• Aldagai anitzeko funtzioak.

• Lerro- integralak. Aplikazioak

• Integral bikoitza. Aplikazioak

• Gainazal- integrala. Aplikazioak

• Integral hirukoitza. Aplikazioak

• Ekuazio diferentzialak. Aplikazioak



Modulu propedeutikoaren barruan den gai matematikoa oinarrizko gaien zerrendan ageri da ingeniaritza eta arkitekturaren jakintza arloan, titulazioa berorri atxikita dagoelarik. Hala izanik, funtsezko baliabidea da edozein diziplina tekniko aztertu eta ikasterakoan.



Matematika gaia, Ingenieritza eta Arkitektura titulazioetan oinarrizko gaien artean dago eta beste gaiei laguntzeko erabiltzen da. Batzuetan ezaguera matematiko sinpleak izaten dira beharrezkoak , baina beste batzuetan ezinbestekoa izaten da oinarri matematiko sendo bat edukitzea.



Kalkulu diferentzialak (kalkulu integralak eta ekuazio diferentzialak) erabateko inportantzia du egituren kalkuluan, ezinbestekoa baita karga eta esfortzuak, zementazioak zehazterakoan eta flexio momentuak eta esfortzu ebakitzaileak kalkulatzerakoan eta arkitekturaren eremuari loturiko problemen modelizazioan. Hortaz, irakasgaiaren helburu nagusia izango da ikasleari, lehengo arlo guztien inguruko teknika matematiko nahikoa eskaintzea.

GMO1CM03 Zenbakizko kalkulu, geometria analitiko eta diferentziak eta metodo aljebraikoei aplikaturiko jakintzak.



• Kalkulu integrala aplikatu

• Ikaslea prestatu, kalkulu integralean erabilitako longitude, area, bolumen, masa, masa zentro eta momentuen inguruko problema matematikoak planteatu ahal izateko.

• Arkitekturaren esparruari loturiko problemak planteatu, ekuazio diferentzialen bidez.

• Planteatutako problemak ebatzi, Mathematica softwarea erabiliz, egin beharreko kalkuluak bizkortzeko helburuaz.

• Problemak planteatutakoan eta ebazterakoan , kritikoki eta zehazki arrazoitzen ikasi.

• Problema zientifikoak modelizatzeko , ebazteko eta emaitzak lortzeko eta eztabaidatzeko gaitasuna garatu

• Arrazonamendu abstraktoa erabiltzen hasi

• Emaitzak modu zehatz , garbi eta txukun azaltzeko gaitasuna

Integral mugatua.

Oinarrizko kontzeptuak.



Lehenengo eta bigarren motako integral lerromakurra: aplikazioak.

Lerroen luzerak.

Alanbreen masa eta masa zentroa.

Inertzia momentua.



Integral bikoitza: aplikazioak.

Eremu lauen azalerak.

Gorputzen bolumenak.

Xaflen masa eta masa zentroa.

Inertzia momentuak.



Gainazal integrala: aplikazioak.

Gainazal zati baten azalera.

Masa eta masa zentroa.

Inertzia momentua.



Integral hirukoitza: aplikazioak.

Bolumena.

Gorputzen masa eta masa zentroa.

Inertzia momentua.



Ekuazio diferentzial arruntak (EDA).

Sailkapena: ordena eta gradua.

Ebazpen orokorra eta ebazpen partziala.

EDA bananduak eta banangarriak.

EDA homogeneoak eta homogeneora laburgarriak

EDA linealak eta Bernullirenak.

EDA zehatzak.

n ordenako EDA linealak.

Aplikazioak

Klase teorikoak magistralak izango dira eta praktikoak ordenagailu gelan izango dira.



Ikasleak praktikak eta proposatutako lanak egingo ditu "Mathematica" programa erabiliz

• Azken Ebaluazioaren Sistema
• Kalifikazioko tresnak eta ehunekoak:
  • Garatu beharreko proba idatzia (%): 65
  • Praktikak egitea (ariketak, kasuak edo buruketak) (%): 20
  • alde lanak (arazoen ebazpenak, proiektuen diseinuak) (%): 15

Bi ebaluazio mota daude(gomendagarria da B aukera) :



• A aukera: Azken-ebaluazioa

• B aukera: Praktika-lanak eta azkeneko proba. Kurtso osoan zehar zenbait lan praktiko (taldeka edo banaka) eta banakako bi proba, P1 eta P2 eta, aukeran, azkeneko proba bat egingo dira.



Nahiz eta B modalitatea aukeratu ikasleak azken-ebaluazio(A AUKERA) bidez ebaluatua izateko eskubidea du eta horretarako B AUKERARI uko egiten diola jasotzen duen idatzi bat aurkeztu beharko dio irakasgaiaren ardura duen irakasleari eta, horretarako, 18 asteko epea izango du, ikastegiko eskola egutegian zehaztutakoarekin bat ikasturtea hasten denetik kontatzen hasita.



KALIFIKAZIO-EHUNEKOAK



A AUKERA: Azken azterketa % 100



B AUKERA: P1 eta P2 proba bakoitzarentzat:

• Talde-Lanak %35

• Banakako azterketak %65





Irakasgaiaren gaiak bi zatitan banatuko dira (P1 eta P2), eta horiek ebaluatzeko, ikasleak bi aukera ditu:





A AUKERA: AZKEN- EBALUAZIOA



Maiatzeko deialdian azterketak bi zati izango ditu, P1 eta P2 ,eta kalifikazio hauek izango ditu, hurrenez hurren: F1 eta F2.

