Irakasgai hau “Oinarrizko Prestakuntza” moduluaren barnean dago eta bere helburua ikasleari beste jakintzagai batzuk ikastea ahalbidetuko dion trebakuntza matematikoa ematea da.



Lehenik eta behin, matrizeak, determinanteak eta ekuazio linealezko sistemak errepasatuko dira. Jarraian, espazio bektorialak eta normatuak ikasiko dira, menpekotasun eta independentzia linealari eta espazio bektorialen oinarriei buruzko kontzeptuak sakonki aztertuz. Biderkadura eskalarrak eta biderkadura eskalar horiek induzitzen dituzten normak ere landuko dira, eta bektoreen arteko ortogonaltasun kontzeptuaren garrantzia azpimarratuko da, geroago oinarri ortogonalak lortzeko Gram-Schmidten metodoa erabiltzen irakatsiko delako.



Ondoren, aplikazio linealak ikasiko dira, autobalore eta autobektore kontzeptuak definituko dira eta antzekotasun transformazioen bidezko matrizeen diagonalketa eta triangelutzea azalduko dira.



Azken ezaguera-blokean, ikasturtean zehar ikasitako problemen zenbakizko ebazpena jorratuko da. Zehatz-mehatz, ekuazio linealezko sistemak ebazteko eta autobalioak eta autobektoreak lortzeko zenbakizko metodoak landuko dira. Honekin batera, espazio euklidearrei buruzko gaian ikasitako teoriaren aplikazio bat ikusiko da: Hurbilketa Minimo Koadratikoa.



Esan behar da irakasgaiak ikasleari beste irakasgai matematiko batzuk ulertzeko beharrezkoak diren ezagutza eta trebetasunak eskaintzen dizkiola (adibidez, “Ekuazio Diferentzialetan Sakontzea” eta “Zenbakizko Metodoetan Sakontzea”).



Aurrekoaz gain, izaera linealeko eredu asko maneiatzen diren beste arlo batzuetan lan egiteko ezagutza nahikoa ere eskuratzen da (Kimika, Fisika, Mekanika, Elektroteknia, Termodinamika, Egiturak, Fluidoen Mekanika, etab.), kasu horretan hizkuntza matriziala oso erabilia izanik.

Ingeniaritzan plantea daitezkeen problema matematikoak ebazteko gaitasuna. Ondorengo arloei buruzko ezagutza aplikatzeko trebetasuna: aljebra lineala, geometria, geometria diferentziala, kalkulu diferentzial eta integrala, ekuazio diferentzialak eta deribatu partzialezko ekuazioak, zenbakizko metodoak eta algoritmoak, estatistika eta optimizazioa (M01CM01 gaitasuna).



Irakasgaiaren gaitasunen lorpenak ikaslea ondorengo lanei ekiteko gaituko du:



- Aljebrako oinarrizko kontzeptuei buruzko azalpen argi eta ordenatua.

- Software-baliabideen bidezko problema matematikoen ebazpena, aljebra linealaren eta zenbakizko metodoen ezagutza aplikatuz.

Aljebra Lineala



1. Aljebra matriziala eta ekuazio linealezko sistemak: eragiketak, determinanteak, alderantzizko matrizea, blokeka definitutako matrizeak.

2. Espazio bektorialak eta espazio normatuak: menpekotasun eta independentzia lineala, oinarriak, koordenatuak, oinarri-aldaketa, azpiespazio bektorialei aplikatutako eragiketak.

3. Espazio euklidearrak: biderkadura eskalar batek induzitutako norma, adierazpen matriziala, ortogonaltasuna.

4. Aplikazio linealak eta endomorfismoak: “nukleo” eta “irudi” azpiespazioak, aplikazio linealen sailkapena eta adierazpen matriziala.

5. Antzekotasun transformazioen bidezko diagonalketa: autobalio eta autobektoreak, matrize erreal simetrikoen kasu berezia.

6. Antzekotasun transformazioen bidezko triangelutzea: matrize baten Jordanen forma kanonikoa lortzeko algoritmoa.



Zenbakizko Aljebra Lineala



7. Zenbakizko analisira sarrera. Erroreak eta beste alderdi garrantzitsu batzuk.

8. Ekuazio linealezko sistemak: metodo zuzenak eta iterazio-metodoak, matrize baten autobalio nagusia kalkulatzeko berreturen metodoa.

9. Hurbilketa minimo koadratikoa: kasu jarraitua, kasu diskretua eta polinomio ortogonalak.

- Irakasgaiaren kontzeptuak azaltzeko klase teorikoak.

