Irakasgai honen helburu nagusia, ikasleek enpresaren testuinguruan aurki ditzaketen egoerak ulertu ahal izateko tresna matematikoak eskaintzea da, eta baita arazo ekonomikoak modu zehatzenean planteatu eta aztertzeko tresnak eskaintzea ere.





GAITASUN ESPEZIFIKOAK

- Analisi eta sintesirako gaitasuna.

- Arrazonamendu deduktiboak baliatzea prozeduren onespenerako eta argumentu logikoak adierazteko.

- Emaitza desberdinak interpretatu eta sailkatzeko gaitasuna. Baita testuinguru sozioekonomikoan erabil daitezkeen ondorioak lortzea ere.



ZEHARKAKO GAITASUNAK

- Ikaslearen autonomia maila altua lortzeko ikasteko gaitasuna garatu.

- Taldean errespetuz, iniziatibarekin eta lidergoarekin jarduteko gaitasuna.

- Ahozko eta idatzizko komunikaziorako gaitasuna.

- Administrazio eta enpresa zuzendaritzari loturiko edozein arloari loturiko lanean jasotako ezagutza aplikatzeko gaitasuna.

DESKRIBATZAILEAK

- Kalkulua aldagai anitzeko funtzioetan.

- Aldagai anitzen hoberenatze baldintzatu gabea eta baldintzatua.

-Programazio lineala.

- Integral anitzak.

IRAKASGAIA IKASTEAREN EMAITZAK

- Arrazoinamendu deduktiboak baliatzea prozeduren onespenerako eta argumentu logikoak adierazteko.

- Batxilergoan eta Matematika I irakasgaian ikasitako kontzeptuen ulermena zabaldu; bereziki aldagai bakarreko eta aldagai anitzeko funtzioen ingurukoak.

- Aldagai anitzeko funtzioetan kalkulu diferentzialaren oinarrizko tresnak ulertzea.

- Murrizketekin edo gabe, funtzioen optimizazioko problemak aztertu eta ebaztea.

- Aurrez aipaturiko kontzeptuak, arazo ekonomikoetan sortutako planteamendu eta ebazpenerako erabiltzea.

- EXCEL programako Solver aplikazioaren bitartez programazio lineal eta ez-linealeko problemak ebaztea.

