Irakasgai hau oinarrizko formakuntzako moduluan dago eta Kudeaketaren eta Informazio Sistemen Informatikaren Ingeniaritzako graduan dauden Matematikako sei irakasgaietako bat da.



Irakasgai honen bidez ikasleak analisi- eta sintesi-gaitasuna lortu behar du eta baita abstraktoki pentsatzen ikastea.



Proposizio-logika, multzoak eta erlazioak ikusten hasten da. Ondoren probabilitate diskretua eta grafoen oinarrizko teoriarekin jarraitzeko. Ikasleak gai izan behar du grafoen teoriaren gaitasuna erabiltzeko ingeniaritzako problemak zein bizimodu arruntekoak garatzeko.

Gaitasuna



- Gaitasun espezifikoak

M01CM03: Gaitasuna matematika diskretuko oinarrizko kontzeptuak (logika, algoritmika eta

konplexutasun konputazionala) ulertzeko, menperatzeko eta ingeniaritzako berezko

problemen ebazpenetan aplikatzeko.



- Gaitasun orokorrak

G008: Oinarrizko materiak eta teknologiak ezagutzea, metodo eta teknologia berriak ikasi,

garatu eta egoera berrietara egokitu ahal izateko.

G009: Gaitasuna arazoak ekimenez konpontzeko, erabakiak hartuz, autonomiaz eta sormenaz.

Informatikako Ingeniari Teknikoaren lanbideko ezagutzak eta trebetasunak

komunikatzeko eta transmititzeko gaitasuna,





Ikasketa emaitzak (RA)



RA01: Arrazonamenduetan eta praktiketan matematika diskretuaren berezko terminologia era egokian

erabiltzea.

RA02: Ingeniaritza arloko problema matematikoak ebazteko metodorik egokiena identifikatzea.

RA03: Ingeniaritza arloko problemen ebazpenetan matematika diskretuko metodologia aplikatzea.

RA04: Software-tresnak behar bezala erabiltzea, ingeniaritza arloan ager daitezkeen problema

matematikoak ebazteko.

RA05: Problemen ebazpenetan erabilitako metodologia eta jarraitutako prozesua deskribatzea.

RA06: Lortutako emaitzak era arrazoituan aztertzea eta interpretatzea.

RA07: Informazio-bilaketa eraginkorrak egitea ingeniaritza arloan ager daitezkeen problemak

ebazteko.

RA08: Ezagutzak, prozedurak eta emaitzak koherentziaz adierazten dituen idatzizko dokumentazioa

sortzea.

PROPOSIZIO-LOGIKA.- Proposizio-kalkularen eta predikatu-kalkuluaren oinarriak jarriko dira, sintaxiari, semantikari eta ondorio formalari buruzko aspektuak lantzeko, tiutalzioko beste irakasgaiekin erlazionatzeko.



MULTZO-TEORIA.- Multzo-kontzeptua definituko da eta baita ere multzoen arteko eragiketak, ingeniaritzako alor desberdinetan aplikatuz. Bestalde, zenbaki osoekin eragiketak landuko dira; bereziki, zatigarritasuna, zenbaki lehenak, zatitzaile komunetako handiena, multiplo komunetako txikiena, Euclides-en algoritmoa, eta abar.



ERLAZIO BITARRAK.- Erlazio bitarraren kontzeptuan oinarrituz ordena eralazioak eta baliokidetasun-klaseak kontsideratuko dira (bereziki, kongruentziak modulu m). Azkenik funtzio kontzeptua landuko da: funtzio motak, alderantzizko funtzioa, funtzioen konposaketa eta abar.



KONBINATORIA.- Lagin-espazioaren kontzeptuan oinarrituz zenbaketa-prozesuak egitea baimentzen duten tresnak izatearen beharrizana justifikatuko da. Horretarako aldakuntza, permutazio eta konbinazio (errepikatuz edo errepikatu gabe) kontzeptuak definituko dira, probabilitate diskretuen kalkuluan aplikatzeko konkretuki.



