Irakasgai honetan aldagai erreal anitzeko funtzioen kalkulu diferentzial eta integralaren tresnak aurkezten dira eta aldagai konplexuko funtzioak, haien propietateak eta aplikazioak ikasten dira.



Irakasgai honek, Aljebra Lineala eta Geometria I, Kalkulu Diferentziala eta Integrala I eta Metodo Matematikoak irakasgaiekin batera, modulu bat osatzen du, bere helburu nagusia ikasleari beste moduluen alderdi fisikoetan zentratzea ahalbidetzen dion tresneria matematikoaren erdiespena dena. Halaber, abstrakzio matematikoaren eta zehaztasun kontzeptualaren estimua erdietsiko da.

GAITASUN ESPEZIFIKOAK

- Aldagai anitzeko funtzioen diferentziagarritasunaren kontzeptua ulertu.

- Aldagai anitzeko funtzioen deribatuen kalkulurako teknikak ezagutu: deribatu partzialak, deribatu norabidetuak, katearen erregela eta Taylorren garapena.

- Funtzio inplizituaren eta alderantzizko funtzioaren teoremak aplikatzen jakin.

- Aldagai anitzeko funtzioen mutur lokalak eta absolutuak, baldintzatuak eta baldintzarik gabekoak kalkulatzeko teknikak ezagutu.

- Aldagai anitzeko Riemannen integralak, lerro-integralak eta gainazal-integralak planteatzen eta ebazten jakin, eta haien aplikazio geometrikoak eta fisikoak ezagutu.

- Analisi bektorialeko teoremen esanahi geometriko eta fisikoa ezagutu, lerro-integral eta gainazal-integralen kalkulurako (Green, Stokes eta Gaussen teoremak).

- Ulertu aldagai konplexuko funtzio analitikoaren kontzeptua.

- Integral konplexuak bideen gainean palnteatzen eta ebazten jakin.

- Cauchyren teorema integrala eta Cauchyren formula integrala ezagutu.

- Aldagai konplexuko funtzioak Taylor eta Laurenten serieetan garatzen jakin.

- Hondarren teorema integral konplexual, integral inpropioak eta serrien baturak kalkulatzeko aplikatzen jakin.

- Abstrakzio matematikoa memperatu eta erabili kalkulu zehatzak egiteko.

- Egoera fisiko errazak matematikoki modelizatu.

- Matematiketan oinarrituz, hitzaldi logikoa antolatu.



IKASTEAREN EMAITZAK

- Teorema egokiak ezagutzea, kasu zehatzerako aplikagarritasuna kontsideratzea eta, aplikagarriak izatekotan, erabiltzea kalkulu zehatz batean.

- Problema baten ahozko deskribapen baten aurrean, bere planteamendua modu eskematikoan grafikoki adieraztea, koordenatu eta magnitudeei sinboloak esleitzea eta sistema deskribatzen duten ekuazio matematikoak planteatzea.

- Begiratu batean matematikoa dirudien testu bat aztertzea eta planteamenduan akats logikoak aurkitzea, tribiala ez den problema baten kalkuluak argibide-diskurtsoarekin laguntzea.

1. MUTURRAK. Deribatu partzialak. Goi-ordenako deribatuak. Taylorren teorema. Mutur lokalak. Mutur baldintzatuak. Mutur absolutuak.

2. FUNTZIO INPLIZITUAK. Funtzio inplizituaren teorema. Alderantzizko funtzioaren teorema.

3. INTEGRAL BIKOITZA. Bi aldagaiko funtzioen Riemannen integrala errektangeluen gainean. Integral bikoitza eremu orokorragoetan. Aldagai-aldaketa integral bikoitzetan. Aplikazioak.

4. INTEGRAL HIRUKOITZA. Hiru aldagaiko funtzioen Riemannen integrala paralelepipedoen gainean. Integral hirukoitza eremu elementaletan. Aldagai-aldaketa integral hirukoitzetan. Aplikazioak.

5. LERRO-INTEGRALAK. Ibilbideak eta arku-luzera. Lehen eta bigarren mailako lerro-integralak. Birparametriazioak. Lerro-integralak kurba geometrikoen gainean.

6. GAINAZAL-INTEGRALAK. Gainazal parametrizatuak eta azalera. Lehen eta bigarren mailako gainazal-integralak.

7. ANALISI BEKTORIALEKO TEOREMAK. Eragile bektorialak. Greeen teorema. Stokesen teorema. Eremu kontserbakorrak. Gaussen teorema.

8. ZENBAKI KONPLEXUAK. Forma binomikoa eta forma polarra. Eragiketa algebraikoak. Erroak. Distantzia plano konplexuan.

9. ALDAGAI KONPLEXUKO FUNTZIOAK. Limiteak eta jarraitutasuna. Deribatu konplexua. Cauchy-Riemannen baldintzak. Funtzio holomorfoak. Funtzioa harmonikoak.

10. ALDAGAI KONPLEXUKO OINARRIZKO FUNTZIOAK. Polinomioak. Erroak. Funtzio arrazionalak. Funtzio esponentziala eta logaritmoa. Berretura konplexuak. Funtzio trigonometrikoak eta haien alderantzizkoak. Funtzio hiperbolikoak.

