Matematika I irakasgaia lehen mailako oinarrizko irakasgaietako bat da Enpresen Administrazio eta Zuzendaritzako eta Zuzenbideko Gradu Bikoitzan. Matematika II irakasgaiaren osagarria da. Irakasgai honetan, aldagai bateko funtzioak aztertzeko tresneria matematikoa eta aljebra linealaren oinarrizko erremintak garatzen dira. Matematika II irakasgaiak tresneria hori osatuko du, aldagai askoko funtzioen analisiaren bitartez.

Ikasleek gradu honetan duten Matematikako lehen irakasgaia da. Lehen mailako lehen lauhilekoan ematen da, oinarrizko edukierak ditu eta ikasleek batxilergoan ikasi dutenaren errepaso eta errefortzua da. Lehen zatian aldagai bateko funtzioen analisia aztertzen da (limiteak, jarraitutasuna, deribatuak, adierazpen grafikoa, integrazioa) eta bigarrenean, aljebra linealaren kontzeptuak lantzen dira.

Izaera aplikatua eta oinarrizkoa denez gero, lagungarria izango da bai ezagupen matematiko errazak eskatzen dituzten irakasgaietan baita oinarri matematiko sakonagoak eskatzen dituztenetan ere (Estatistika, Ekonometria, Mikroekonomia). Irakasgai honetan garatzen denarekin, ikasleek graduko beste irakasgai batzuetan garrantzitsuak izango diren hainbat lan egiteko gai izango dira, hala nola oinarrizko kalkuluak egin, funtzioak irudikatu, deribatu edo integratu edo ekuazio linealen sistemak ebatzi.

Gradu hau bideratua dagoen eremu profesionalean adimen logikoak eta ezaguera matematikoek duten garrantzia kontuan izanik, Matematikako irakasgaiek ikasleen irteera profila hobetzen lagunduko dute.

Matematika I garatzeko, kalkuluaren oinarrizko ezaguerak, ekuazioen ebazpena eta adierazpen matematikoekin lan egiten jakitea beharrezkoa da eta ezagupen hauek guztiak derrigorrezko bigarren hezkuntzako matematikako irakasgaietan ikasten dira. Ikasleek gizarte zientziako eta humanitate adarretako batxilergoko lehen eta bigarren mailako ezagupenak badituztela suposatzen da.

Irakasgai honen helburua, ikasleak Gradu honetan beharrezkoak diren Aljebra Lineal eta aldagai bateko Kalkulu Diferentzialaren oinarrizko nozioak ikas eta uler ditzala da. Ikasleari, ezagutza hauek, edukiera kontzeptual eta praktikoaren arteko behar den oreka egokiarekin eman behar zaizkio. Hain zuzen ere, mekanika soilik ikastea ez da nahikoa: tresnen arrazoizko erabilera gauzatzeko, egitura kontzeptuala ulertu behar da. Beraz, helburua, ikasleak egitarauaren edukiaren gutxieneko ulermen eta trebetasun maila lortzea da. Gaitasunei dagokienez, egitarauaren edukiei zehazki lotuta daudenez gain (ez ditugu banan-banan aipatuko, oso nabariak direlako, adibidez, deribatuaren nozioa ulertu eta deribatzen jakin, etab.), azpimarragarriak dira gai honek garatzen lagundu behar dituen zeharkako gaitasunak: arrazonamendu logiko zorrotza eta proposizioen formulazio zehatza.



Irakasgaiaren berariazko gaitasunak

- Notazio eta hizkera matematikoen erabilpenean trebetasuna.

- Adierazpen aljebraikoen erabilpenean ziurtasuna.

- Funtzio errealen oinarrizko propietateen ezagutza.

- Hizkera matematikoan adierazitako edukiera ekonomikoko nozio eta problemak ulertzeko ahalmena. Beraien formulazioen hastapena.

- Funtzioen optimizazioko problemen ebazpena eta interpretazioa.

Gaitasun orokorrak:

- Ikasketaren planifikazio eta antolakuntza ahalmena.

- Pentsamendu analitiko eta hausnarketa kritikorako ahalmena.

- Hizkera zehatza erabiliz, ahozko eta idatzizko komunikaziorako ahalmena.

- Talde-lanean aritzeko ahalmena, arduraz eta errespetuz, iniziatiba eta lidergoa erakutsiz.