GRAFO-TEORIA.- Adibide konkretuetan oinarrituz grafoaren kontzeptua definituko da, baita ere hauekin lotutako problemak eta ingeniaritzako beste alor batzuekin duten lotura. Zenbait helburu hobetzeko asmoarekin grafo euleriarrak eta grafo hamiltoniarrak definituko dira. Azkenik, zuhaitz-ariketak landuko dira, guzti hau ingeniaritzako ereamuan aplikatuz.

Irakasgaian landuko diren gaiekin osotutako apunteak eskuragarri izango dira ikasleentzat, bertan zenbait ariketa proposatuko direlarik. Hauetariko asko klasean landuko dira eta besteak ikasleak lantzeko geratuko dira.



Presentziazko irakaskuntzaren laguntzarako eGela plataforma erabiliko da.



Laborategiko praktiketan Mathematica programa erabiliko da.



Normalean, eta besterik adierazi ezean, UPV/EHUko ebaluazio probetan ikasleek

debekatuta izango dute liburuak, oharrak edo apunteak erabiltzea, bai eta tresna edo gailu

telefoniko, elektroniko, informatiko edo bestelakoak erabiltzea ere.

• Ebaluazio Jarraituaren Sistema
• Azken Ebaluazioaren Sistema
• Kalifikazioko tresnak eta ehunekoak:
  • Garatu beharreko proba idatzia (%): 60
  • Praktikak egitea (ariketak, kasuak edo buruketak) (%): 15
  • alde lanak (arazoen ebazpenak, proiektuen diseinuak) (%): 10
  • Aplikazioak tresna informatikoa erabiliz (%): 15

Ikasleak ebaluazio jarraitua edo finala aukera dezake.



Ebaluazio jarraitua



1. Ikasleak egindako lan desberdinetan lortutako emaitzen batura haztatua egingo da, honako irizpideen arabera:

- Bukaerako proba idatzia: kalifikazioaren %60

- Praktikak egitea (ariketak, kasuak edo buruketak): %15

- Talde lanak (arazoen ebazpenak, proiektuen diseinuak): %10

- Aplikazioak tresna informatikoa erabiliz: %15



2. Irakasgaia gainditzeko nahitaezko baldintza, bukaerako proba idatzian gutxienez nota maximoaren %40a lortzea da, irakasgaiaren kalifikazioa burututako ebaluazio jarraituko notaren eta dagokion bukaerako proba idatziaren arteko batura haztatua izango da. Gutxieneko honetara heltzen ez den ikasleak "Gutxiegi" kalifikazioa izango du.



3. Ebaluazio jarraituari uko egin nahi dion ikasleak (beraz, ebaluazio finala egin nahi duena), taldeko irakasle arduradunari eskabide bat helarazi behar dio, lauhilekoaren hamaikagarren asteko bukaera baino lehen. Eskabide hau betetzeko agiria ikasturte hasieratik UPV/EHUko irakaskuntza plataforman eskuragarri egongo da.



4. Bukaerako proba idatzira aurkezten ez den ikasleak "Ez aurkeztua" kalifikazioa izango du.





Ebaluazio finala



1. Ikasleak eskubidea izango du ebaluazio finalaren bidez ebaluatuak izateko, Graduko Titulazio Ofizialetako Ikasleen Ebaluaziorako Arautegian ezarritako baldintzen arabera (II. Kapitulua, 8.3 artikulua). Eskubide hori baliatzeko, ikasleak ebaluazio jarraituari uko egiten diola jasotzen duen idatzi bat aurkeztu beharko dio irakasgaiaren ardura duen irakasleari, lauhilekoaren hamaikagarren asteko bukaera baino lehen. Eskabide hau betetzeko agiria ikasturte hasieratik UPV/EHUko irakaskuntza plataforman eskuragarri egongo da.



2. Ebaluazioa, irakasgaiaren gaitasun nahikotasuna bermatzen duten bukaerako ariketa baten bidez egingo da, honako puntuazio-baremoa erabiliz:

- Bukaerako proba idatzia: %85

- Tresna informatikoari buruzko proba: %15 (Salbuespenezko kasua denez, lauhilekoan zehar

egingo da, esleitutako ordenagailu gelan eta irakasgaiko irakasleek ezarritako datan)



Irakasgaia gainditzeko (nota >=5), ikasleak gutxienez proba idatziaren puntuazioaren %40a eta tresna informatikoari buruzko probaren puntuazioaren %40a lortu behar du.



