Enpresen Administrazio eta Zuzendaritzako Gradura datozen ikasleen jatorri akademiko desberdinak kontutan hartuz, eta gradu honetan matematikak oinarrizko izaera instrumentala duenez, irakasgai honen helburu nagusia ikasleek aurreko ikasturteetan jaso duten ezaguera bateratzea eta sendotzea da. Honetaz gain, bigarren helburua, ikasleei kalkulu diferentzialaren eta aljebra linealaren oinarrizko tresnak eskaintzea da, haien funtsa mendera dezaten eta beste irakasgaietan erabil ditzaten.

GAITASUN ESPEZIFIKOAK

- Kalkulu diferentzialaren eta aljebraren kontzeptu eta teknika nagusiak erabiltzea.

- Arrazonamendu deduktiboen bidez argumentu logikoen prozedura eta formulazioak justifikatzea.

- Eredu matematikoen bidez ekonomi eta enpresa zientziarekin lotutako gertaera kuantifikagarriak formalizatzea.



ZEHARKAKO GAITASUNAK

- Etorkizuneko ikasketak hasteko zein etengabeko aldaketa eta berrikuntzako gaur egungo testuinguruan norberaren prestakuntzarako, autonomia maila altua lortu ikasketa gaitasunak garatuz.

- Iturri desberdinetatik datorren informazioa bilatzen, identifikatzen, aztertzen eta laburtzen jakin; betiere, gaitasun kritikoaren bidez ondo arrazoituz eta erabaki egokien bidez, enpresa baten egoera baloratu eta bere bilakaera

aurreikusteko helburuekin.

- Idatzizko zein ahozko komunikaziorako gaitasuna.

- Ardurarekin, errespetuarekin, eta ekintzaile eta lidergo jarrerarekin, taldean lan egiteko gaitasuna.



GAKO-HITZAK

- Kalkulua: Aldagai bateko funtzioak. Kalkulu diferentziala. Kalkulu integrala.

- Aljebra: Matrizeak eta determinanteak. Bektore-espazioa. Ekuazio linealetako sistemak. Matrizeen diagonalizazioa.



IKASKETA-EMAITZAK

- Ekonomia eta enpresa zientziarekin lotutako kasu praktikoetan kalkulu diferentzialaren eta aljebra linealaren kontzeptu eta teknika nagusiak erabiltzea.

- Prozeduren onespenerako eta argumentu logikoak adierazteko arrazonamendu deduktiboak erabiltzea.

- Adibide praktikoetan gertaera ekonomiko kuantifikagarrien formalizazio matematikoa egitea.

