Matematika II irakasgaia lehen mailako oinarrizko irakasgaia da gradu honetan. Matematika I irakasgaiaren osagarri logikoa da, bertan aldagai bateko funtzioekin ikasitakoa, aldagai askoko funtzioentzako orokortuz eta garatuz. Irakasgaian, ekonomia kuantitatiboan eta erabaki-hartzean ohiko diren prozesuetan inspiratutako teknika eta metodo bereziak aztertzen dira, Optimizazioa ardatz hartuta.



Sarrerako aldez aurretiko kontzeptuak (topologia, multzo ganbilak, funtzio ahur eta ganbilak...) aztertutakoan, irakasgaiaren edukia osatzen duten oinarrizko hiru gaiak aztertzen dira: Analisi Matematikoa, Optimizazioa eta Kalkulu Integrala. Gai bakoitzaren garapena, aurreko (beste irakasgaietan ikasitako) oinarrizko ezagueretan, horien ulermen eta trebetasunean sustatzen da. Hortik abiatuta, sakontze prozesua zabaltzen da eta, horrekin, gai horien ikasketaren hedapena eta barneratzea dator. Azkenik, ekonomian (gizartean) aplikatzen dira ikusitakoak.



Analisian, bi aldagaiko funtzioak aztertzen dira (aldagai askoko kasura orokortuz). Topikoak jorratzen dira. Adibidez, funtzioen ebaluazioa eta deribatuak , muturren azterketarekin erlazionatuz, hori Ekonomia eta Enpresa Fakultateko ikasketetan gai nagusia baita.



Kalkulu Integralaren gaia, integral bikoitzen kalkulura bideratzen da. Irakasgaiaren azken gai horrek, aurrekoarekin batera aztertuta, problema ekonomikoak eta horien itzulpena eredu matematikoetara, joan-etorriko erlazio modura ikusten ahalbidetzen ditu ikasleak.



Hirugarren gaian, Optimizazioan, funtzioen muturrak (maximoak eta minimoak) aztertzen dira. Murrizketekin edo gabe, berdintza edo ezberdintza murrizketekin, multzoetan... Emaitza orokorrek Programazio Linealeko oinarrizko emaitzetara ailegatzea ahalbidetzen dute. Horrela Programazio Lineala kasu berezi modura aurkezten da. Ikuspegi praktikoa enpresa eta ekonomi aplikazioetan gauzatzen da.



Matematika I irakasgaiaren izaera aplikatuaz eta oinarrizkoaz baliatuz, Matematika II irakasgaia programazio lineal eta ez linealean sakontzen eta barnatzen da. Horrela, ezagupen matematiko errazak eskatzen dituzten irakasgaientzako lagungarria da eta baita oinarri matematiko sakonagoak eskatzen dituztenentzako ere (Estatistika, Ekonometria, Mikroekonomia). Gradu honetako lan esparruan, pentsamendu logikoak, abstrakzioak eta ezaguera matematikoak duten garrantzia kontuan hartuta, irakasgai honek, Matematika I-ekin batera, ikaslearen irteera profila hobetzen lagunduko die.



Ikasleak kurtso honen hasierarako gaitasun hauek lortuta izan behar ditu:



- Batxilergoko giza eta gizarte zientziak modalitateari dagozkion ezaguerak.

- Aritmetika eta algebrako ezaguera sendoak, hala nola aldagai bateko funtzioen limiteak, deribatuak eta integralak.

- Graduko Matematika I irakasgaian lortutako ezaguera eta gaitasunak.

