La asignatura se engloba en el primer cuatrimestre dentro del Módulo de Formación Básica. El ámbito universitario implica un cambio para las y los estudiantes debido a la novedad del entorno y por las metodologías desarrolladas. Además, la asignatura requiere cierto nivel de abstracción para asimilar los diferentes conceptos teóricos novedosos para el alumnado.

El docente velará por el cumplimiento de las competencias y de los objetivos. Por su parte, el alumnado debe recuperar las destrezas proporcionadas en su formación y, también, esforzarse por llevar al día la materia nueva que se imparta.

Cada estudiante debe tener en cuenta que se encuentra cursando un Grado en Ingeniería con lo que las asignaturas de Matemáticas (Álgebra, Cálculo y Métodos Estadísticos de la Ingeniería que suponen el 40% de los créditos ECTS del primer curso) le van a proporcionar herramientas y procedimientos de resolución que son fundamentales en otras asignaturas del curso e, incluso, de la titulación.

Para cursar con éxito la asignatura se requieren una serie de competencias previas específicas:

-Expresar ideas con orden, claridad, concisión y corrección haciendo un uso apropiado del lenguaje simbólico matemático

-Tener suficiente dominio de aritmética elemental, geometría básica y realización fluida de cálculos mentales

-Saber interpretar y representar geométricamente resultados abstractos

-Dominar ciertos cálculos: operaciones con matrices y determinantes, resolución de sistemas de ecuaciones lineales, obtención de funciones primitivas de funciones elementales, resolución de integrales definidas e indefinidas de funciones sencillas

-Capacidad para leer, comprender y asimilar textos matemáticos

Además, se debe disponer de aptitud y actitud para trabajar en grupo, desarrollar buenas técnicas de estudio basadas en la adecuada toma de apuntes, búsqueda bibliográfica y comprensión lectora y, por último, disponer de motivación, responsabilidad, implicación y exigencia para llevar a cabo el trabajo diario que la evaluación continua demanda.

Las competencias son una articulación de conocimientos, habilidades y destrezas, actitudes y valores, necesarios para desempeñarse en la vida o ejercer una profesión en un entorno y organización laboral. La competencia se adquiere, se desarrolla y se demuestra en la práctica.



COMPETENCIAS ESPECÍFICAS de la asignatura:



FB1 - Capacidad para la resolución de los problemas matemáticos que puedan plantearse en la ingeniería. Aptitud para aplicar los conocimientos sobre: álgebra lineal; geometría; geometría diferencial; cálculo diferencial e integral; ecuaciones diferenciales y en derivadas parciales; métodos numéricos; algorítmica numérica; estadística y optimización.



FB3 - Conocimientos básicos sobre el uso y programación de los ordenadores, sistemas operativos, bases de datos y programas informáticos con aplicación en ingeniería.



COMPETENCIAS TRANSVERSALES de la asignatura:



C12 - Adoptar una actitud responsable, ordenada en el trabajo y dispuesta al aprendizaje considerando el reto que planteará la necesaria formación continua.



C13 - Aplicar las estrategias propias de la metodología científica: analizar la situación y problemática cualitativa y cuantitativamente. Plantear hipótesis y soluciones utilizando los modelos propios de la ingeniería industrial.



C14 - Trabajar eficazmente en grupo integrando capacidades y conocimientos para adoptar decisiones en el ámbito de la ingeniería industrial.



Los RESULTADOS DE APRENDIZAJE son los siguientes:



RA1. Identificar de una manera relacional los conceptos propios del Álgebra lineal y la Geometría para analizar problemas de Ingeniería utilizando eficientemente tanto un enfoque algebraico como un enfoque numérico.



RA2. Desarrollar de manera crítica conclusiones válidas (razonadas y justificadas) a partir de los resultados producidos, basándose en una óptima gestión de la información adquirida a partir de situaciones problemáticas de la Ingeniería.



RA3.-Comunicar eficazmente de manera oral y escrita las metodologías y destrezas adquiridas haciendo uso del lenguaje, la terminología y los recursos apropiados.

TEORÍA DE MATRICES.

Concepto de matriz. Tipos de matrices. Operaciones con matrices: suma de matrices, producto de una matriz y un escalar, producto de dos matrices, potencia de matrices cuadradas (método de inducción). Matriz transpuesta. Determinante de una matriz. Propiedades de los determinantes. Rango de una matriz. Matrices equivalentes: operaciones elementales de filas/columnas. Matriz inversa: método de adjuntos, método de Gauss. Tipos especiales de matrices: matriz simétrica, matriz antisimétrica, matriz periódica, matriz idempotente, matriz involutiva, matriz nilpotente y matriz ortogonal.



SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.