Irakasgaiaren azken kalifikazioa, NF izango da:



1.Baldintza hauek betetzen badira F1 ≥ 5 eta F2 ≥5



NF = 0.5 F1 + 0.5 F2 izango da



2. Beste kasutan, hau da, F1 < 5 edo F2 < 5 eta N = 0.5 F1 + 0.5 F2 izanik:



{ N≥5 bada NF=4.8

{ N<5 bada NF=N izango da



Deialdiari UKO egiteko nahikoa izango da ez aurkeztea.





B AUKERA: PRAKTIKA-LANAK ETA AZKENEKO PROBA



Kurtso osoaren zehar zenbait lan praktiko eta banakako bi proba, P1 eta P2 eta azkeneko proba bat egingo dira.



P1 eta P2 zatien kalifikazioak.



Zenbakizko kalifikazioa (1etik 10era artekoa) honelakoa izango da: NP1 lan praktikorako eta NE1 lehenengo zatiaren banakako probarako, eta NP2 eta NE2, berriz, bigarren zatirako.



Probaren lehenengo zatia gainditu egingo da, baldin NP1 eta NE1 ≥ 5 bada. Kasu horretan, C1 zenbakizko kalifikazioa honako hau izango da:



C1 = 0.35 NP1 + 0.65 NE1



Probaren bigarren zatia gainditu egingo da, baldin NP2 eta NE2 ≥ 5 bada. Kasu horretan, C2 zenbakizko kalifikazioa honako hau izango da:



C2 = 0.35 NP2 + 0.65 NE2



NF = 0.5 C1 + 0.5 C2 izanik, irakasgaia zatika gainditutzat hartuko da, honako bi baldintza hauek egiaztatzen badira:

{C1 ≥ 5 eta C2 ≥5





Kasu horretan, zenbakizko kalifikazioa NF izango da.





Irakasgaia zatika gainditu ez duten ikasleei banakako proba bat egingo zaie maiatzeko deialdian, A aukerako ikasleei egiten zaien data berdinean. Proba horrek bi zati izango ditu, eta kalifikazio hauek izango ditu, hurrenez hurren: F1 eta F2.

Irakasgaiaren azken kalifikazioa, NF izango da:



1. Baldintza hauek betetzen badira {F1 ≥ 5 eta F2 ≥5



NF = 0.5 F1 + 0.5 F2



2. Beste kasutan, hau da, F1 < 5 edo F2 < 5 eta N = 0.5 F1 + 0.5 F2 izanik:



{ N≥5 bada NF=4.8 izango da

{ N<5 NF=N



Irakasgaiaren lehenengo zatia liberatutzat hartuko da, baldin C1 ≥5 bada, eta bigarren zatia liberatutzat hartuko da, baldin C2 ≥5 bada. Bi zatietako bat liberatu duen ikasleak gainditu gabeko zatia soilik egin dezake. Kasu horretan, zenbakizko kalifikazioa lehen azaldu dugun moduan egingo da, hau da: F1 = C1, lehenengo zatia liberatuz gero, edo F2 = C2, bigarren zatia liberatuz gero.



P1 eta P2 zatietan lortutako C1 eta C2 kalifikazioak erabiliko dira azkeneko frogan aurkezten ez diren zatietan .

Deialdiari uko egiteko, aurretik B AUKERARI uko egiten diola jasotzen duen idatzi bat aurkeztu beharko dio irakasgaiaren ardura duen irakasleari (18 asteko epea ikasturtearen hasieratik) eta deialdiari uko egiteko nahikoa izango da ez aurkeztearekin.

Irakasgaia ohiko deialdian gainditu ez duten ikasleei banakako proba bat jarriko zaie ekaina-uztailean bi aukeratako ikasleei data berdinean.Proba horrek bi zati izango ditu, eta kalifikazio hauek izango ditu, hurrenez hurren: F1 eta F2.

Irakasgaiaren azken kalifikazioa, NF izango da:



1. Baldintza hauek betetzen badira {F1 ≥ 5 eta F2 ≥5



NF = 0.5 F1 + 0.5 F2



2. Beste kasutan, hau da, F1 < 5 edo F2 < 5 eta N = 0.5 F1 + 0.5 F2 izanik:



N≥5 bada NF=4.8 izango da eta N<5 bada NF=N izango da







Ezohiko deialdian aurkezten den edonork , F1 edo F2 kalifikazioak ordezka ditzake C1 edo C2 kalifikazioekin (baldin eta 5 baina haundiagoak badira)

Deialdiari UKO egiteko nahikoa izango da ez aurkeztearekin

Mathematica software jarri den ordenagailua.

Oinarrizko bibliografia

APOSTOL, T.M.

Calculus. Ed. Reverté



PISKUNOV, N.

Kalkulu diferentzial eta integrala . Udako Euskal Unibertsitatea



ERNESTO MARTINEZ SAGARZAZU.ITZULTZAILEA : ELENA AGIRRE

Ekuazio diferentzialak :Aplikazioak eta Ariketak. Udako Euskal Unibertsitatea



SALAS, S.L.; HILLE, E.

Calculus de una y varias variables. Ed. Reverté



WOLFRAM, S.

The MATHEMATICA book. Cambridge University Press