La Física es una disciplina clásica que ha estado presente en todos los sistemas de ciencia y tecnología de los países industrializados. El método de trabajo en Física consiste -en general- en la interacción de métodos experimentales y modelos teóricos que hacen frecuentemente un uso extensivo de herramientas matemáticas y computacionales avanzadas. La formación que reciben los alumnos del grado de Física incide en el manejo de dichas herramientas. La titulación de Física se ha diseñado para propiciar la capacidad de aprendizaje autónomo, lo que capacita a los alumnos como futuros profesionales capaces de resolver problemas de diversa naturaleza, acostumbrados al análisis y modelización de situaciones complejas. Hoy los graduados en Física acceden a un amplio abanico de empleos: investigación, industria, informática, telecomunicaciones, docencia, finanzas etc.



En esta asignatura se introduce al alumno a los conceptos más básicos del cálculo numérico, con la programación en lenguaje Fortran como vehículo de aplicación. Es una asignatura con un gran componente práctico, ocupando una posición intermedia entre una asignatura clásica de matemática aplicada y las de pura programación y desarrollo de proyectos.



De hecho, el grado de Física de la UPV/EHU se ha articulado en torno a 10 módulos distintos. La computación y el cálculo y análisis numérico pueden jugar un papel destacable en al menos seis de ellos. Durante el primer curso del grado se imparte la asignatura de "Introducción a la Computación", donde ya se apuntan los primeros conceptos elementales de análisis numérico y programación, y esta asignatura constituye junto con la asignatura de "Métodos Computacionales" el módulo de Herramientas computacionales del grado de Física.



Además de en este último, los conocimientos de computación pueden tener relevancia en los siguientes módulos: Técnicas experimentales, Estructura de la materia, Física Fundamental, Física del Estado Sólido, e Instrumentación y Medida.



Los primeros cursos del grado resultan esenciales, ya que en ellos se introducen los distintos conceptos matemáticos necesarios para un impacto óptimo de la asignatura de "Métodos Computacionales". Durante el primer curso del grado, el alumno cursa las asignaturas de "Álgebra lineal" y "Cálculo Infinitesimal e Integral", durante el segundo curso se imparten las asignaturas de "Análisis Vectorial y Complejo" y "Métodos Matemáticos", donde se introducen los métodos analíticos de resolución de ecuaciones diferenciales. Las asignaturas del segundo curso "Mecánica y Ondas" y "Física Moderna" suponen la primera aproximación a las ecuaciones de onda o de calor, y también un primer contacto con la mecánica cuántica y la ecuación de Schr\"odinger.



La asignatura de "Métodos Computacionales" se encuentra en una posición inmejorable dentro del grado de Física. Por un lado, el alumno ha tenido la oportunidad de adquirir las competencias matemáticas necesarias, por otro lado, y de cara al diseño del proyecto computacional (*que el alumno debe desarrollar durante la segunda mitad del curso, es muy interesante la docencia en paralelo junto con las asignaturas obligatorias del tercer curso "Física Cuántica" y "Termodinámica y Física Estadística" (*y las opcionales como "Física de los Medios Continuos"). Los profesores de la asignatura hemos podido comprobar durante el quinquenio 2010/2015 que una gran parte de los proyectos computacionales realizados por los alumnos ha tenido relación directa con problemas prácticos relacionados con estas asignaturas.



Por otra parte, en cuarto curso encontramos algunas asignaturas en las que la programación y el cálculo numérico puede ser interesante con el objetivo de obtener resultados prácticos o con vistas al trabajo fin de grado. Destacamos las asignaturas de "Física del Estado Sólido I" y "Física del Estado Sólido II" donde los temas sobre la estructura electrónica, modelos vibracionales o problemas de "scattering", requieren generalmente de un tratamiento numérico aproximado. De igual manera, la aplicación numérica puede ser relevante en la asignatura de "Mecánica Cuántica", especialmente en los temas relacionados con métodos de aproximación, método WKBJ, perturbaciones dependientes del tiempo, regla de oro de Fermi-Dirac, interacción electromagnéticas, teoría de colisiones etc.

1. Competencias básicas sobre programación.



2. Conocer y saber utilizar los métodos numéricos más elementales (y consciencia sobre la existencia de otros métodos más avanzados).



3. Fomento de una actitud crítica e independiente y de las habilidades necesarias para diseñar y ejecutar un proyecto a largo plazo.



