DESCRIPCIÓN

En esta asignatura se presentan los números reales y sus propiedades. Se dan las aplicaciones básicas de la continuidad y la derivación de las funciones de variable real. Se presenta la integral de Riemann con sus aplicaciones. Se dan a conocer los resultados básicos de sucesiones y series de funciones. Se introduce el cálculo diferencial de funciones de varias variables.

CONTEXTUALIZACIÓN

La asignatura de Cálculo Diferencial e Integral I se interrelaciona con Cálculo Diferencial e Integral II (2º del Grado de Matemáticas), Análisis Complejo (3º del Grado de Matemáticas) y Análisis Vectorial y Complejo (2º de los Grados de Física e Ingeniería Electrónica).

Las cuatro asignaturas presentan de forma sistemática los conceptos, técnicas y aplicaciones básicas del cálculo diferencial de una variable, tanto real como compleja, o varias variables reales. Por otro lado, la integral de Riemann de funciones de una variable es imprescindible para entender las integrales dobles,.., las integrales curvilíneas y de superficie que se presentan en en el cálculo de varias variables. En las asignatura de Cálculo Diferencial e Integral I y se presentan los resultados básicos de las series de potencias de variable real mientras que en el cálculo de variable compleja se analizarán las de variable compleja.

COMPETENCIAS

Conocer la construcción axiomática de los números reales y aprender las nociones elementales de los números reales y complejos.

Comprender los conceptos de sucesiones y series numéricas y manejar la noción de convergencia mediante la utilización de los distintos criterios para su determinación.

Conocer las técnicas de determinación de la convergencia de sucesiones y series de funciones reales y distinguir entre los diferentes tipos de convergencia.

Calcular sumas de series de funciones en los casos elementales.

Manejar con soltura las nociones de límite, continuidad, derivabilidad e integración de funciones de una variable real y desarrollar técnicas apropiadas en la resolución de diversos problemas y aplicaciones, como el cálculo de extremos, áreas y volúmenes.

Analizar y representar funciones, sabiendo deducir propiedades de las mismas a partir de sus gráficas.

Entender, asimilar y saber aplicar los principales teoremas del cálculo diferencial e integral.

Calcular integrales impropias de una variable y conocer su convergencia.

Conocer de forma rigurosa las funciones elementales y saber aplicar sus propiedades a la resolución de ecuaciones diferenciales lineales.

Saber las técnicas del cálculo de derivadas de funciones de varias variables, derivadas parciales, derivadas direccionales y regla de la cadena.



RESULTADOS DE APRENDIZAJE.

Manejar las propiedades de las sucesiones y series, relacionar los conceptos de convergencia y acotación.

Conocer los conceptos básicos de las funciones y sus propiedades, comprender las nociones de límite y continuidad, derivada e integral.

Calcular derivadas de funciones utilizando las reglas básicas y los resultados teóricos conocidos.

Plantear y resolver problemas geométricos (gráficas de funciones, longitudes, áreas, volúmenes) con ayuda del cálculo diferencial e integral.

1. NÚMEROS REALES Y COMPLEJOS: Expresión decimal de números racionales. Números reales. Axioma del supremo. Números complejos

2. SUCESIONES NUMÉRICAS: Límite de una sucesión. Sucesiones monótonas, acotadas y convergentes. Condición de Cauchy. Subsucesiones. Cálculo de límites.

3. SERIES NUMÉRICAS: Condición de Cauchy. Convergencia absoluta y condicional. Series de términos no-negativos. Criterios de convergencia. Series alternadas.

4. FUNCIONES Y CONTINUIDAD: Límites y continuidad. Teoremas básicos. Continuidad uniforme.

5. DERIVADAS: Interpretación geométrica. Operaciones y regla de la cadena. Cálculo aproximado de raíces. Teoremas del valor medio. Regla de L'Hôpital. Teorema de Taylor. Representación gráfica. Funciones inversas.

6. INTEGRAL DE RIEMANN: Funciones integrables. Propiedades de la integral. Teorema fundamental del cálculo. Cálculo de primitivas. Aplicaciones de la integral. Integrales impropias.

7. SUCESIONES Y SERIES DE FUNCIONES: Convergencia y convergencia uniforme. Continuidad, derivabilidad e integrabilidad del límite de una sucesión de funciones. Series de funciones. Criterio de Weierstrass. Series de potencias. Radio de convergencia. Desarrollos en serie de potencias.