- Ariketak ebazteko eta ikasleak bere kabuz ekin behar izango dien beste problema batzuk planteatzeko klaseak.

- Jarduera osagarriak gauzatzeko mintegiak (adibidez, aldez aurretik proposatutako problemei buruzko ahozko aurkezpenak, test motako probak, etab.).

- Ordenagailuaren bidezko praktikak, ikasleak “Mathematica” softwarea erabiltzen ikas dezan, Aljebra Linealeko problemak ebazteko helburuaz. Era berean, praktika horiek ikaslea zenbakizko metodoen programazioan barneratzeko balio izango dute.

- Irakasgaiarekin erlazionatutako baliabide ezberdinak erraz atzitzeko ikasgela birtuala (eGela).

- Irakasleari zalantzak galdetzeko tutoretza-orduak.

• Ebaluazio Jarraituaren Sistema
• Azken Ebaluazioaren Sistema
• Kalifikazioko tresnak eta ehunekoak:
  • Garatu beharreko proba idatzia (%): 80
  • Praktikak egitea (ariketak, kasuak edo buruketak) (%): 10
  • Test erako probak, taldekako lanak, ahozko aurkezpenak, ... (%): 10

Ikaskuntza-emaitzak ebaluatzeko, honako metodologia misto hau aplikatuko da:



1. Ebaluazio jarraitua (irakasgaian lortutako erabateko notaren %20)



- Mintegietan zehar lortutako notei dagokien %10 (Ns kalifikazioa).



- “Mathematica” softwarea erabiliz gauzatuko diren praktika informatikoetan zehar lortutako notei dagokien %10 (Ni kalifikazioa).



2. Azkeneko proba (irakasgaian lortutako erabateko notaren %80)



- Banakako idatzizko proba bati dagokion %40, zeinaren helburua lehenengo lauhilekoan zehar azaldutako edukiei buruzko ezaguera ebaluatzea den (Ne1 kalifikazioa).



- Banakako idatzizko proba bati dagokion %40, zeinaren helburua bigarren lauhilekoan zehar azaldutako edukiei buruzko ezaguera ebaluatzea den (Ne2 kalifikazioa).



Ikaslearen erabateko nota (Nf kalifikazioa) lehenago aipatutako jarduera eta proba guztiei dagozkien kalifikazioen batezbesteko haztatua aplikatuz lortuko da.



Oharrak:



1) Oro har, ikasturtean zehar egingo diren probetan ezin izango da erabili ez libururik edota apunterik, ez gailu telefoniko, elektroniko edo informatikorik, ez beste mota bateko gailurik, jarraian adierazitakoak izan ezik:



- Grafiko edo programagarria ez den kalkulagailu bat, bigarren lauhilekoan zehar azaldutako edukiei buruzko banakako idatzizko probaren kasuan.



- Irakasleak ikasleari esleitutako ordenagailu bat, irakasgaiaren praktika informatikoei dagozkien edukiei buruzko ezaguera ebaluatzeko diseinatutako proben kasuan.



Irakasgaiaren proba ezberdinetan onartutako materialari eta baliabideei buruzko edozein aldaketa ikasleei aurrerapen nahikoz jakinaraziko zaie.



2) Lehenengo lauhilekoan zehar azaldutako teoriari eta ariketei buruzko idatzizko probari dagozkion edukiak, lauhileko horren amaieran egingo den azterketa partzial baten bidez, liberatu ahal izango dira.



3) Idatzizko zatiari dagokion Ne nota, Ne1 eta Ne2 kalifikazioen batezbestekoa kalkulatuz lortuko da. Hala ere, irakasgaia gainditzeko, bai Ne1 kalifikazioak, bai Ne2 kalifikazioak 4.5 baino handiagoak edo berdinak izan behar dute (horrela ez izatekotan, ikaslearen erabateko nota gutxiegia izango da).



4) Halaber, irakasgaia gainditzeko, ikaslearen erabateko notak (Nf kalifikazioak) 5 baino handiagoa edo berdina izan behar du, aurkako kasuan gutxiegia izanik.



5) Deialdiari uko egiteko, irakasgaiaren azkeneko probara ez joatea nahikoa izango da.



Nolanahi ere, ikasleak azkeneko ebaluazioan oinarritutako metodoa aukera dezake, nahiz eta hasiera batean ebaluazio jarraituan parte hartu. Horretarako, ikasleak “Graduko Titulazio Ofizialetako Ikasleen Ebaluaziorako Arautegia”-ri dagozkion ebaluazio-sistemei buruzko 2. kapituluko 8. artikuluan deskribatutako argibideak kontuan hartu behar izango ditu.