4. Destreza en la obtención de información/bibliografía de calidad.



Dada la naturaleza práctica de la asignatura de Métodos Computacionales su adaptación al ámbito de la docencia universitaria resulta relativamente sencillo. Nos acercamos al objetivo de la evaluación continua mediante el trabajo regular con las distintas hojas de problemas computacionales, así como por la producción durante el desarrollo del proyecto computacional, que el alumno ha de presentar en dos tandas, entorno a las vacaciones de invierno y al finalizar el curso. Una premisa del plan de estudios es la de fomentar la interacción entre alumnos. Si bien la evaluación de los ejercicios es individual, no cabe duda que la colaboración entre alumnos es muy positiva, acelerando el proceso de aprendizaje. La realización de ejercicios pueden suponer un buen espacio de colaboración dentro del grupo.

Tema 1. Sistemas operativos y conceptos básicos de programación.



Este tema comienza con una breve introducción histórica del análisis numérico y la computación. Seguidamente, introducimos el concepto de sistema operativo, describiendo algunas de sus funciones y mencionando, de paso, algunos de los sistemas operativos más conocidos: Windows, Mac, Unix y Linux.



Tema 2. Programación estructurada en un lenguaje de alto nivel.



Introducción al lenguaje Fortran F, un subconjunto (más rígido) del lenguaje Fortran 95. Tras una breve descripción de la estructura general de un código Fortran, definimos la declaración de variables en Fortran, los arrays, asignación de valores y bucles y estructuras básicas. Programación modular.



Tema 3. Raíces de ecuaciones no-lineales.



El tema comienza con una breve descripción del método del punto medio y el método de Newton para la obtención de ceros de ecuaciones no lineales.



Tema 4. Aproximación de funciones: Interpolación y extrapolación



En este tema introducimos el método de interpolación de Lagrange y spline.



Tema 5. Integración y derivación numérica.



En este tema se introducen las formulas de Newton-Côtes, que ofrece un contexto en el cual los métodos elementales del rectángulo y del trapecio aparecen simplemente como aproximaciones de orden 0 y 1 respectivamente. Continuamos recordando las propiedades de los polinomios de Lagrange y su utilidad para obtener formulas de integración de orden superior. Pasamos a los siguientes métodos de integración, el método de Gauss-Legendre y de Romberg respectivamente. Finalizamos este tema exponiendo brevemente las formulas para derivadas numéricas.



Tema 6. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales.



Tema importante en cuanto a aplicaciones. Eliminación de Gauss y descomposición LU.



Tema 7. Resolución de ecuaciones diferenciales.



Este tema comienza con la definición matemática de los problemas de valores iniciales y de problemas con condiciones de contorno para las ecuaciones diferenciales ordinarias.



Comenzamos con el cálculo de la trayectoria de un proyectil con rozamiento. Este ejemplo sirve como vehículo para introducir el método de integración más básico, el método de Euler. Tras explorar el significado geométrico del método de Euler, pasamos a justificar rápidamente el método de Runge-Kutta, como una corrección --en varios pasos-- del método de Euler. Terminamos esta sección subrayando que los método utilizados pueden generalizarse de forma fácil y compacta, entendiendo que la solución puede expresarse de forma vectorial.



Llegados a este punto, se introducen las ecuaciones diferenciales de difusión y de ondas en forma de diferencias finitas. El método explícito se desarrolla de forma obvia al hacer una conexión directa con el método de Euler. Seguidamente, exponemos el método de Crank-Nicholson, o método implícito, incidiendo en que es simplemente una forma mejorada del método explícito, al incrementar el orden de aproximación de la derivada temporal. La ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo (1D) se introduce de forma exactamente igual a como se ha hecho con las ecuaciones de difusión y de ondas.



Tema 8. Métodos estocásticos



Tras una breve introducción histórica, el tema comienza planteando el problema del conde Buffon, con el objetivo de estimar el valor del número \pi mediante sucesivos lanzamientos de una aguja a una hilera de rectas paralelas, en las que contamos el número de agujas que cruza alguno de los segmentos. Este ejemplo nos acerca a la esencia del método de Monte Carlo. El objetivo es comprender que la solución no es determinista.



Este tema continua con una breve exposición de varios ejemplos de algoritmos diseñados para obtener números (pseudo)aleatorios mediante el ordenador.



A continuación, introducimos un problema esencial en cualquier método de integración de tipo Monte Carlo: La generación, a partir de una densidad probabilidad uniforme, de muestras de números aleatorios con una populación que sigue a una función de densidad de probabilidad genérica. Recordamos --una vez más-- que las soluciones analíticas son muy excepcionales y pasamos a introducir el método de Metrópolis, un algoritmo extremadamente sencillo que permite reproducir/popular cualquier densidad de probabilidad. Con esta herramienta, estamos preparados para discutir varios ejemplos de generación de muestras, y su aplicación al cálculo de integrales.



