En esta asignatura se presentan herramientas del cálculo diferencial e integral de funciones de varias variables reales y se estudian las funciones de variable compleja, sus propiedades y aplicaciones.



Esta asignatura, junto con Álgebra Lineal y Geometría I, Cálculo Diferencial e Integral I y Métodos Matemáticos, forma un módulo cuyo objetivo central es la adquisición del utillaje matemático que permita al alumnado centrarse en los aspectos físicos de otros módulos. Así mismo, se adquirirá aprecio por la abstracción matemática y el rigor conceptual.

COMPETENCIAS ESPECÍFICAS

- Comprender el concepto de diferenciabilidad de funciones de varias variables.

- Saber las técnicas del cálculo de derivadas de funciones de varias variables, derivadas parciales, derivadas direccionales, regla de la cadena, desarrollo de Taylor.

- Saber aplicar los teoremas de la función implícita y función inversa en diferentes cálculos.

- Conocer las técnicas del cálculo de extremos (absolutos y relativos con y sin restricciones) de funciones de varias variables.

- Saber plantear y resolver integrales de Riemann de funciones de varias variables, integrales de línea y de superficie, así como conocer sus aplicaciones geométricas y físicas.

- Conocer el significado geométrico y físico de los teoremas vectoriales para el cálculo de integrales de línea y superficie (teoremas de Green, Stokes y Gauss).

- Comprender el concepto de función analítica de una variable compleja.

- Saber plantear y resolver integrales de línea complejas.

- Conocer el Teorema Integral de Cauchy y la Fórmula de Cauchy.

- Saber desarrollar funciones de variable compleja en series de Taylor y Laurent.

- Saber aplicar el Teorema de los residuos al cálculo de integrales de línea complejas, integrales impropias reales y series numéricas.

- Apreciar la abstracción matemática y reconducirla para el cálculo concreto.

- Ser capaz de modelar matemáticamente situaciones físicas sencillas.

- Ser capaz de organizar un discurso lógico con apoyatura matemática.



RESULTADOS DE APRENDIZAJE

- Conocer teoremas pertinentes, considerar su aplicabilidad al caso concreto y, caso de ser aplicables, usarlos en un cálculo concreto.

- Ante una descripción verbal de un problema, graficar esquemáticamente su planteamiento, asignar símbolos a las magnitudes y coordenadas y plantear las ecuaciones matemáticas que describen el sistema.

- Analizar un texto prima facie matemático y encontrar fallos lógicos en el planteamiento, acompañar con discurso explicativo los cálculos de un problema no trivial.

1. EXTREMOS. Derivadas parciales. Derivadas de orden superior. Teorema de Taylor. Extremos locales. Extremos condicionados. Extremos absolutos.

2. FUNCIONES IMPLÍCITAS. Teorema de la función implícita. Teorema de la función inversa.

3. INTEGRAL DOBLE. Integral de Riemann de funciones de dos variables sobre rectángulos. Integrales dobles sobre dominios generales. Cambio de variable en integrales dobles. Aplicaciones.

4. INTEGRAL TRIPLE. Integral de Riemann de funciones de tres variables sobre paralelepípedos. Integrales triples sobre dominios generales. Cambio de variable en integrales triples. Aplicaciones.

5. INTEGRALES DE LÍNEA. Trayectorias y longitud de arco. Integrales de línea de primera y de segunda especie. Reparametrizaciones. Integrales de línea sobre curvas geométricas.

6. INTEGRALES DE SUPERFICIE. Superficies parametrizadas y área. Integrales de superficie de primera y de segunda especie.

7. TEOREMAS DEL ANÁLISIS VECTORIAL. Operadores vectoriales. Teorema de Green. Teorema de Stokes. Campos conservativos. Teorema de la divergencia de Gauss.

8. NÚMEROS COMPLEJOS. Forma binómica y forma polar. Operaciones algebraicas. Raíces. La distancia en el plano complejo.

9. FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA. Límites y continuidad. Derivada compleja. Condiciones de Cauchy-Riemann. Funciones holomorfas. Funciones armónicas.

10. FUNCIONES ELEMENTALES DE VARIABLE COMPLEJA. Polinomios. Raíces. Funciones racionales. La función exponencial y el logaritmo. Potencias complejas. Funciones trigonométricas y sus inversas. Funciones hiperbólicas.

11. INTEGRACION COMPLEJA Y TEOREMAS DE CAUCHY. Curvas en el plano complejo. Integración de funciones de variable compleja sobre curvas. Teorema fundamental del cálculo integral. Teorema integral de Cauchy. Fórmula integral de Cauchy.