- Autonomia maila handia lortu ahal izateko ikasteko gaitasunak garatzea, bai ondorengo ikasketei ekin ahal izateko, baita etengabeko aldaketa eta berrikuntzen mende dagoen arlo batean autoikaskuntzarako ahalmena izateko ere.

1 Aldez aurretiko kontzeptuak.

1.1 Zenbakiak: N, Z, Q eta R.

1.2 Zuzen erreala.

1.3 Ordena R-n.

1.4 R2 planoa.

2 Aldagai bateko funtzio errealak.

2.1 Aldagai bateko funtzio errealen oinarrizko ezagutza.

2.2 Funtzioen adierazpen grafikoa.

2.3 Oinarrizko funtzioak.

2.4 Aldagai bateko funtzioen propietate batzuk.

2.5 Jarraitutasuna.

3 Kalkulu diferentziala.

3.1 Deribatuaren definizioa. Deribatuaren zeinu eta magnitudearen interpretazioa.

3.2 Hurbilketa lineala.

3.3 Deribatuen kalkulua.

3.4 Katearen erregela.

3.5 Ekuazio baten bitartez inplizituki definitutako funtzioen deribatua.

3.6 Deribatuaren batez besteko balioaren teorema.

3.7 Goi-ordenako deribatuak.

3.8 Bigarren ordenako hurbilketa.

3.9 Funtzioen maximo eta minimo lokalak eta globalak. Baldintza beharrezkoak eta nahikoak.

3.10 Funtzioen azterketa eta adierazpen grafikoa.

2.3 Oinarrizko funtzioak.

2.4 Aldagai bateko funtzioen propietate batzuk.

2.5 Jarraitutasuna.

3 Kalkulu diferentziala.

3.1 Deribatuaren definizioa. Deribatuaren zeinu eta magnitudearen interpretazioa.

3.2 Hurbilketa lineala.

3.3 Deribatuen kalkulua.

3.4 Katearen erregela.

3.5 Ekuazio baten bitartez inplizituki definitutako funtzioen deribatua.

3.6 Deribatuaren batez besteko balioaren teorema.

3.7 Goi-ordenako deribatuak.

3.8 Bigarren ordenako hurbilketa.

3.9 Funtzioen maximo eta minimo lokalak eta globalak. Baldintza beharrezkoak eta nahikoak.

3.10 Funtzioen azterketa eta adierazpen grafikoa.

4 Kalkulu integrala.

4.1 Osoaren kalkulua tasatik abiatuz.

4.2 Jatorrizkoen kalkulua.

4.3 Integral mugatua. Barrow-en erregela.

4.4 Integral inpropioak.

5 Bektoreak: sarrera.

5.1 Bektoreak planoan eta espazioan.

5.2 Bektoreen konbinazio linealak.

5.3 Biderketa eskalarra.

6 Ekuazio linealeko sistemak eta matrizeak.

6.1 Bi aldagaiko eta bi ekuazioko sistemak. Ebazpen grafikoa.

6.2 Hiru aldagaiko ekuazio-sistemak. Planoaren ekuazioa.

6.3 n aldagaiko eta m ekuazioko sistemak.

6.4 Matrizeak. Eragiketak matrizeekin. Matrizeen iraulia eta alderantzizkoa.

6.5 Matrize mailakatuak eta sistema mailakatuak.

6.6 Gauss-en metodoa.

6.7 Matrizeen eta bektore sistemen heina.

6.8 Sistema homogenoak.

7 Espazio bektorialak.

7.1 Rn espazio bektoriala.

7.2 Menpekotasun eta independentzia lineala.

7.3 Matrizeen eta bektore sistemen heina.

7.4 Oinarria eta dimentsioa.

8 Determinanteak.

8.1 Definizioak eta propietateak.

8.2 Matrize baten alderantzizkoa.

8.3 Matrizeen eta bektore sistemen heina.

8.4 Ekuazio linealeko sistemen sailkapena.

Helburuak lortzeko metodologia didaktikoa klase teorikoetan, praktiketan eta mintegietan oinarritzen da. Horietan guztietan hizkera matematiko eta sinbolikoren erabilera eta arrazonamendu zehatz eta sistematikoa sustatuko da eta ikasleen lan autonomoa, banakoa zein taldeetan, lagunduko da.