Kasu horretan, honako ehuneko hauek aplikatuko dira:



- Ikasturtean zehar azaldutako irakasgaiaren edukiei buruzko banakako idatzizko proba bati dagokion %80. Proba honek lehenengo eta bigarren lauhilekoetan zehar irakatsitako edukiei dagozkien bi atal izango ditu (Ne1 eta Ne2 kalifikazioak, hurrenez hurren).



- Mintegien eta praktika informatikoen bidez lortutako ezaguera ebaluatzeko erabiliko den proba bati dagokion %20 (Ns/i kalifikazioa).



Ikaslearen erabateko Nf nota bi proba horietan lortutako kalifikazioen batezbesteko haztatua izango da, lehenago adierazitako 1), 3), 4) eta 5) oharrak kasu honetan ere ezargarriak izanik.

Kasu honetan, ondoko ehunekoetan oinarritutako azkeneko ebaluazio metodoa aplikatuko da:



- Ikasturtean zehar azaldutako irakasgaiaren edukiei buruzko banakako idatzizko proba bati dagokion %90 (Ne kalifikazioa).



- “Mathematica” softwareaz gauzatutako praktiken bidez lortutako ezaguera ebaluatzeko erabiliko den proba informatiko bati dagokion %10 (Ni kalifikazioa).



Ikaslearen erabateko Nf nota bi proba horietan lortutako kalifikazioen batezbesteko haztatua izango da, lehenago adierazitako 1), 4) eta 5) oharrak kasu honetan ere ezargarriak izanik.

Oinarrizko bibliografia

- "Aljebra Lineala" Irakasgaiaren Irakasleak - UPV/EHUko Matematika Aplikatua Saila. Aljebra Lineala: Klaseko Apunteak. Bilboko Ingeniaritza Eskola - I Eraikuntza.

- "Aljebra Lineala" Irakasgaiaren Irakasleak - UPV/EHUko Matematika Aplikatua Saila. Aljebra Lineala (Zenbakizko metodoak): Klaseko Apunteak. Bilboko Ingeniaritza Eskola - I Eraikuntza.

- Bravo, E. y otros, “Exámenes Resueltos de Álgebra Lineal y Matemáticas I (1996-2000)”, Servicio Editorial de la Universidad del País Vasco, 2002.

- Bravo, E. y otros, “Exámenes Resueltos de Álgebra Lineal y Matemáticas I (2001-2005)”, Servicio Editorial de la Universidad del País Vasco, 2006.

- De Burgos, J. y Vázquez C., “Álgebra Lineal y Numérica. Definiciones, Teoremas y Resultados”, García-Maroto Editores, Madrid, 2011.

- Grossman, S.I., “Álgebra Lineal”, Mc Graw Hill Interamericana Editores, 2008.

Gehiago sakontzeko bibliografia

- Burden R. L., Faires J. D., “Análisis Numérico”, Grupo Ed. Iberoamérica, 2009.
- Burgos, J., “Álgebra Lineal”, Mc Graw-Hill, Madrid, 2006.
- Conte, S. D. y de Boor, C., “Análisis Numérico”, McGraw-Hill, 2005.
- Hernández, E., “Álgebra y Geometría”, Addison-Wesley, 1999.
- Kincaid, D. y Cheney, W., “Análisis Numérico. Las Matemáticas del Cálculo Científico”, Addison- Wesley Iberoamericana, 2007.
- Lay, D. C., “Linear Algebra and its Applications. 3rd Edition (Update)”, Pearson Education, 2006.
- Leon, S. J., “Linear Algebra with Applications.8th Edition”, Pearson Education International, 2010.
- Noble, B., Daniel, J. W., “Applied Linear Algebra. 3rd Edition”, Prentice-Hall, New Jersey, 1988.
- Rojo, J., Martín, I., “Ejercicios y Problemas de Álgebra Lineal”, McGraw-Hill, 2005.
- Rojo, J., “Álgebra Lineal”, McGraw-Hill Interamericana, 2007.
- Strang, G., “Introduction to Linear Algebra”, Wellesley-Cambridge Press, 2009.

Web helbideak

- http://www.ehu.eus
- https://egela.ehu.eus/
- http://www.divulgamat.net/
- http://www.wolfram.com/products/mathematica
- http://ocw.mit.edu
- http://www.laylinalgebra.com