Irakasgai honen helburua, ikasleak Gradu honetan beharrezkoak diren aldagai askoko funtzioen Kalkulu Diferentzialaren, Optimizazioaren eta Integrazioaren oinarrizko nozioak ikas eta uler ditzala da. Ikasleari ezagutza horiek, edukiera kontzeptual eta praktikoaren arteko behar den oreka egokiarekin eman behar zaizkio. Hain zuzen ere, mekanika soilik ikastea ez da nahikoa: tresnen arrazoizko erabilera gauzatzeko, egitura kontzeptuala ulertu behar da. Beraz, helburua, ikasleak egitarauaren edukiaren gutxieneko ulermen eta trebetasun maila lortzea da. Gaitasunei dagokienez, egitarauaren edukiei zehazki lotuta daudenez gain (ez ditugu banan-banan aipatuko, oso nabariak direlako, adibidez, deribatuaren nozioa ulertu eta deribatzen jakin, etab.), azpimarragarriak dira gai honek garatzen lagundu behar dituen zeharkako gaitasunak: arrazonamendu logiko zorrotza eta proposizioen formulazio zehatza.





Irakasgaiaren berariazko gaitasunak:



- Notazio eta hizkera matematikoen erabilpenean trebetasuna.



- Adierazpen aljebraikoen erabilpenean ziurtasuna.



- Aldagai beteko funtzioekin ikasitako kontzeptuak, aldagai askoko funtzioetara hedatu



- Aldagai askoko funtzio errealen kalkulu diferentzial eta integralaren oinarrizko kontzeptuen ezaguera.



- Hizkera matematikoan adierazitako edukiera ekonomikoko nozio eta problemak ulertzeko ahalmena. Beraien formulazioen hastapena.



- Aldagai askoko funtzioen optimizazioko problemen ebazpena eta interpretazioa.



- Aldagai askoko funtzioen kalkulu diferentzial eta integraleko problemen ebazpena eta interpretazioa.





Gaitasun orokorrak:



- Problema ekonomikoen analisirako beharrezkoak diren oinarrizko tresnak erabiltzeko ahalmena.



- Abstrakzio eta pentsamendu analitikorako ahalmena.



- Hausnarketa kritikorako ahalmena.



- Hizkera zehatza erabiliz, idatzizko komunikaziorako ahalmena.



- Ikasleak gai izatea talde-lanean aritzeko, arduraz eta errespetuz, iniziatiba eta lidergoa erakutsiz.



- Autonomi-maila handia lortzeko ikasketa gaitasunak garatzea, bai ondorengo ikasketei ekin ahal izateko, bai etengabeko aldaketa eta berrikuntzen mende dagoen arlo batean autoikaskuntzarako ahalmena izateko.

1. Kalkulu diferentziala.

1.1. Sarrera.

1.2. Aldagai askoko funtzio errealak.

1.3. Limitea eta jarraitutasuna.

1.4. Kalkulu diferentziala.

1.5. Funtzio berezi batzuk.



2. Aldagai askoko optimizazioa.

2.1. Oinarrizko kontzeptu eta emaitzak.

2.2. Optimizazioa murrizketarik gabe.

2.3. Optimizazioa berdintza-murrizketekin.

2.4. Optimizazioa multzoetan.

2.5 Programazio linealaren hastapenak.



3 Kalkulu integrala.

3.1. Integral bikoitzaren kontzeptua barruti bornatuetan.

3.2. Integral bikoitzaren propietateak.

3.3. Integral bikoitzen kalkulua barruti bornatuetan. Fubiniren teorema.

Helburuak lortzeko metodologia didaktikoa eskola magistral, praktika eta mintegietan oinarritzen da. Horietan guztietan hizkera matematiko eta sinbolikoren erabilera eta arrazonamendu zehatz eta sistematikoa sustatuko da eta baita ere, ikasleen lan autonomoa, banakoa zein taldeetan, lagunduko da.



Eskola magistralak: Gaien sarrera gizarte eta ekonomi adibideetan bilatuko da. Sarrera horri testuinguruaren eztabaida arduratsuak jarraituko dio, ikasleak topikoaren esanahia barneratu dezaten eta, aldi berean, bere mekanika ikas dezaten. Erabilitako adibideak erabat ebazten dira eta kalkuluetan emandako urratsak, zorroztasun matematikoaz azaltzen dira.