12. SERIES DE TAYLOR Y DE LAURENT. PUNTOS SINGULARES. Sucesiones y series de funciones. Series de potencias. Teorema de Taylor. Teorema de Laurent. Puntos singulares y su clasificación.

13. RESIDUOS Y SUS APLICACIONES. Definición de residuo. El teorema de los residuos. Métodos de cálculo de residuos. Cálculo de integrales definidas reales de funciones trigonométricas. Cálculo de integrales impropias de variable real. Trasnformada de Fourier. Trasnformada de Laplace. Suma de series.

Las clases se dividen en magistrales, prácticas de aula y seminarios de asistencia obligatoria, donde se utilizarán diferentes metodologías.



En las clases magistrales se estudiarán los contenidos teóricos, que vendrán acompañados de ejemplos prácticos que permitirán un aprendizaje basado en la resolución de problemas.



En las prácticas de aula se desarrollarán problemas relacionados con cada tema, con el objetivo de que el alumnado ponga en práctica el aprendizaje obtenido en las clases magistrales.



Finalmente, se realizarán seminarios en los que se profundizarán los contenidos teórico/prácticos.

• Sistema de Evaluación Final
• Herramientas y porcentajes de calificación:
  • Prueba escrita a desarrollar (%): 100

Al final de cada cuatrimestre se realizará un examen parcial. Si las notas parciales de cada cuatrimestre son iguales o superiores a 5 sobre 10, la nota final de la convocatoria ordinaria será la media de las notas parciales. No se considerará la nota media de las notas parciales si alguna de ellas es inferior a 5 sobre 10.



En la convocatoria ordinaria el o la estudiante se examinará del cuatrimestre o cuatrimestres que no haya superado previamente.



Criterios de evaluación:

* Precisión en los razonamientos y definiciones

* Corrección en el uso del lenguaje matemático

* Métodos de argumentación claros y ordenados, explicando los pasos

Exactitud en los resultados de los ejercicios

Examen escrito: 100%



Criterios de evaluación:

* Precisión en los razonamientos y definiciones

* Corrección en el uso del lenguaje matemático

* Métodos de argumentación claros y ordenados, explicando los pasos

* Exactitud en los resultados de los ejercicios

Bibliografía básica

J. E. Marsden, A.J. Tromba, Cálculo vectorial. 5ª ed., Addison-Wesley Iberoamericana, 2004.

R. V. Churchill, J.W. Brown, Variable compleja y aplicaciones. 7ª ed., McGraw Hill, 2007.

J. Duoandikoetxea, J. Rivas, Analisi Konplexua, Servicio Editorial de la UPV/EHU, 2017.

Bibliografía de profundización

T. M. Apostol: Calculus, volumen 2. Reverté, 1973.
F. Bombal, L. Rodríguez, G. Vera, Problemas de Análisis Matemático, Ed. Electolibris, 2017.
B. P. Demidovich, 5000 problemas de Análisis Matemático. Ed. Paraninfo. 1980.
L. Volkovyski, G. Lunts, I. Aramanovich, Problemas sobre la teoria de
funciones de variable compleja. Ed. Mir Moscu, 1977.
J. Mathews, R.L. Walker, Mathematical methods of physics. Addison-Wesley, 1970.
J. E. Marsden, M.J. Hoffman, Análisis Clásico Elemental. Segunda Edición. Addison-Wesley Iberoamericana, 1998.
D. Pestana Galván, J.M. Rodríguez García, F. Marcellán Español. Variable compleja. Un curso práctico. Ed. Síntesis, 2014.
W.R. Derrik, Introductory complex analysis & applications. Academic Press, 1972.
M. R. Spiegel, S. Lipschutz, J.J. Schiller, D. Spellman,Variable Compleja. McGraw Hill, 2009
M. Rivas, Ejercicios de Funciones de Variable Compleja y Geometría Diferencial, 2010 (http://tp.lc.ehu.es/documents/problemas.pdf).

Direcciones web

T. Tao, Complex Analysis for Applications. http://www.math.ucla.edu/~tao/resource/general/132.1.00w/
Mathematical Tripos: IA Vector Calculus: http://www.damtp.cam.ac.uk/user/sjc1/teaching/VC_2000.pdf
Lectures on Integration of Several Variables: www.physics.nus.edu.sg/~phyteoe/mm4/m252.ps
http://math.fullerton.edu/mathews/complex.html
George Cain. http://people.math.gatech.edu/~cain/winter99/complex.html
B. Cuartero eta F. Ruizena. http://www.unizar.es/analisis_matematico/varcomplej/prg_varcompleja.html