Ecuación lineal y ecuación lineal homogénea. Sistema de ecuaciones lineales: sistema de ecuaciones lineales no homogéneo y homogéneo. Representación de un sistema de ecuaciones lineales: representación general, representación vectorial y representación matricial. Solución de un sistema de ecuaciones lineales. Clasificación de un sistema de ecuaciones lineales: sistema compatible determinado, sistema compatible indeterminado, sistema incompatible. Teorema de Rouché-Fröbenius. Sistemas de ecuaciones lineales equivalentes. Resolución de un sistema de ecuaciones lineales: método de Gauss, método de Gauss-Jordan.



ESPACIOS VECTORIALES DE DIMENSIÓN FINITA.

Estructura de un espacio vectorial. Ejemplos de espacios vectoriales: espacio vectorial real de dimensión n, espacio de matrices de dimensión mxn, espacio de polinomios de grado menor o igual que n. Estructura de un subespacio vectorial. Combinación lineal. Subespacio vectorial generado por un sistema finito de vectores, clausura lineal. Sistema generador. Dependencia e independencia lineal: sistema libre de vectores y sistema ligado de vectores. Base y dimensión de un subespacio vectorial. Teorema de la base incompleta. Coordenadas de un vector en una base. Cambio de base. Operaciones con subespacios vectoriales: intersección, suma y suma directa.



ESPACIOS VECTORIALES EUCLIDEOS.

Definición del producto escalar. Concepto del espacio vectorial euclídeo. Ejemplos de espacios vectoriales euclídeos: espacio vectorial real de dimensión n, espacio de matrices de dimensión mxn, espacio de polinomios de grado menor o igual que n. Norma asociada a un producto escalar. Expresión matricial del producto escalar (matriz de Gram). Ortogonalidad y ortonormalidad: vectores ortogonales, vectores unitarios. Sistema de vectores ortogonales y sistema de vectores ortonormales. Propiedades de los sistemas de vectores ortogonales. Proyección ortogonal de un vector. Método de ortogonalización de Gram-Schmidt. Complemento ortogonal de un subespacio vectorial. Aproximación lineal: Proyección ortogonal sobre un subespacio, coeficientes de Fourier. Solución aproximada en mínimos cuadrados de un sistema de ecuaciones lineales incompatible.



DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES CUADRADAS.

Concepto de valores y vectores propios: espectro de una matriz. Polinomio característico y ecuación característica: cálculo de los valores y vectores propios. Subespacio propio asociado a un valor propio. Propiedades de los valores y vectores propios. Multiplicidad algebraica y geométrica de un valor propio. Matrices semejantes. Diagonalización por semejanza de un matriz cuadrada. Diagonalización de matrices simétricas reales por semejanza ortogonal. Teorema de Cayley-Hamilton.

El profesorado desarrolla las metodologías según los tipos de docencia asignados (consúltese la Guía del Alumnado del grupo en que se encuentre matriculado cada estudiante).



CLASE MAGISTRAL (M)



Se desarrollan los conceptos teóricos de la materia expuestos en el temario, pero el alumno debe preparar cada clase para seguirla con aprovechamiento. Se resuelven las dudas surgidas en el estudio previo, se explican las partes más relevantes del temario acompañadas de ejemplos y se plantean preguntas abiertas para razonar los pasos que deben seguirse en su resolución.

Se trabajan, básicamente, las competencias específicas de la asignatura con objeto de alcanzar los siguientes resultados de aprendizaje: dominar una serie de contenidos esenciales de cada tema, utilizar con corrección el lenguaje simbólico matemático y analizar, comprender e identificar los conocimientos matemáticos necesarios en la resolución de una tarea. Se observa el grado de implicación del alumnado en el aula.



PRÁCTICAS DE AULA (PA).



Se plantean ejercicios relativos a la teoría estudiada. Estos ejercicios tienen un grado de complejidad mayor que el de los ejemplos de las clases magistrales pudiendo, en ocasiones, presentar casos sencillos de aplicación de situaciones propias de la Ingeniería. Es fundamental el trabajo no presencial previo de los alumnos para poder realizar correctamente estas tareas de carácter formativo. Las tareas evaluables se realizan de forma individual.

Con esta metodología se trabajan todas las competencias descritas, tanto las específicas como las transversales.

Los resultados de aprendizaje esperados son los relativos al dominio de los conocimientos básicos, la resolución correcta de situaciones problemáticas y la interpretación de los resultados.



PRÁCTICAS DE ORDENADOR (PO).



Se resuelven ejercicios planteados a partir de la materia del temario con la ayuda de un C.A.S. Así, se refuerzan los contenidos tratados en las clases Magistrales y las Prácticas de Aula utilizando la potencia de cálculo que proporciona este tipo de software matemático.