Finalizamos este tema planteando la solución a algunos problemas clásicos de física estadística y mecánica cuántica: el modelo de Ising, el cálculo de la distribución radial en un gas de esferas rígidas y el cálculo la energía fundamental del átomo de Helio.

Un curso del grado de Física consiste en 60 créditos, y aproximadamente 40 semanas por curso.

La asignatura de Métodos Computacionales tiene asignados 9 créditos ECTS a impartir durante todo el curso.



La naturaleza de esta asignatura reduce las modalidades docentes de aplicación posible a solamente tres: las clases magistrales, seminarios y las prácticas de aula. En realidad, la distinción entre clases prácticas y magistrales es -a veces- virtual, ya que una exposición teórica, requiere a menudo de una respuesta "in situ" por parte del alumno en forma de realización de un ejercicio de programación.



El cualquier caso "Métodos Computacionales" es una asignatura eminentemente práctica, al tener asignados 49 créditos ECTS a prácticas de ordenador, 36 a clases magistrales y 5 creditos para seminarios.



Las clases magistrales consisten en clases expositivas de conceptos teóricos y/o ejemplos que clarifiquen el contenido del temario. Contamos con la asistencia de presentaciones en ordenador, pizarra, y material adicional --apuntes-- en la plataforma moodle. De esta forma, el alumno dispondrá de todo el material básico, con la intención de maximizar la atención del estudiante en clase.



Finalmente, las clases prácticas consistirían en la exposición, por parte del profesor,

de ejemplos o ejercicios prácticos y/o la realización por parte del alumno de ejercicios

de computacion con la orientición del profesor.

• Sistema de Evaluación Final
• Herramientas y porcentajes de calificación:
  • Prueba escrita a desarrollar (%): 100

Examen(s) 100%

El resultado del examen representará el 100% de la nota final.

Bibliografía básica

1. R. L. Burden y J. D. Faires; Numerical Analysis. Brooks Cole, 2002.



Este texto es una referencia magnífica por el rigor matemático, la extensión con la que trata los temas y los ejemplos y tablas numéricas que aporta. Este texto abarca la mayor parte del temario, a excepción solamente del tema correspondiente a los métodos estocásticos. Además, aporta un buen número de ejemplos de aplicación. Este libro puede representar un complemento muy eficaz del material aportado por el docente.



2. B. P. Flannery, S. A. Teukolsky y W.T. Vetterling; Numerical Recipes: The art of scientific computing. Cambridge University Press, 1986.



Un texto clásico que abarca la mayor parte de los métodos numéricos más conocidos. De forma directa, este texto introduce a los contenido y dificultades de distintos algoritmos y aportando además, el código fuente en lenguaje Fortran 77/90.





3. Alejandro L. Garcia; Numerical Methods for Physics. Prentice Hall, 1994.



Un texto didáctico, ameno y directo. Introduce los distintos métodos numéricos mediante problemas clásicos en Física. Especialmente recomendable para el tema de ecuaciones diferenciales, no es un libro con especial énfasis en el tratamiento y las demostraciones matemáticas, más bien, las ''cuestiones'' matemáticas se tratan, de paso, durante el desarrollo de cierto ejemplo Físico.



4. Donald Greenspan ; Discrete Numerical Methods in Physics and Engineering. Academic Press, 1974.



Es un texto muy directo y riguroso, especialmente recomendable para el tema relativo a la resolución de ecuaciones diferenciales. Contiene una gran cantidad de ejemplos y tablas numéricas que pueden servir como ejercicios adicionales durante la segunda mitad del curso.



5. Mdvin H. Kalos, Paula A. Whitlock ; Monte Carlo Methods. Wiley, 2004.



Es un texto muy didáctico que comienza con dos cápitulos muy recomendables sobre elementos básicos de teoría de probabilidad y generación de muestras aleatorias mediante distintos Métodos. Se incluye al método de Metropolis en un contexto muy general.





6. Ivan T. Dimov ; Monte Carlo Methods for Applied Scientists. World Scientific, 2008.



Es un texto con una fuerte orientación matemática, con aplicaciones muy interesantes y menos conocidas del método de Monte Carlo: Solución de ecuaciones lineales de gran dimensión, integrales multidimensionales, resolución de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales etc.



El primer y extenso capítulo puede servir para complementar lo expuesto en las clases magistrales, con un lenguaje matemático más formal, aunque las aplicaciones de resolución ecuaciones diferenciales que se tratan en el libro, podrían ser muy interesantes.