11. INTEGRAZIO KONPLEXUA ETA CAUCHYREN TEOREMAK. Kurbak plano konplexuan. Aldagai konplexuko funtzioen integrazioa kurben gainean. Kalkulu integralaren oinarrizko teorema. Cauchyren teorema integrala. Cauchyren formula integrala.

12. TAYLOR ETA LAURENTEN SERIEAK. PUNTU SINGULARRAK. Funtzio-segidak eta funtzio-serieak. Berretura-serieak. Taylorren teorema. Laurenten teorema. Puntu singularrak eta haien sailkapena.

13. HONDARRAK ETA HAIEN ERABILERAK. Hondarraren definizioa. Hondarren teorema. Hondarrak kalkulatzeko metodoak. Funtzio trigonometrikoen integral erreal mugatuen kalkulua. Aldagai errealeko integral inpropio batzuen kalkulua. Fourierren transformatua. Laplaceren transformatua. Serieen baturak.

Eskolak banatzen dira magistraletan, gelako praktiketan eta mintegietan, non metodologia ezberdinak erabiliko diren.



Magistraletan eduki teorikoak ikasiko dira, adibide praktikoekin batera, problemen ebazpenean oinarritutako ikaskuntza bultzatzeko.



Gelako praktiketan gai bakoitzekin erlazionatutako problemak garatuko dira, ikasleek eskola magistraletan ikasitako kontzeptuak praktikan ipin ditzaten.



Azkenik, mintegiak egingo dira eduki teoriko-praktikoetan sakontzeko. Mintegietara joatea derrigorrezkoa da.

• Azken Ebaluazioaren Sistema
• Kalifikazioko tresnak eta ehunekoak:
  • Garatu beharreko proba idatzia (%): 100

Lauhilabete bakoitzaren bukaeran azterketa partzial bat egingo da. Bi lauhilabeteetako nota partzialak 5 edo 5 baino handiagoak badira, 10 gaineko, ohiko deialdiko nota finala nota partzialen batezbestekoa izango da. Ez da nota partzialen batezbestekoa kontuan hartuko horietakoren bat 5 baino txikiagoa bada, 10 gaineko.



Ohiko deialdiko azterketan ikasleak aurretik gainditu ez dituen lauhilabeteen azterketa egin beharko du.



Ebaluazioarako irizpideak:

* Arrazonamenduetan eta definizioetan zehaztasuna.

* Hizkuntza matematikoaren doitasuna.

* Argudio-metodoen argitasuna eta ordena, pausuak azalduz.

Ariketen emaitzak zuzenak izatea.

Azterketa idatzia: %100



Ebaluazioarako irizpideak:

* Arrazonamenduetan eta definizioetan zehaztasuna.

* Hizkuntza matematikoaren doitasuna.

* Argudio-metodoen argitasuna eta ordena, pausuak azalduz.

* Ariketen emaitzak zuzenak izatea.

Oinarrizko bibliografia

J. E. Marsden, A. J. Tromba, Cálculo Vectorial. Addison-Wesley iberoamericana, 2004.

R.V. Churcill y J.W. Brown, Variable compleja y aplicaciones, McGraw-Hill, 2007.

J. Duoandikoetxea, J. Rivas, Analisi Konplexua, EPV/EHUko Argitalpen Zerbitzua, 2017.

Gehiago sakontzeko bibliografia

T. M. Apostol: Calculus, 2. bol., Reverté, 1973.
F. Bombal, L. Rodríguez, G. Vera, Problemas de Análisis Matemático, Ed. Electolibris, 2017.
B. P. Demidovich, 5000 problemas de Análisis Matemático. Ed. Paraninfo. 1980.
L. Volkovyski, G. Lunts, I. Aramanovich, Problemas sobre la teoria de funciones de variable compleja. Mir, Moscu, 1977.
J. Mathews, R.L. Walker, Mathematical methods of physics. Addison-Wesley, 1970.
J. E. Marsden, M.J. Hoffman, Análisis Clásico Elemental. 2. arg., Addison-Wesley Iberoamericana, 1998.
D. Pestana Galván, J.M. Rodríguez García, F. Marcellán Español. Variable compleja. Un curso práctico. Ed. Síntesis, 2014.
W.R. Derrik, Introductory complex analysis & applications. Academic Press, 1972.
M. R. Spiegel, S. Lipschutz, J.J. Schiller, D. Spellman, Variable Compleja. McGraw Hill, 2009.
M. Rivas, Ejercicios de Funciones de Variable Compleja y Geometría Diferencial, 2010
(http://tp.lc.ehu.es/documents/problemas.pdf).

Web helbideak

Mathematical Tripos: IA Vector Calculus: http://www.damtp.cam.ac.uk/user/sjc1/teaching/VC_2000.pdf
Lectures on Integration of Several Variables: www.physics.nus.edu.sg/~phyteoe/mm4/m252.ps
T. Tao, Complex Analysis for Applications. http://www.math.ucla.edu/~tao/resource/general/132.1.00w/
http://math.fullerton.edu/mathews/complex.html
George Cain. http://people.math.gatech.edu/~cain/winter99/complex.html
B. Cuartero eta F. Ruizena. http://www.unizar.es/analisis_matematico/varcomplej/prg_varcompleja.html