1.- ALDAGAI ANITZEKO FUNTZIOAK

1.1 Topologia nozioak.

1.2 Bi aldagai edo gehiagoko funtzioak.

1.3 Adierazpen grafikoa. Maila-kurbak.

1.4 Funtzio jarraituak. Ohiko funtzio jarraituak.





2.- DERIBAZIOA

2.1 Deribatu partzialak. Esanahi geometrikoa.

2.2 Gradientea.

2.3 Ordena goreneko deribatu partzialak. Matrize hessiarra.

2.4 Hurbilketa linealak. Azalera batekiko plano ukitzailea.

2.5 Taylor-en garapena aldagai anitzeko funtzioetan.

2.6 Funtzio konposatuen deribazioa. Katearen erregela.

2.7 Funtzio inplizituak. Deribazioa.

2.8 Funtzio homogeneoak. Propietateak.

2.9 Deribatu partzialak ekonomian.





3.- ALDAGAI BATEKO FUNTZIOEN HOBERENATZEA

3.1 Hainbat definizio. Hoberen motak.

3.2 Hoberen lokalerako beharrezko baldintza. Puntu gerakorrak.

3.3 Hoberen lokalerako baldintza nahikoak.

3.4 Tarte bateko hoberen globalak.

3.5 Funtzio ganbil eta ahurrak. Inflexio-puntuak. Hoberen globalerako baldintza nahikoak.





4.- HOBERENATZE EZ BALDINTZATUA ALDAGAI ANITZEKIN

4.1 Hoberenatze problema baten planteamendu orokorra.

4.2 Hoberen motak. Muturreko balioen teorema.

4.3 Hoberen lokal hertsirako baldintza beharrezkoa. Puntu gerakorrak. Zela-puntuak.

4.4 Forma koadratikoak. Sailkapena.

4.5 Hoberen lokalerako baldintza nahikoak.

4.6 Funtzio ahur eta ganbilak. Hoberen globalerako baldintza nahikoa.





5.- HOBERENATZEA BERDINTZAZKO MURRIZKETEI BALDINTZATUA

5.1 Planteamendu orokorra.

5.2 Dimentsio txikiko ariketen ebazpen grafikoa.

5.3 Ebazpen metodo zuzena, aldagaiak ordezkatuz.

5.4 Hoberen lokalerako baldintza beharrezkoak (Lagrange-ren biderkatzaileen metodoa).

5.5 Hoberen lokalerako baldintza nahikoak.

5.6 Lagrange-ren biderkatzaileen esanahi ekonomikoa.

5.7 Optimizazio ez-linealeko ereduen ebazpena kalkulu-orrien Solver (EXCEL) tresnaz.





6.- PROGRAMAZIO LINEALA

6.1 Planteamendu orokorra. Forma kanonikoa.

6.2 Neurri txikiko ariketen ebazpen geometrikoa. Soluzio egingarriak eta mutur-puntuak.

6.3. Dualtasunaren teoriaren sarrera. Problema dualen interpretazio ekonomikoa.

6.4. Dualtasunaren teoria. Lasaitze osagarriaren teorema.

6.5. Ariketen ebazpena EXCEL programako Solver aplikazio informatikoaren bidez.





7.- ALDAGAI ANITZEKO FUNTZIOEN INTEGRAZIOA

7.1 Planteamendu orokorra.

7.2 Integral bikoitza eremu laukizuzen baten gainean.

7.3 Integral bikoitza eremu ez-laukizuzen baten gainean.

7.4 Funtzio baten batez besteko balioa eremu laukizuzen baten gainean.

Eskola magistralak (% 75); eskola praktikoak (% 25)



- Eskola magistralak astean bitan eskainiko dira, 1,5 orduko saioetan. Bertan kontzeptu teorikoak eta adibide zein problema aplikatuen azterketa txandakatuko dira. Horretaz gain, noizbehinka ordenagailu gelara joango gara EXCEL programako Solver tresna erabiltzen ikasteko.





- Eskola praktikoak astean behin eskainiko dira, ordubeteko saioetan. Ikasleak hirunakako edo launakako taldeetan banatuko dira, esleitzen zaizkien ariketak talde-lanean ebazteko. Osasun-egoeraren ondorioz talde-lana egitea ezinezkoa bada, zeregin hauek ikasleek banaka egin beharko dituzte.



- Osasun-egoeraren ondorioz irakaskuntza presentziala ezinezkoa bada, urruneko irakaskuntza eskainiko da, Unibertsitateak horretarako gure esku jartzen dituen tresnen bidez.

EBALUAZIO JARRAITUAREN INGURUKO ORIENTAZIOAK



Azken proba idatzia: azken notaren 7,5 puntu arte.

Talde-lanen ebaluazio indibiduala: azken notaren 2,5 puntu arte.



Irakasgaia gainditzeko, azken proba idatzian gutxienez 3 puntu atera behar dira (7,5 puntu balio duen azken proba idatzian).



UKO EGITEA

Ebaluazio jarraituari uko egin nahi dioten ikasleek, lauhilekoaren lehen 10 astetan zehar egin ahal izango dute eskaera. Eskari hori idatziz aurkeztu beharko zaio irakasgaiaren ardura duen irakasleari.

Ebaluazio jarraituari uko egiten dioten ikasleek, irakasgaiaren nota, azken proba idatziaren bitartez lortuko dute.



- Osasun-egoeraren ondorioz azken azterketa modu presentzialean egitea ezinezkoa balitz, egoera horretarako salbuespenezko prozedura abian jarriko litzateke, eGelan ikasleentzako irakaskuntza-gidan adierazita.

Irakasgaiko gela birtualean egongo dira erabilgarri.

Oinarrizko bibliografia

SYDSAETER, K., HAMMOND, P. y CARVAJAL, A.: Matemáticas para el Análisis Económico. Editorial Pearson. Madrid

2012 (2ª edición)



* HOFFMAN, L. y BRADLEY, G.: Cálculo aplicado para Administración, Economía y Ciencias Sociales. Editorial McGraw-Hill. Bogotá 2004 (8ª edición).



*CABALLERO, R. y otros: Matemáticas aplicadas a la Economía y a la Empresa. 380 ejercicios resueltos y comentados. Editorial Pirámide. Madrid 2000.



* Barbolla, R., Cerdá, E. y Sanz, P.: Optimización (Cuestiones, ejercicicios y aplicaciones a la economía). Editorial Prentice Hall. Madrid 2006.

Gehiago sakontzeko bibliografia

*LARSON, R. y EDWARDS, B.H.: CALCULO 1 (de una variable). Editorial McGraw Hill. MÉXICO 2010 (9ª edición).

*LARSON, R. y EDWARDS, B.H.: CALCULO 2 (de varias variables). Editorial McGraw Hill. MÉXICO 2010 (9ª edición)

* CALVO, M.,ESCRIBANO, M.C.,FERNÁNDEZ, G., GARCÍA, IBAR,R. Y ORDÁS,M.P.: Problemas resueltos de Matemáticas Aplicadas a la Economía y a la Empresa. Editorial AC. Madrid 2003.

* STEWART, J.: Cálculo (conceptos y contextos). Editorial Thomson. México D.F. 2006 (5ª edición).