Las prácticas resultan una herramienta eficaz para la adquisición de algunas de las competencias descritas y permiten plantear situaciones habituales de la Ingeniería dado que no es necesario realizar complicados cálculos manuales. Las competencias transversales también están involucradas porque puede realizarse un aprendizaje cooperativo y, además, es fundamental la capacidad de utilizar la terminología y la sintaxis propias del programa.

Los resultados de aprendizaje son los mismos que en las Prácticas de Aula añadiéndole la destreza en el manejo de la herramienta informática y la capacidad de realizar búsquedas eficientes de información.

• Sistema de Evaluación Continua
• Sistema de Evaluación Final
• Herramientas y porcentajes de calificación:
  • Prueba escrita a desarrollar (%): 50
  • Realización de prácticas (ejercicios, casos o problemas) (%): 25
  • Aplicaciones prácticas con la herramienta informática (%): 25

1. Se ajustará a las condiciones fijadas en la Normativa reguladora de la evaluación del alumnado en las titulaciones oficiales de grado.

2. La evaluación será, preferentemente, continua aunque el alumnado tendrá derecho a ser evaluado mediante el sistema de evaluación final.

3. La persona que desee renunciar a la evaluación continua (y acogerse, por tanto, a la evaluación final) deberá indicarlo por escrito mediante el impreso que estará disponible en la plataforma docente desde el comienzo del curso

4. Evaluación continua

4.1 Consiste en la realización de una serie de pruebas evaluables a lo largo del cuatrimestre:

- Prácticas y Controles (ejercicios, casos o problemas)

- Aplicaciones prácticas con la herramienta informática

- Ejercicio final

4.2 Requisitos necesarios para superar la asignatura:

- obtención de una puntuación media ponderada superior al 35% de la establecida en las Prácticas y Controles y

- obtención de una puntuación media ponderada superior al 35% de la establecida en las Aplicaciones prácticas con la herramienta informática y

- obtención de una puntuación superior al 40 % de la establecida en el Ejercicio final

4.3 En caso de cumplir los requisitos necesarios la calificación final se calculará como la suma ponderada de las calificaciones obtenidas en las diferentes pruebas evaluables realizadas por cada estudiante según el siguiente criterio:

- Prueba escrita a desarrollar, que consiste en un Ejercicio final: 50 % de la calificación

- Realización de Prácticas y Controles (ejercicios, casos o problemas): 25 % de la calificación

- Aplicaciones prácticas con la herramienta informática: 25 % de la calificación

4.4 En caso de no satisfacerse los requisitos necesarios el alumnado será calificado como "Suspenso"

5. Evaluación final

5.1 La evaluación se llevará a cabo mediante un ejercicio final que garantice la suficiencia competencial de la asignatura de acuerdo al siguiente baremo:

- Prueba teórico-práctica: 75%

- Prueba de conocimiento de la herramienta informática: 25%

5.2 Es requisito imprescindible para superar la asignatura obtener en la prueba teórico-práctica un mínimo del 40% de la puntuación establecida siendo del 35% en la Prueba de conocimiento de la herramienta informática

6. Las personas que no se presenten en la fecha oficial al examen final serán calificadas como "No presentadas"

7. Con carácter general, y salvo que se indique lo contrario, durante el desarrollo de una prueba de evaluación en la UPV/EHU, quedará prohibida la utilización de libros, notas o apuntes, así como de aparatos o dispositivos telefónicos, electrónicos, informáticos, o de otro tipo, por parte del alumnado

8. La forma de evaluación preferente serán las pruebas presenciales pudiendo, en ocasiones, presentarse cuestionarios online a través de la plataforma docente; no obstante, en el supuesto excepcional de que las autoridades académicas decretasen que la evaluación debiera realizarse en parte o en su totalidad de forma no presencial se diseñarán pruebas que sustituyan a las presenciales manteniendo los porcentajes de evaluación descritos.

1. Se ajustará a las condiciones fijadas en la Normativa reguladora de la evaluación del alumnado en las titulaciones oficiales de grado.

2. Salvo indicación en contra, explícita y por escrito, a la profesora o profesor responsable del grupo, para la convocatoria extraordinaria sólo se guardará la evaluación continua si su media ponderada es igual o superior al 50% (es decir, el equivalente a 5 puntos sobre 10). La solicitud se deberá realizar no más tarde de siete días naturales antes del examen de la convocatoria extraordinaria. El documento para realizar dicha solicitud está disponible en la plataforma docente de la UPV/EHU. El alumnado que mantenga la calificación será evaluado de acuerdo a la ponderación considerada en la convocatoria ordinaria.