Klase teorikoetan gai bakoitzaren alde garrantzitsuenak nabarmenduko dira, oinarrizko adibideak egingo dira eta gela birtuala eta oinarrizko bibliografiaren bitartez ikasleek ikas dezaten bideratuko da. Irakaslearen azalpenak eta ikasleen parte-hartzea bateratuko dira: alde batetik, proposatutako ariketen ebazpenean eta bestetik, irakasleak ohiko zalantzak argitzeko proposatutako galdera laburretan. Ikasleek saio bakoitza prestatu ahal izateko, klase bakoitzerako beharrezkoa den materiala aldez aurretik aipatuko da. Horrekin, klase aurretiko lanarekin ikasleen lan autonomoaren ahalmena eta, eta, hizkera matematikoa erabiliz, modu zehatzean argudiatzeko ahalmena garatzea nahi da.

Klase teoriko hauekin batera, klase praktikoetan ariketa matematikoen analisian ikasitako ezagupen teorikoak aplikatuko dira eta modu sistematikoan problema zailagoak definitzeko, ebazteko eta aurkezteko ikasleek duten ahalmena lagunduko da.

Ebaluazio jarraituaren parte bat denez, lauhilekoaren erdialdera proba bat egingo da. Proba horrekin ikasleek duten irakasgaiaren menperatze-maila agerian geratuko da eta, ahal bada, beraien emaitzak hobetzeko lana bideratuko da.

• Ebaluazio Jarraituaren Sistema
• Azken Ebaluazioaren Sistema
• Kalifikazioko tresnak eta ehunekoak:
  • Garatu beharreko proba idatzia (%): 50
  • Proba partziala (%): 50

Ebaluaketaren helburua, ikasleak lortu duen ulermen eta ikaskuntza maila neurtzea da. Irakasgaian matrikulatutako ikasle guztiek eskubidea dute azterketa finala egiteko. Azterketa finala ikasle guztientzat eta irakasgaiaren talde guztientzat bera izango da.

Gainera, lauhilekoaren erdialdean lehen proba partziala egingo da, irakasgaiaren lehen zati horretan emandakoa hartzen duena. Lehen proba partzial horretan 10 puntuetatik 6 puntu edo 6 puntu baino gehiago ateratzen duen ikasleak:

a) irakasgaiaren bigarren zatia hartzen duen bigarren proba partziala egin ahal izango du; proba hori eta azterketa finala egun eta ordu berean izango dira. Kasu horretan, azkeneko kalifikazioa bi proben arteko batezbestekoa izango da.

b) azterketa finala egin ahal izango du.

Azterketa finala egiten duten ikasleen kalifikazioa, azterketa horretan ateratako kalifikazioa izango da. Bigarren proba partziala edo azterketa finala egiten ez duten ikasleak ez aurkeztutzat hartuko dira.

Proba eta azterketa, gaiaren asimilazio maila, hots, tekniken ezagutza eta oinarrizko kontzeptuen ulermena neurtuko dituzten galderekin osatuta egongo dira. Hortaz, ariketa praktikoak eta, halaber, galdera teorikoak edukiko dituzte, adibidez, oinarrizko kontzeptuen definizioak edo emaitza garrantzitsuen enuntziatuak.

Osasun-baldintzek aukera ematen badute, azterketak aurrez aurre egingo dira. Nolanahi ere, "Normaltasun berria" garatuko den salbuespenezko eta ustekabeko inguruabarrak direla eta, ezin bada aurrez aurre azterketarik egin, eGela plataformaren bidez egingo da. Kasu horretan, egindako proben ahozko azalpena eskatu ahal izango dute irakasleek, eGela, BlackBoard Collaborate edo antzeko plataformen bidez.

Ezhoiko deialdian ikasleak irakasgaiko notaren %100 azterketaren bitartez lortuko da. Amaierako azterketa bakarra egingo da ikastetxeko azterketen egutegi ofizialean aurreikusitako datan.

Osasun-baldintzek aukera ematen badute, azterketa aurrez aurre egingo da. Nolanahi ere, "Normaltasun berria" garatuko den salbuespenezko eta ustekabeko inguruabarrak direla eta, ezin bada aurrez aurre azterketarik egin, eGela plataformaren bidez egingo da. Kasu horretan, egindako proben ahozko azalpena eskatu ahal izango dute irakasleek, eGela, BlackBoard Collaborate edo antzeko plataformen bidez.

Gela birtualaren dokumentuak

Oinarrizko bibliografia

Sydsaeter & Hammond: Matemáticas para el análisis económico. Prentice-Hall.

Gehiago sakontzeko bibliografia

A. Chiang: Fundamental Methods of Mathematical Economics. McGraw-Hill.

Web helbideak

https://www.wolframalpha.com/