8. FUNCIONES ELEMENTALES: Función exponencial. Función logaritmica. Funciones trigonométricas. Principales propiedades.

9. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: Gráficas de funciones de dos variables y curvas de nivel. Limites. Derivadas parciales. Derivadas respecto a una dirección. Gradiente. Plano tangente.

METODOLOGÍA

El contenido teórico se expondrá en clases magistrales siguiendo referencias básicas que figuran en la Bibliografía y el material de uso obligatorio. Estas clases magistrales se complementarán con clases de problemas (prácticas de aula) en los que se propondrá al alumnado resolver cuestiones en las que se aplicarán los conocimientos adquiridos en las clases teóricas.

En los seminarios el alumnado desarrollará o expondrá de forma oral o escrita las cuestiones y ejemplos representativos del contenido de la asignatura, que generalmente el profesorado habrá facilitado con anterioridad; la consideración y trabajo previo del alumnado sobre esas cuestiones planteadas motivará la posterior reflexión y discusión en la sesión dedicada a ello. Se propondrán a los estudiantes trabajos individuales o en grupo sobre teoría o problemas. Parte importante del trabajo del alumnado será de carácter personal. El profesorado orientará al alumnado en los trabajos propuestos. El alumnado contará con tutorías del profesorado donde podrá aclarar cualquier duda o dificultad que se les presente en la asignatura.

• Sistema de Evaluación Final
• Herramientas y porcentajes de calificación:
  • Ver orientaciones (%): 100

Examenes escritos: pruebas objetivas tanto de teoria como de ejercicios.

Peso: %80- 100% (Nota minima de 4 sobre 10 para tener en cuenta la nota de los seminarios y/o examen parcial).

Criterios:

-Precisión en los razonamientos y en las definiciones.

-Corrección del lenguaje matemático.

-Métodos de argumentación claros y ordenados explicando los pasos.

-Exactitud en los resultados de los ejercicios.









Trabajos de los seminarios (escritos y orales) o examen parcial.

Peso: 0%-20%

Criterios:

-Respuestas correctas y buena utilización del lenguaje matemático

-Claridad en los razonamientos

-En las explicaciones orales orden y precisión

-Orden y precisión en la resolución de problemas

-Asistencia



Tanto para las evaluaciones parciales como para la evaluación ordinaria se hará la media entre el examen escrito y los trabajos de los seminarios siempre que se obtenga un 4 o más en examen. Para superar la asignatura habrá que aprobar ambos cuatrimestres.

Examen escrito: Peso %100.

Plataforma Egela.

Bibliografía básica

BIBLIOGRAFÍA

*JUAN DE BURGOS, Cálculo infinitesinmal de una variable, editorial McGraw Hill, 1994.,

*J.E. MARSDEN Y A. J. TROMBA, Cálculo vectorial. Pearson Education, S.A. (5ªedición). 2004.

*N.PISKUNOV, Kalkulu diferentziala eta integrala, U.E.U., 2.argitalpena, 2009.

*M. SPIVAK, Calculus, Editorial Reverté 2ªedición, 1996.



Problemas:

*M. DE GUZMAN Y B. RUBIO, Problemas, conceptos y métodos del Análisis Matemático, tres tomos, Editorial Pirámide, 1993.

*M. BILBAO, F. CASTAÑEDA Y J.C. PERAL: Problemas de cálculo. Ediciones Pirámide, 1998.

*B.P. DEMIDOVICH, 5000 problemas de Análisis Matemático, Editorial Paraninfo.

*A. VERA y P. ALEGRIA, Problemas y ejercicios de Análisis Matemático, Editorial AVL, 2000.

Bibliografía de profundización

* R.LARSON Y B.H. EDWARDS, Cálculo,editorial McGraw Hill, novena edición, 2011.
* J. M. ORTEGA, Introducción al Análisis Matemático, Labor, 1993.
* B.RUBIO, Números y convergencia. Madrid, 2006.
* B.RUBIO, Funciones de variable real. Madrid, 2006.
* W. RUDIN, Principios del Análisis Matemático, Editorial McGraw Hill, 1987.

Direcciones web

http://www.webskate101.com/webnotes/home.htmld/home.html
http://www.mathcs.org/analysis/reals/index.html