Descripción y contextualización de la asignatura

El objetivo fundamental de esta asignatura es el análisis y desarrollo de métodos numéricos necesarios para la resolución de problemas aplicados en el ámbito de la ingeniería mecánica. Se pretende que el alumno sea capaz de plantear y resolver problemas matemáticos en forma discreta con la ayuda del computador, sabiendo elegir el método más adecuado en cada caso. En el temario se presentan en primer lugar los principales procedimientos para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales de grandes dimensiones. A continuación, se presentarán métodos para la determinación de raíces de ecuaciones no lineales, algunos de los cuales, se generalizarán también para la resolución de sistemas no lineales de ecuaciones. En el siguiente grupo de temas se afronta otro problema que se presenta en muchas aplicaciones en ingeniería, que es la determinación de los autovalores y autovectores de matrices, para lo cual se desarrollan diferentes métdos de propósito general. El último grupo de temas está dedicado a interpolación, en el que además de los métodos de interés para la interpolación de funciones se desarrolla la base teórica para el desarrollo de los métodos numéricos de integración y de resolución numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias.



Tema 1: Introducción a la asignatura



Tema 2: Errores y aspectos importantes



Tema 3: Resolución de ecuaciones no lineales



Tema 4: Sistemas de ecuaciones lineales. Métodos directos.



Tema 5: Sistemas de ecuaciones lineales. Métodos iterativos.



Tema 6: Sistemas de ecuaciones no lineales



Tema 7: Valores y vectores propios

Tema 8: Interpolación



Tema 9: Integración Numérica



Tema 10: Ecuaciones diferenciales ordinarias

Convocatoria ordinaria: orientaciones y renuncia

La evaluación de los resultados del aprendizaje constará de:

- Primera prueba escrita: 40% de la nota. Evalúa los dos primeros temas de la asignatura

- Prueba final escrita: 60% en que se evalúa los contenidos de las clases de teoría y problemas de la asignatura que no fueron incluidos en la primera prueba escrita.

Se exige para aprobar la asignatura la obtención de un 5 sobre 10 de media ponderada en la nota correspondiente a los exámenes escritos y además al menos un 3.5 sobre 10 en el examen correspondiente a la prueba escrita final.

Convocatoria extraordinaria: orientaciones y renuncia

Se realizará una única prueba escrita de la asignatura que supondrá el 100% de la nota.

