La asignatura de Matemáticas II forma parte del módulo de materias básicas del primer curso de este Grado. Constituye el complemento lógico a la asignatura Matemáticas I, generalizando y desarrollando para funciones de varias variables, el análisis realizado en la asignatura Matemáticas I para funciones de una variable. En este curso se estudian algunas técnicas y métodos específicos, inspirados en procesos habituales en cuantitativa económica y toma de decisiones en el ámbito empresarial, con el énfasis puesto en la Optimización.



Tras una breve introducción general que contiene algunos preliminares que giran en torno a la topología, conjuntos convexos, funciones cóncavas y convexas, el contenido de la asignatura se centra en tres temas principales: análisis matemático, optimización y cálculo integral. El desarrollo de cada tema se apoya en el conocimiento básico, comprensión y habilidades previamente adquiridas en otros cursos del grado, tras lo cual se profundiza y amplia el estudio de estos temas, para concluir aplicándolos a la economía (social).



La sección de "Análisis" se ocupa de funciones de dos o varias variables. Se trabaja en tópicos como la evaluación de funciones y derivadas en relación al estudio de extremos, un tema importante dentro de una Facultad de economía aplicada.



La sección "Cálculo integral" se enfoca hacia el cálculo de integrales definidas dobles. Esta última sección de la asignatura, combinada con la segunda, permiten hacer ver a los y las estudiantes la manera de resolver tipos de problemas económicos y empresariales girándolos y traduciéndolos a modelos matemáticos.



La tercera parte, "Optimización", estudia el cálculo de máximos y mínimos de funciones, con o sin restricciones, con restricciones de igualdad y con desigualdades. Los resultados generales permiten llegar a los teoremas básicos de la programación lineal como un caso especial. Los principales resultados se presentan como un modelo comparativo. El lado práctico del curso aborda aplicaciones matemáticas y económicas.



Sin perder la naturaleza básica y aplicada del curso Matemáticas I, este curso desarrolla y profundiza en las herramientas de la programación lineal y no lineal. Esto convierte la asignatura en un buen apoyo para otros cursos en el plan de estudios que requieren una base matemática sólida como, por ejemplo, la introducción a los métodos estadísticos. Teniendo en cuenta la importancia que tiene el pensamiento lógico, la abstracción y conocimientos matemáticos en buena parte del ámbito profesional al que va dirigido este grado, esta asignatura, junto con Matemáticas I, permitirán a las y los estudiantes mejorar su perfil de salida.



Al comienzo de este curso el y la estudiante debe haber adquirido las siguientes capacidades:

- Conocimientos correspondientes al curriculum del bachillerato en la rama de humanidades y ciencias sociales.

- Amplio conocimiento básico de aritmética y álgebra, así como de límites, derivadas, evaluación de funciones e integrales en el caso de funciones de una variable.

- Los conocimientos y competencias adquiridas en el curso "Matemáticas I" del primer año del grado.

El objetivo de esta asignatura es que las y los estudiantes aprendan y comprendan las nociones básicas del Cálculo Diferencial e Integral de funciones de varias variables y de la Optimización necesarias en este Grado. Debe proporcionar al alumnado estos conocimientos con un adecuado equilibrio entre el contenido conceptual y el práctico. Esto es, el aprendizaje de la sola mecánica no es suficiente: un uso racional de los instrumentos requiere la comprensión del entramado conceptual que los soporta. El objetivo es por tanto, que el y la estudiante alcance un nivel suficiente de familiaridad y comprensión del contenido del programa. En lo que se refiere a las competencias, más allá de las más específicas en relación con el contenido del programa (obvias y que sería superfluo enumerar, por ejemplo, entender el sentido de las nociones de derivada parcial e integral además de saber realizar su cálculo, etc.), cabe subrayar como competencias transversales a las que esta materia debe especialmente ayudar a desarrollar, la del razonamiento lógico riguroso y la formulación precisa de proposiciones.



Competencias específicas de la asignatura:

- Comprender y manejar la notación y el lenguaje matemático.

- Manipular con seguridad expresiones algebraicas.

- Extender los conceptos aprendidos en el contexto de funciones de una variable a funciones

de varias variables.

- Conocer las nociones básicas del cálculo diferencial e integral de las funciones reales de

varias variables.

- Comprender nociones y problemas de contenido económico expresados en lenguaje matemático.

- Plantear, resolver e interpretar problemas de optimización de funciones de varias variables.

- Plantear, resolver e interpretar problemas de cálculo diferencial e integral de funciones

de varias variables.



Competencias generales:

- Capacidad de utilizar las herramientas básicas necesarias en el análisis de problemas

económicos.

- Capacidad para la abstracción y el pensamiento analítico.

- Capacidad para la reflexión crítica.

- Capacidad de organización y planificación del propio estudio.

- Capacidad para la comunicación escrita utilizando un lenguaje preciso.

- Capacidad para trabajar en equipo, con responsabilidad y respeto, iniciativa y liderazgo.

- Desarrollo de habilidades de aprendizaje para adquirir un alto grado de autonomía, tanto

de cara a emprender estudios posteriores como de cara a su propia formación personal en un

ámbito sujeto a continuos cambios e innovaciones.