I. ZATIA: Kalkulua (aldagai bateko funtzioak)



1. GAIA: ALDAGAI BATEKO FUNTZIOAK

1.1 Funtzio kontzeptua. Izate-eremua. Adierazpen grafikoa.

1.2 Funtzio baten alderantzizkoa.

1.3 Ohiko funtzioak.

1.4 Kurba konikoak.

1.5 Zatika definitutako funtzioak. Balio-absolutuaren funtzioa.

1.6 Funtzio konposatuak.

1.7 Funtzioen izate-eremuaren kalkulua.



2. GAIA: LIMITEAK, JARRAITUTASUNA ETA DERIBAZIOA

2.1 Funtzioen limiteak. Albo-limiteak.

2.2 Limiteen propietateak. Indeterminazioak.

2.3 Funtzioen jarraitutasuna.

2.4 Funtzio bornatua.

2.5 Funtzio deribatua. Esanahi geometrikoa.

2.6 Funtzio konposatuen deribazioa (katearen erregela).

2.7 Deribazioaren erregela orokorra. Deribazio-arauak.

2.8 Alderantzizko funtzioaren deribatua.

2.9 Ondoz-ondoko deribatuak.

2.10 Albo-deribatuak. Funtzio baten deribagarritasuna.

2.11 Jarraitutasuna eta deribagarritasuna.

2.12 Funtzio inplizituak. Funtzio inplizituen deribazioa.

2.13 Deribazioaren aplikazioa ekonomian. Elastikotasuna.



3. GAIA: JARRAITUTASUNA ETA DERIBAGARRITASUNA: APLIKAZIOAK

3.1 Funtzio jarraituen propietateak.

3.2 Funtzio jarraituen eta deribagarrien propietateak.

3.3 Limite indeterminatuak: l'Hôpitalen erregela.

3.4 Funtzio baten diferentziala.

3.5 Funtzioen hurbilketa polinomikoa: Taylorren formula. Diferentziala eta hurbilketa lineala.



4. GAIA: INTEGRAZIOA

4.1 Funtzio baten jatorrizkoa. Integral mugagabea.

4.2 Berehalako integrazioa.

4.3 Zatikako integrazioa.

4.4 Aldagai aldaketa bidezko integrazioa.

4.5 Integral mugagabearen erabilera.

4.6 Integral mugatua. Esanahi geometrikoa.

4.7 Batez bestekoaren teorema. Tarte bateko funtzio baten batez besteko balioa.

4.8 Integralen kalkulurako oinarrizko teoria. Funtzio integrala.

4.9 Barrowen erregela.

4.10 Integral mugatuaren erabilera: azaleren kalkulua.

4.11 Integral inpropioa.



II. ZATIA: Aljebra lineala



5. GAIA: MATRIZEAK ETA BEKTOREAK. BEKTORE-ESPAZIOA.

5.1 Matrizeak. Eragiketak matrizeekin.

5.2 Matrize motak.

5.3 Bektoreak. Eragiketak bektoreekin. Bektoreen konbinazio lineala.

5.4 Bektore-espazioa.

5.5 Bektore-espazio euklidearra.



6. GAIA: DETERMINANTEAK ETA ALDERANTZIZKO MATRIZEA

6.1 Matrize karratu baten determinantea.

6.2 Bigarren eta hirugarren ordenako determinanteen kalkulua: Sarrusen erregela.

6.3 Hirugarren ordena baino handiagoko determinanteen kalkulua: Adjuntuen metodoa.

6.4 Determinanteen propietateak.

6.5 Determinante batean zeroak egitea.

6.6 Matrize baten alderantzizkoa. Matrize alderantzikagarriak eta singularrak.

6.7 Alderantzizko matrizearen propietateak.

6.8 Alderantzizko matrizearen kalkulua.



7. GAIA: HEINAREN TEORIA ETA EKUAZIO LINEALETAKO SISTEMAK

7.1 Bektoreen arteko askatasun lineala.

7.2 Matrize baten heina. Propietateak.

7.3 Matrize baten heinaren kalkulua.

7.4 Ekuazio linealetako sistemak. Adierazpen matriziala eta bektoriala.

7.5 Sistema bateragarriak eta bateraezinak: Rouché-Frobenius teorema.

7.6 Sistema homogeneoak.

7.7 Sistemak ebazteko metodo ez-matrizialak.

7.8 Sistema linealak ebazteko metodo matrizialak.

7.9 Ekuazio linealetako sistemak ekonomian.



8. GAIA: MATRIZEEN DIAGONALIZAZIOA

8.1 Definizioa.

8.2 Matrize karratu baten autobalioak eta autobektoreak: matrize diagonalizagarriaren baldintza.

8.3 Diagonalizazioaren erabilerak

Eskola magistralak (%75); eskola praktikoak (%25).

Eskola praktikoak ariketak ebazteko tailerra izango da.



OHARRA: Osasun-egoerak ez badu uzten irakaskuntza presentziala ematen, modu birtualean emango da, Unibertsitateak eskura jartzen dizkigun tresnen bidez. Kasu horretan, Egelan argitaratuko litzateke irakaskuntza-gida honen egokitzapena.

• Ebaluazio Jarraituaren Sistema
• Azken Ebaluazioaren Sistema
• Kalifikazioko tresnak eta ehunekoak:
  • Garatu beharreko proba idatzia (%): 75
  • Banakako lanak (%): 25

EBALUAZIO JARRAITUAREN INGURUKO ORIENTAZIOAK

Azken proba idatzia: irakasgaiko notaren 7,5 puntu arte.

Ariketak ebazteko tailerraren ebaluazio indibiduala: irakasgaiko notaren 2,5 puntu arte.

Irakasgaia gainditzeko, azken proba idatzian gutxienez 3 puntu atera behar dira (7,5 puntu balio duen azken proba

idatzian).





UKO EGITEA

Ebaluazio jarraituari uko egin nahi dioten ikasleek, lauhilekoaren lehen 10 astetan zehar egin ahal izango dute eskaera irakasgaiaren ardura duen irakasleari idatziz adierazita.

Ebaluazio jarraituari uko egiten dion ikasleak, irakasgaiaren nota, azken proba idatziaren bitartez lortuko du.



OHARRA: Osasun-egoerak probak aurrez aurre egiteko aukera ematen ez badu, beste prozedura alternatibo bat abiaraziko da. Kasu horretan, Egelan argitaratuko litzateke irakaskuntza-gida honen egokitzapena.

Ohiko deialdirako irizpide berberak.

Hala ere, ebaluazio jarraitua egin duten ikasleek, ebaluazio mota honi uko egin eta irakasgaiaren nota azken proba idatziaren bitartez lortzeko aukera izango dute.

Irakasgaiko gela birtualean egongo dira erabilgarri eta baita erreprografia zerbitzuan ere.

Oinarrizko bibliografia

* SYDSAETER, K. HAMMOND, P. y CARVAJAL, A. (2012): Matemáticas para el Análisis Económico. Editorial Pearson. Madrid (2ª edición).

Gehiago sakontzeko bibliografia

* CABALLERO, R. y otros (1993): "Matemáticas aplicadas a la Economía y a la Empresa. 380 ejercicios resueltos y comentados". Editorial Pirámide. Madrid.
* HOFFMAN, L. y BRADLEY, G. (2004): "Cálculo aplicado para Administración, Economía y Ciencias Sociales". Editorial McGraw-Hill. Bogotá (8ª edición).
* STEWART, J. (2006): "Cálculo (conceptos y contextos)". Editorial Thomson. México D.F. (5ª edición).

Web helbideak

https://www.wolframalpha.com/
http://reshmat.ru/linear_programming_online.html