. Definición de derivada. Significado geométrico. Función derivable en un punto.

6.7. Derivadas sucesivas. Regla de la cadena.

6.8. Derivación de funciones implícitas.

6.9. Las derivadas en economía.





Tema 7.- APLICACIONES DE LA CONTINUIDAD Y DE LA DERIVABILIDAD



7.1 Propiedades de las funciones continuas

7.1.1. Teorema de los valores extremos

7.1.2. Teorema de Bolzano

7.1.3. Teorema de los valores intermedios.

7.2. Propiedades de las funciones continuas y derivables

7.2.1. Teorema de Rolle.

7.2.2. Teorema del valor medio.

7.3. La diferencial de una función. Significado

7.4. Aproximación polinómica de funciones.





Tema 8.- INTEGTRACION

8.1 Primitiva de una función e integral indefinida.

8.1.1. Integrales inmediatas: potenciales, con exponente fraccionario, tipo logaritmo, tipo exponencial, racionales.

8.1.2. Integración por partes

8.1.3. Integración por cambio de variable

8.2. Aplicacioens generales y económicas de la integral indefinida

8.3. Integral definida: concepto y propiedades.

8.3.1. Teorema de la media.

8.3.2. Regla de Barrow

8.4.Aplicaciones de la integral definida

8.4.1. Valor medio de una función en un intervalo

8.4.2. Cálculo de áreas

8.5.Integrales impropias.

La organización de esta asignatura se distribuirá atendiendo a la división que se establece en el horario oficial entre sesiones de clase magistal y sesiones de prácticas de aula.

En las sesiones de clase magistral se desarrollarán los diversos temas que integran la asignatura.Estas podrán tener un carácter teórico o práctico. Las clases teóricas tienen como objetivo la introducción y justificación de los conceptos y resultados que forman parte de la asignatura, utilizando para ello una metodología de tipo expositivo. La compresión y ampliación de los contenidos de la asignatura se ve favorecida con el uso de los manuales básicos recomendados. Con las clases de orientación práctica se persigue que el/la alumno/a logre asimilar y manejar adecuadamenente los conceptos introducidos de forma teórica.



Las sesiones prácticas de aula buscan reforzar el conocimiento y dominio de los procedimientos aprendidos así como investigar su utilización práctica en situaciones próximas a la realidad económica. Con este fin, estas sesiones se plantean como clases de trabajos dirigidos. Estos ejercicios serán realizados de forma individual y en algunas sesiones de modo cooperativo, y estarán disponibles en la plataforma e-gela

En primera convocatoria la evaluación será mixta. Se realizará una prueba escrita que consistirá en un examen final (en la fecha señalada por el centro) en la que el/la alumno/a resolverá ejercicios que supondrá el 70% de la nota final. Además de esta prueba se evaluará el trabajo realizado por el/la alumno/a a lo largo del curso y éste supondrá el 30% de la nota final.







En esta asignatura se trabajará la competencia transversal de resolución de problemas y toma de decisiones basándose en juicios razonados en el nivel 1.

Para el desarrollo de esta competencia se propondrá como tarea específica la resolución de ejercicios y problemas. Dicha competencia C1 se evaluará con un máximo de 4 puntos.



Pese a que el sistema de evaluación prioritario es continuo, en todo caso el alumnado tendrá derecho a ser evaluado mediante el sistema de evaluación final, independientemente de que haya participado o no en el sistema de evaluación continua. Para ello, el alumnado deberá presentar por escrito al profesorado responsable de la asignatura la renuncia a la evaluación continua, para lo que dispondrán de un plazo de 9 semanas a contar desde el comienzo del cuatrimestre, de acuerdo con el calendario académico del centro.



El alumnado que opte por un sistema de evaluación final podrá acreditar la consecución de conocimientos y competencias inherentes a la asignatura a través de una única prueba final.

Para presentar renuncia a la convocatoria ordinaria bastará con no presentarse al examen.

La plataforma moodle de la UPV/EHU se utilizará como repositorio de información, donde se publicarán el material necesario para el seguimiento de la asignatura: programa, guía docente, problemas propuestos y recursos complementarios

Bibliografía básica

* SYDSAETER, K. y HAMMOND, P.: Matemáticas para el Análisis Económico. Editorial Prentice Hall. Madrid 1996 (1ª edición)



* JARNE, PÉREZ GRASA y MINGUILLÓN.: Matemáticas para la Economía. Álgebra Lineal y Cálculo Diferencial. Ed. McGraw-Hill. 2004.

Bibliografía de profundización

* HOFFMAN, L. y BRADLEY, G.: Cálculo aplicado para Administración, Economía y Ciencias Sociales. Editorial McGraw-Hill. Bogotá 2004 (8ª edición)

* STEWART, J.: Cálculo (conceptos y contextos). Editorial Thomson. México D.F. 2006 (5ª edición)

*SAN MILLÁN, M.A. y VIEJO, F.: Ekonomia Matematikorako Sarrera. EHUko argitalpen zerbitzua. 1996.

* ALEGRE, P y otros: Ejercicios Resueltos de Matemáticas Empresariales (tomos 1 y 2). Editorial AC. Madrid 1991

* BARBOLLA, R. y SANZ, P.: Álgebra Lineal y Teoría de Matrices. Editorial Prentice Hall. Madrid 1998

* CABALLERO, R. y otros: Matemáticas aplicadas a la Economía y a la Empresa. 380 ejercicios resueltos y comentados. Editorial Pirámide. Madrid 1993

* MINGUILLÓN, PÉREZ GRASA Y JARNE. (2004): Matemáticas para la Economía. Libro de ejercicios. Ed. McGraw-Hill