1 Cálculo Diferencial

1.1 Conceptos fundamentales.

1.2 Noción de conjunto en R y Rn. Representación de conjuntos.

1.3 Funciones reales de varias variables.

1.4 Límite y continuidad.

1.5 Cálculo diferencial.

1.6 Algunos casos especiales de funciones.







2 Optimización en varias variables

2.1 Conceptos y resultados generales.

2.2 Optimización sin restricciones.

2.3 Optimización con restricciones de igualdad.

2.4 Optimización en conjuntos.

2.5 Introducción a la Programación Lineal.



3 Cálculo integral.

3.1 El concepto de integral doble en recintos acotados.

3.2 Propiedades de la integral doble.

3.3 Cálculo de integrales dobles en recintos acotados. Teorema de Fubini.

La metodología se basa en tres modos de relación profesorado-alumnado. Se fomentará siempre el uso del lenguaje matemático y simbólico así como el razonamiento riguroso y formal.



Clases magistrales: cada tema introducido se inspirará en ejemplos (económicos, sociales). A esta introducción motivada le seguirá una discusión cuidadosa del contexto para permitir que los y las estudiantes se familiaricen, al mismo tiempo, con el significado y la mecánica del tópico matemático. Los ejemplos que ilustran el texto se resuelven en su totalidad y los pasos en los cálculos se explican con el mayor rigor matemático.



Clases prácticas: aunque generalmente los tópicos y conceptos se introducirán en una clase magistral, algunos se presentarán en estas sesiones prácticas. El Cálculo no se puede aprender observando a alguien cómo lo hace. Debido a esto, durante estas sesiones, los y las estudiantes deberán trabajar en ejercicios de naturaleza analítica, así como problemas puestos en contexto. Estos últimos son una parte integral de la enseñanza de cálculo en un contexto de ciencias sociales.



En estas clases se fomentará la capacidad de los y las estudiantes para modelizar, resolver y analizar de forma lógica y crítica problemas complejos.



Seminarios: la característica distintiva de estas sesiones son las diversas aplicaciones que se presentan y destacan: problemas geométricos de extremos, programación lineal, etc.... Estas sesiones tendrán un carácter autosuficiente del tratamiento de los contenidos, lo que permite una discusión del enfoque de diferente soluciones. Se proporcionan soluciones completas a los ejercicios y se dan detalladas sugerencias para una lectura adicional.

• Sistema de Evaluación Continua
• Sistema de Evaluación Final
• Herramientas y porcentajes de calificación:
  • Prueba escrita a desarrollar (%): 50
  • 2 prueba parciales (%): 50

El objetivo de la evaluación es valorar el nivel de comprensión y aprendizaje alcanzado por el alumnado.

Se realizarán dos pruebas y un examen final.

La primera prueba tendrá lugar tras haber finalizado el Capítulo 1 y la segunda tras el Capítulo 2. Estas dos pruebas permitirán a los y las estudiantes comprobar su grado de comprensión de los contenidos de la asignatura y orientar su trabajo para mejorar, si es posible, sus resultados.

La calificación final estará basada en la mejor de las dos siguientes opciones: (a) la que resulta de aplicar la ponderación del 50% al examen final y del otro 50% a las dos pruebas previamente mencionadas, y (b) la que resulta de aplicar el 100% al examen final. En el caso del alumnado que tenga reconocida la evaluación final, la prueba final comprenderá el 100% de la nota.

Los y las estudiantes que no realicen el examen final serán calificados como No Presentado.

El examen final será el mismo para todo el alumnado de todos los grupos de la asignatura.

Las pruebas y el examen final consistirán en cuestiones que permitan valorar el grado de asimilación de la materia, esto es, el conocimiento de las técnicas y la comprensión de los conceptos básicos que las sustentan. Por ello, estas pruebas contendrán ejercicios no puramente mecánicos y algunas cuestiones de corte teórico, como definiciones de conceptos básicos o enunciado de resultados importantes.

En caso de que, debido al Covid, las circunstancias impidan la celebración presencial de alguna o todas las pruebas, la evaluación será exactamente la misma, solo que esas pruebas se realizarán de forma telemática a través de la plataforma egela.

En la convocatoria extraordinaria los y las estudiantes realizarán un examen que comprende el temario de toda la asignatura.

Si este examen no se puede realizar de modo presencial se hará de forma telemática a través de la plataforma egela.

Los documentos, con ejemplos ilustrativos de la teoría, ejercicios..., redactados por el profesorado, así como links a contenidos que amplían el trabajo del aula y que están disponibles en la plataforma virtual eGela son de lectura obligada

Bibliografía básica

* Matemáticas para el Análisis Económico. K. Sydsaeter, P. Hammond y F. Carvajal (2ª edición), Pearson Educación, S.A., Madrid (2011).

* Temas de Matemáticas para Economistas, F. Valenciano y M. Aramendia, Servicio Editorial de la Universidad del País Vasco, Bilbao (1991).

Bibliografía de profundización

* Mathematic Applications to Business, Economy and Social Sciences, Ronald J. Harshbarger, James J. Reynolds, Mc Graw Hill, (2004)

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