Se exige para aprobar la asignatura una nota final igual o superior a 5/10

Temario

TEMA 1: INTRODUCCIÓN A LA ASIGNATURA



Capítulo 1.1: El Análisis Numérico

1.1.1. Antecedentes históricos

1.1.2. Definición de la asigmnatura

1.1.3. Desarrollo del Análisis Numérico

Capítulo 1.2: Esquema de la resolución numérica de un problema

1.2.1. Definición del problema

1.2.2. Modelización del problema

1.2.3. Elección del método numérico

1.2.4. Construcción del algoritmo

1.2.5. Elaboración de un programa

1.2.6. Evaluación de resultados

Capítulo 1.3: Temas de los que se ocupa el Análisis Numérico

1.3.1. Resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones

1.3.2. Problemas de tipo matricial

1.3.3. Interpolación y Aproximación de funciones

1.3.4. Integración y Derivación Numérica

1.3.5. Ecuaciones diferenciales ordinarias

1.3.6. Ecuaciones en derivadas parciales



TEMA 2: ERRORES Y ASPECTOS IMPORTANTES



Capítulo 2.1: Fuentes de error

2.1.1. Errores inherentes

2.1.2. Errores de truncamiento

2.1.3. Errores de redondeo

Capítulo 2.2: Medidas de error

2.2.1. Error absoluto

2.2.2. Error relativo

2.2.3. Cotas de error

Capítulo 2.3: Aritmética de punto flotante

2.3.1. Notación en punto flotante

2.3.2. Estudio de la propagación del error

Capítulo 2.4: Aspectos a analizar en la elección de un algoritmo

1.1.1. Convergencia del algoritmo

1.1.2. Estabilidad del algoritmo y condicionamiento del problema

1.1.3. Coste Operativo

1.1.4. Uso de la memoria del computador

Capítulo 2.5: Clasificación de los métodos numéricos

2.5.1. Métodos directos

2.5.2. Métodos iterativos



TEMA 3: RESOLUCIÓN DE ECUACIONES NO LINEALES



Capítulo 3.1: Métodos cerrados

3.1.1. Localización y separación de las raíces

3.1.2. Método de bisección

3.1.3. Método de falsa posición

Capítulo 3.2: Métodos abiertos

3.2.1. Métodos iterativos de punto fijo

3.2.2. Orden de convergencia

3.2.3. Técnicas de aceleración de la convergencia

3.2.4. Método de Newton

3.2.5. Método de la Secante

3.2.6. Raíces múltiples

Capítulo 3.3: Resolución de ecuaciones polinómicas

3.3.1. Método de Newton

3.3.2. Método de Muller

3.3.3. Método de Bairstow



TEMA 4: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. MÉTODOS DIRECTOS.



Capítulo 4.1: Métodos de eliminación gaussiana

4.1.1. Método de eliminación de Gauss

4.1.2. Método de Gauss-Jordan

4.1.3. Técnicas de pivotamiento y cambio de escala

4.1.4.

Capítulo 4.2: Métodos de factorización de matrices

4.2.1. Métodos de Crout y Doolittle

4.2.2. Método de Cholesky

4.2.3. Matrices tridiagonales de Jacobi



TEMA 5: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. MÉTODOS ITERATIVOS.