3. Para el resto del alumnado, se aplicará exclusivamente el sistema de evaluación final; constará de cuantos exámenes y actividades de evaluación disponga el profesorado responsable de la asignatura. La evaluación se llevará a cabo mediante un ejercicio final que garantice la suficiencia competencial de la asignatura de acuerdo al siguiente baremo:

- Ejercicios teórico-prácticos: 75%

- Ejercicios de conocimiento de la herramienta informática: 25%

4. Es requisito imprescindible para superar la asignatura obtener en la Prueba teórico-práctica un mínimo del 40% de la puntuación establecida siendo del 35% en la Prueba de conocimiento de la herramienta informática

5. Las personas que no se presenten en la fecha oficial al examen final serán calificadas como "No presentadas"

6. Con carácter general, y salvo que se indique lo contrario, durante el desarrollo de una prueba de evaluación en la UPV/EHU, quedará prohibida la utilización de libros, notas o apuntes, así como de aparatos o dispositivos telefónicos, electrónicos, informáticos, o de otro tipo, por parte del alumnado

7. La forma de evaluación serán las pruebas presenciales; no obstante, en el supuesto excepcional de que las autoridades académicas decretasen que la evaluación debiera realizarse de forma no presencial se diseñarán pruebas que sustituyan a las presenciales manteniendo los porcentajes de evaluación descritos.

No se obliga al uso de ningún material concreto.
Para el estudio y la preparación de las clases el alumnado dispone, en la Plataforma Docente de la UPV/EHU, de diverso material didáctico suministrado por el profesorado de la asignatura.
Por otra parte, en la bibliografía se reseñan diferentes fuentes útiles para la obtención de información adicional.
No obstante, el alumnado debe leer la Guía del Alumnado (Guía de Asignatura-Grupo) en la que el profesorado responsable de cada grupo detalla por escrito el Plan Docente elaborado para impartir la asignatura. Esta Guía se encontrará desde principio de curso en la Plataforma Docente de la UPV/EHU.

Bibliografía básica

D.C. Lay (2007). "Álgebra Lineal y sus Aplicaciones". México: Prentice-Hall.

J.L. Malaina, M.L. González, A. Gallego y E. Martín (1995): "Lecciones básicas de Álgebra Lineal y Geometría". Bilbao: Servicio Editorial, Universidad del País Vasco

G. Strang (2005): "Linear Algebra and Its Applications". México: Wellesley-Cambridge Press.

E. Hernández (1994): "Algebra y Geometría". México: Addison-Wesley Iberoamericana.

E. Alberdi, A. Unzueta, I. Eguia (2013). "Aljebra: teoria eta ariketak. Mathematica programaren aplikazioa". Bilbo: Udako Euskal Unibertsitatea.

Bibliografía de profundización

E. Alemany, A. Balaguer y J. Marín (2003). "Prácticas de Álgebra con Mathematica". Valencia: Ed. Universidad Politécnica.
J. Arvesú, F. Marcellán y J. Sánchez (2005). "Problemas resueltos de Álgebra Lineal". Madrid: Thomson/Paraninfo.
J. Burgos (1999). "Álgebra Lineal". Madrid: McGraw-Hill.
Castellet, Llerena (1991). "Álgebra Lineal y Geometría". Barcelona: Reverté.
J. B. Fraleigh y R. A. Beauregard (1989). "Álgebra Lineal". México: Addison-Wesley Iberoamericana.
S. I. Grossman (1996). "Álgebra Lineal con aplicaciones". México: Mc Graw-Hill.
S. Lang (1990). "Álgebra Lineal". México: Addison-Wesley Iberoamericana.
G. Nakos y D. Joyner (1999), "Álgebra Lineal con aplicaciones", Barcelona: Thomson.
J. Rojo e I. Martín (1994): "Ejercicios y problemas de Álgebra Lineal". Madrid: McGraw-Hill.

Direcciones web

Plataforma docente: eGELA
https://ocw.ehu.eus/pluginfile.php/40253/mod_resource/content/1/fundamen_mate/Course_listing.html
https://ocw.ehu.eus/file.php/121/intro_calculo_num/material-de-estudio/index.html
https://ocw.ehu.eus/course/view.php?id=43
https://ocw.ehu.eus/course/view.php?id=477
https://ocw.ehu.eus/course/view.php?id=523
https://ocw.ehu.eus/course/view.php?id=533
http://reference.wolfram.com/language/tutorial/LinearAlgebraInMathematicaOverview.html
https://es.khanacademy.org/math/linear-algebra
https://hefferon.net/linearalgebra/
https://math.vanderbilt.edu/schectex/commerrs/
http://www.sectormatematica.cl/libros.htm