Eskola praktikoak: Topikoak eta kontzeptuak eskola magistraletan ikasiko dira orokorrean, baina batzuetan praktiketan egingo da. Kalkulua ezin da ikasi beste batzuek nola egiten duten ikusiz. Horregatik, eskola praktikoetan ikasleek izaera analitikoko problemak landuko dituzte, hala nola testuinguruan jarritako problemak. Azkeneko horiek kalkulu-ikasketaren zati integrala dira, gizarte-zientzien testuinguruan.



Eskola horietan ikasleek problema zailak modu logiko eta kritikoan definitzeko, ebazteko eta aztertzeko duten ahalmena lagunduko da.



Mintegiak: Eskola horien ezaugarria aurkeztutako aplikazioetan datza: optimizazioko problema geometrikoak, programazio lineala... Azpimarratzekoa da mintegiak duen berezko izaera, edukien tratamenduari dagokionez. Horrela, soluzio ezberdinen ikuspegiari buruzko eztabaida ahalbidetzen du. Problemen erabateko erantzunak eskuratzen zaizkie ikasleei eta horrekin batera, irakurketa osagarri batentzako iradokizun zehatzak.

• Ebaluazio Jarraituaren Sistema
• Azken Ebaluazioaren Sistema
• Kalifikazioko tresnak eta ehunekoak:
  • Garatu beharreko proba idatzia (%): 50
  • 2 proba partzial (%): 50

Ebaluazioaren helburua, ikasleak lortu duen ulermen eta ikaskuntza maila neurtzea da. Bi proba eta azken azterketa bat egingo dira. Lehenengo proba, lehenengo gaia bukatzerakoan eta bigarrena, bigarrenaren bukaeran. Bi proba horiekin ikasleak irakasgaiaren edukietan duen ulermen-maila aztertuko du, horrela, bere emaitzak hobetzeko lana nola egin behar duen argituz. Azken nota, bi aukera hauen artean lortutako emaitzarik hoberena izango da: (a) azken azterketari %50eko pisua eta bi proba partzialei beste %50a jarriz osatutako eredu haztatuarekin lortutakoa edo (b) azken azterketako notari %100ko pisua jarriz lortutakoa. Azken ebaluazioa onartua duten ikasleen kasuan, azterketa finala emaitzaren %100 izango da.

Azken azterketa egiten ez duten ikasleen kalifikazioa Ez Aurkeztua izango da. Irakasgaiko talde guztietako ikasle guztiek azterketa bera egingo dute.

Probak eta azken azterketa, gaiaren asimilazio-maila, hots, tekniken ezagutza eta oinarrizko kontzeptuen ulermena, neurtuko dituzten galderekin osatuta egongo dira. Hortaz, proba horiek ariketa ez erabat mekanikoak eta, halaber, galdera teorikoak edukiko dituzte, adibidez, oinarrizko kontzeptuen definizioak edo emaitza garrantzitsuen enuntziatuak.

COVID-19a dela eta, egoerak probaren bat edo guztiak aurrez aurre egitea eragozten badu, ebaluazio berbera izango da, baina proba horiek modu telematikoan egingo dira egela plataformaren bidez.

Ezohiko deialdian ikasleak irakasgaiko notaren %100 lortzeko aukera izango du.

Azterketa hori ezin bada aurrez aurre egin, modu telematikoan egingo da, egela plataformaren bidez.

Nahitaez irakurri behar dira eGela plataforma birtualean eskuragarri dauden Teoriaren adibide adierazgarriak eta ariketak, hala nola irakasleak idatzitako dokumentuak eta gelako lana zabaltzeko igorritako loturak.

Oinarrizko bibliografia

* Matemáticas para el Análisis Económico, K. Sydsaeter, P. Hammond eta F. Carvajal (2. Edizioa), Pearson Educación, Madrid (2011).

* Ekonomilarientzako Matematikako gaiak, F. Valenciano eta M. Aramendia, Euskal Herriko Unibertsitateko argitarapen zerbitzua, Bilbo (1995).

Gehiago sakontzeko bibliografia

* Mathematic Applications to Business, Economy and Social Sciences, Ronald J. Harshbarger, James J. Reynolds, Mc Graw Hill, (2004)

Web helbideak

www.geogebra.org
www.wolframalpha.com