Capítulo 5.1: Error y condicionamiento del problema

5.1.1. Normas vectoriales y matriciales

5.1.2. Estudio del error. Número de condición

Capítulo 5.2: Métodos iterativos

5.2.1. Método de Jacobi

5.2.2. Método de Gauss-Seidel

5.2.3. Convergencia de los métodos iterativos

5.2.4. Método de relajación

Capítulo 5.3: Estimaciones de error y refinamiento iterativo

Capítulo 5.4: El método del gradiente conjugado



TEMA 6: SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES



Capítulo 6.1: Puntos fijos para funciones de varias variables

6.1.1. Iteración de punto fijo

6.1.2. Iteración de Seidel

Capítulo 6.2: Método de Newton

Capítulo 6.3: Métodos cuasi-Newton

6.3.1. Método de Broyden

6.3.2. Fórmula de Sherman-Morrison

Capítulo 6.4: Métodos del descenso más rápido



TEMA 7: VALORES Y VECTORES PROPIOS



Capítulo 7.1: Método de las potencias

7.1.1. Cálculo del valor propio dominante: método de las potencias

7.1.2. Cálculo del valor propio subdominante: técnicas de deflación

7.1.3. Cálculo del valor propio de módulo mínimo: método de la potencia inversa

Capítulo 7.2: Valores y vectores propios de matrices simétricas

7.2.1. Método de Jacobi

7.2.2. Método de Givens

7.2.3. Método de Householder

7.2.4. Algoritmo L.R.

7.2.5. Algoritmo Q.R.

7.2.6. Algoritmo Q.R. con desplazamiento

Capítulo 7.3: Valores y vectores propios de matrices no simétricas

7.3.1. Transformación a matrices Hessemberg

7.3.2. Método Q.R. con desplazamiento

TEMA 8: INTERPOLACIÓN



Capítulo 8.1: Polinomio de interpolación de Lagrange

8.1.1. Problema de interpolación

8.1.2. Existencia y unicidad del polinomio de interpolación

8.1.3. Interpolación de Lagrange

Capítulo 8.2: Polinomio de interpolación de Newton de diferencias divididas

8.2.1. Propiedades de las diferencias divididas

8.2.2. Algoritmo para el cálculo de las diferencias divididas

8.2.3. Fórmula de interpolación de Newton

8.2.4. Análisis del error de truncamiento en la interpolación

Capítulo 8.3: Interpolación con puntos base equidistantes

8.4.1. Diferencias finitas

8.4.2. Fórmulas de Newton progresiva y regresiva

8.4.3. Otras fórmulas en diferencias finitas

8.3.1. El error en las tablas de diferencias finitas

Capítulo 8.4: Polinomios osculadores

8.4.4. Polinomio de Hermite

8.4.5. Polinomio de Taylor

Capítulo 8.5: Interpolación con splines cúbicas

8.5.1. Construcción de la función spline cúbica

8.5.2. Spline cúbica natural

8.5.3. Spline cúbica con condiciones de contorno



TEMA 9: INTEGRACIÓN NUMÉRICA



Capítulo 9.1: Fórmulas de Newton-Cotes

9.1.1. Fórmulas de Newton-Cotes cerradas

9.1.2. Fórmulas de Newton-Cotes abiertas

9.1.3. Problemas con las fórmulas de Newton-Cotes

Capítulo 9.2: Fórmulas de Newton-Cotes compuestas

9.2.1. Fórmulas cerradas

9.2.2. Fórmulas abiertas

9.2.3. Convergencia de las fórmulas compuestas

Capítulo 9.3: Integración de Romberg

9.3.1. División repetida del intervalo

9.3.2. Extrapolación de Richardson

9.3.3. Integración de Romberg

Capítulo 9.4: Fórmulas de cuadratura de Gauss

9.4.1. Fórmulas de Gauss-Legendre

9.4.2. Fórmulas de Gauss-Chebyshev

9.4.3. Fórmulas de Gauss-Laguerre

9.4.4. Fórmulas de Gauss-Hermite



TEMA 10: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS



Capítulo 10.1: Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden

10.1.1. Método del desarrollo de Taylor

10.1.2. Método de Euler

10.1.3. Propagación del error en el método de Euler

Capítulo 10.2: Métodos de Runge-Kutta

10.2.1. Método de Euler mejorado

10.2.2. Método de Euler modificado

10.2.3. Método de Runge-Kutta

10.2.4. Error de truncamiento en los algoritmos de Runge-Kutta

10.2.5. Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias

Capítulo 10.3: Métodos de paso múltiple

10.3.1. Fórmulas abiertas de integración

10.3.2. Fórmulas cerradas de integración

10.3.3. Métodos predictor-corrector

10.3.4. Error de truncamiento en los algoritmos de paso múltiple

10.3.5. Otras fórmulas de integración

Capítulo 10.4: Problemas de contorno

Bibliografía

Bibliografía básica

Burden, R. L.; Faires, J. D.; ¿Análisis Numérico¿.Thomson Learning (7ª edición), 2009

Mathews, J. H.; Fink, K. D.; ¿Métodos Numéricos con MATLAB¿. Prentice-Hall, 2000

Chapra, S. C.; Canale, R. P.; ¿Métodos Numéricos para ingenieros¿. McGraw-Hill (Cuarta edición), 2003

Gerald, C. F.; Wheatley, P. O.; ¿Análisis Numérico con aplicaciones¿, Prentice-Hall, (Sexta edición), 2000

Bibliografía de profundización

Kincaid, D.; Cheney, W.; ¿Análisis Numérico. Las matemáticas del cálculo científico¿. Addison-Wesley Iberoamericana, 2007



Conte, S. D.; de Boor, C.; ¿Análisis Numérico¿. McGraw-Hill, 2005



Atkinson, K. E.; ¿An Introduction to Numerical Analysis¿, Jon Wiley and Sons, 1978



Allen Smith, W.: ¿Análisis Numérico¿. Prentice-Hall, 1988



Chapra, S. C.; ¿Applied Numerical Methods with MATLAB for Engineers and Scientists¿. McGraw-Hill, 2008



Van Loan, C. F.: ¿Introduction to Scientific Computing¿. Prentice-Hall,1997



Lindfield, G., Penny, J.;¿Numerical Methods using MATLAB¿. Prentice-Hall,2000

Revistas

Journal of Numerical Analysis



Applied Numerical Mathematics



Journal of Scientific Computing



Computational Methods in Applied Mathematics

Enlaces

http://www.mathworks.com



http://www.wolfram.com



http://www.divulgamat.net/



http://www.ehu.es



http://ingeniaritza-bilbao.ehu.es