3. Bukaerako ariketara aurkezten ez den ikasleak "Ez aurkeztua" kalifikazioa izango du.

1. Ebaluazio jarraituan lortutako kalifikazioa %50ekoa edo handiagoa bada, ikasleak kalifikazio hori deialdi honetarako mantenduko du. Ebaluazio jarraitua mantentzen duenari, ohiko deialdiko ebaluazio jarraituko irizpide berdinekin haztatuko zaio. Irakasgaia gainditzeko nahitaezko baldintza da bukaerako proba idatzian gutxienez nota maximoaren %40a lortzea da. Gutxieneko honetara heltzen ez den ikasleak "Gutxiegi" kalifikazioa izango du.



2. Gainontzeko ikasleentzat ebaluazio finala aplikatuko da, Graduko Titulazio Ofizialetako Ikasleen Ebaluaziorako Arautegian ezarritako baldintzen arabera (II. Kapitulua, 8.3 artikulua). Tresna informatikoa gainditua dutenek, bukaerako proba idatzi (%85) baten bidez ebaluatuak izango dira. Tresna informatikoa gainditua ez dutenek, ordea, bukaerako ariketa (%100) baten bidez ebaluatuak izango dira, tresna informatikoari dagozkion edukien ebaluazioa barne dituena.

Irakasgaia gainditzeko (nota >=5), ikasleak gutxienez proba idatziaren puntuazioaren %40a eta tresna informatikoari buruzko probaren puntuazioaren %40a lortu behar du.



3. Bukaerako ariketara aurkezten ez den ikasleak "Ez aurkeztua" kalifikazioa izango du.

Ez da material zehatz bat erabiltzera derrigortzen.

Ikasleak klaseak prestatzeko eta ikasteko, UPV/EHUko Irakaskuntza Plataforman irakasleak jarritako material didaktiko ugari dauka.

Bestalde, bibliografian informazio gehigarria lortzeko erabilgarriak diren iturri desberdinak aipatzen dira.

Oinarrizko bibliografia

S. S. Epp. Discrete mathematics with applications. Brooks Cole, 2010.



F. Garcia Merayo, G. Hernandez Peñalver, A. Nevot Luna. Problemas resueltos de matemática discreta. Thompson-Paraninfo, Madrid, 2003.



W.K. Grassmann, J.P. Tremblay. Matemática discreta y lógica. Prentice Hall Iberia, 1998.



R. P. Grimaldi. Matemática discreta y combinatoria: una introducción con aplicaciones. Addison-Wesley Iberoamericana, Argentina, 1997.



C. L. Liu. Elementos de matemáticas discretas. Mc.Graw-Hill, México, 1995.

Gehiago sakontzeko bibliografia

T. Veerarajan. Matemática discreta con teoría de grafos y combinatoria. McGraw-Hill Interamericana, 2008.

L. Lovász, J. Pelikán, K. Vesztergombi. Discrete mathematics. Elementary and beyond. Springer, Nueva York, 2003.

N. L. Biggs. Matemática discreta. Vicens Vives, Barcelona 1994.

C. L. Chang, R. C. T. Lee. Symbolic Logic and mechanical theorem proving. Academic Press, New York, 1973.

A. Gibbons. Algorithmic graph theory. Cambridge University Press, Cambridge, 1985.

A. Deaño. Introducción a la lógica formal. Alianza, Madrid 1980.

Web helbideak

https://ocw.mit.edu/courses/electrical-engineering-and-computer-science/6-042j-mathematics-for-computer-science-spring-2015/

https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-310-principles-of-discrete-applied-mathematics-fall-2013/

https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-315-combinatorial-theory-introduction-to-graph-theory-extremal-and-enumerative-combinatorics-spring-2005/

https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-314-combinatorial-analysis-fall-2014/