Descripción y contextualización de la asignatura

La asignatura de Geometría de variedades se centra en el estudio de variedades con estructura algebraica (variedades afines y/o proyectivas) o diferenciable (variedades diferenciables y/o Riemannianas).

La geometría algebraica ofrece herramientas fundamentales para el tratamiento de sistemas de ecuaciones polinómicas y la comprensión de sus soluciones. Aunque se trata de una teoría clásica, los trabajos de Buchberger e Hironaka en los años 60 han hecho que el tratamiento de estos sistemas de ecuaciones sea más algorítmico y esté al alcance de unos ordenadores que son cada vez más veloces. Esta parte de la asignatura tocará los temas clásicos, pero con una componente algorítmica que permita dar demostraciones a los resultados de manera constructiva. Las aplicaciones de estos algoritmos centrados en torno a las bases de Gröbner hacen que esta asignatura sea útil a matemáticos, ingenieros y físicos.

La geometría diferenciable ha sido y es el lugar natural de los modelos matemáticos de los procesos físicos, químicos y termodinámicos. La comprensión de estos objetos y sus transformaciones es esencial en múltiples áreas del conocimiento matemático puro y aplicado. De hecho, en la asignatura se presentarán algunas aplicaciones de la Geometría Diferencial en la modelización de sistemas provenientes de la Mecánica Clásica, mostrando cuáles son las variedades diferenciales que aparecen en la descripción de algunos sistemas de configuración y describiendo geométricamente las ecuaciones que rigen la evolución de un sistema dinámico

Convocatoria ordinaria: orientaciones y renuncia

CRITERIOS DE LA EVALUACIÓN CONTINUA:

Realización de un trabajo individual consistente en una serie de ejercicios de geometría algebraica y de geometría diferencial: 80%

Entrega de unos ejercicios extraordinarios: 20%

Para aprobar la asignatura será necesario alcanzar una nota de 5 sobre 10 en el trabajo individual.



CRITERIOS DE LA EVALUACIÓN FINAL:

Los estudiantes que lo soliciten, podrán someterse a una evaluación final, que podrá consistir en una prueba única, o en un conjunto de pruebas y trabajos.

Se podrá establecer de manera excepcional la asistencia a determinadas sesiones presenciales, y la superación, en su caso, de las pruebas que en ellas se establezcan.

Los estudiantes deberán solicitar la evaluación diferenciada mediante escrito razonado dirigido al Coordinador del Máster, desde el momento de la matrícula hasta transcurridos, como máximo, cinco días desde el inicio del curso. La solicitud se acompañará de todos los documentos que acrediten la imposibilidad de seguir con normalidad el desarrollo del curso. La Comisión Académica del Máster, resolverá en el plazo máximo de veinte días.



RENUNCIA:

El alumnado que haya realizado las actividades a lo largo del curso, pero no se presente a la convocatoria ordinaria, será calificado como No presentado/a.

Convocatoria extraordinaria: orientaciones y renuncia

Los criterios de evaluación serán los mismos que en la convocatoria ordinaria. La evaluación de las actividades realizadas a lo largo del curso (prácticas de ordenador, ejercicios, seminarios) será válida para las dos convocatorias del curso. En consecuencia, el alumnado que haya superado estas actividades a lo largo del curso, en la convocatoria extraordinaria solo tendrá que presentarse al trabajo individual. En el caso del alumnado que no haya superado la evaluación de dichas actividades o haya elegido la modalidad de evaluación final, en la convocatoria extraordinaria deberá realizar, también, una prueba complementaria diseñada para la evaluación de las actividades realizadas a lo largo del curso. Dicha prueba puede consistir en una exposición oral, una demostración ante un ordenador o una descripción escrita de los conocimientos prácticos abordados en las actividades planteadas a lo largo del curso.

Temario

Geometría diferencial:

1. Variedades diferenciables: definición, variedades diferenciables y espacios de configuración de sistemas mecánicos, subvariedades diferenciables, fibrado tangente y cotangente de una variedad.

2. Campos vectoriales y formas diferenciales: definición de campo de vectores, corchete de Lie de campos, curvas integrales, formas diferenciables, diferencial exterior de formas, derivada de Lie de formas respecto de campos de vectores, estructura simpléctica canónica del fibrado cotangente y ecuaciones de Hamilton de la Mecánica, sistemas diferenciables y teorema de Frobenius.

3. Métricas Riemannianas: definición, ejemplos, isometrías, geodésicas, curvatura, clasificación de espacios de curvatura constante.



Geometría algebraica:

1. Introducción a las variedades afines y proyectivas: definición, ideales, primeros ejemplos y problemas.

2. Bases de Gröbner y teoría de eliminación: órdenes monomiales, algoritmos de división, Teorema de las bases de Hilbert, teoría de eliminación, interpretación geométrica y algebraica.

3. Variedades afines: Teorema de los ceros de Hilbert, operaciones de ideales: su interpretación geométrica y algoritmos, topología y clausura de Zariski, variedades singulares, descomposición en componentes irreducibles: algoritmos y sus aplicaciones.

4. Aplicaciones entre variedades: cocientes de anillos por ideales y algoritmos, anillos de coordenadas, aplicaciones polinómicas, aplicaciones racionales.

5. Aplicaciones de la geometría algebraica: Robótica, demostración automática, teoría de invariantes, el problema del coloreado de grafos.

Bibliografía

Materiales de uso obligatorio

• D. Cox, J. Little y D. O'Shea. Ideals, varieties, and algorithms. An introduction to computational algebraic geometry and commutative algebra. Fourth edition.



• Undergraduate Texts in Mathematics. Springer, Cham, 2015.

Bibliografía básica

• W.M. Boothby, An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry, Academic Press, 1975.

• M.P. Do Carmo, Riemannian Geometry, Birkhäuser Boston, 1992.

• M. Lee, Introduction to Smooth Manifolds, GTM 218, Springer, 2003.

• F.W. Warner, Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, GTM 94, Springer, 1983.

• W. Fulton, Algebraic curves. An introduction to algebraic geometry. Notes written with the collaboration of Richard Weiss. Reprint of 1969 original. Advanced Book Classics. Addison-Wesley Publishing Company Advanced Book Program, Redwood City, CA, 1989.

• Harris, Algebraic geometry. A first course. Corrected reprint of the 1992 original. Graduate Texts in Mathematics, 133. Springer-Verlag, New York, 1995.

• M. Namba, Geometry of projective algebraic curves. Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics, 88. Marcel Dekker, Inc., New York, 1984.

Bibliografía de profundización

• A. Cannas da Silva, Lectures on symplectic geometry, Lecture Notes in Math. 1764, Springer 2001.



• T. Sakai, Riemannian Geometry, Translations of Mathematical Monographs; Vol. 149. Amer. Math. Soc. 1996.



• M. Namba, Geometry of projective algebraic curves. Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics, 88. Marcel Dekker, Inc., New York, 1984.

Revistas

La Gaceta de la Real Sociedad Matemática Española



http://www.rsme.es/gacetadigital/







The American Mathematical Monthly



http://www.maa.org/pubs/monthly.html

Enlaces

• J.S. Milne, Algebraic Geometry,



http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/AG.pdf



• Angel Montesdeoca, Apuntes de introducción a las variedades diferenciables



http://amontes.webs.ull.es/apuntes/geomvari.pdf



• Angel Montesdeoca, Apuntes de introducción a las variedades de Riemann, http://amontes.webs.ull.es/apuntes/geomriem.pdf



• Pascual Lucas, Variedades diferenciables y Topología,



http://www.um.es/docencia/plucas/