Irakasgaiak aurkezten ditu, era sistematikoan, aldagai anitzeko kalkulu diferentzial eta integralaren kontzeptuak, teknikak eta oinarrizko aplikazioak. Kalkulu Diferentziala eta Integrala I irakasgaiaren jarraipena da. Irakasgai hau, Kalkulu Diferentziala eta Integrala I eta Analisi Konplexuarekin batera Analisi-modulua osatzen dute. Modulu honen helburua da ikasleak materia hauen oinarrizko prestakuntza horizontal bat lortzea, elkarrekin erlazionatutako norabide anizkunetako ezaguerak eta trebetasunak ulertzea eta aplikatzea baimenduz, bereziki materietan zeinetarako Analisi Matematikoa funtsezko erreminta da: Ekuazio Diferentzialak, Deribatu Partzialetako Ekuazioak eta Zenbakizko Metodoak.

KOMPETENTZIA ESPEZIFIKOAK



- M15CM10: Espazio euklidiar n-dimentsionalaren oinarrizko kontzeptu metriko eta topologikoak ulertzea.

- M15CM11: Aldagai anitzeko funtzioen jarraitutasun eta diferentziagarritasunaren kontzeptuak ulertzea.

- M15CM12: Aldagai anitzeko funtzioen deribatu, deribatu partzial, norabide-deribatu eta katearen erregelaren kalkulu-teknikak jakitea.

- M15CM13: Funtzio inplizituaren eta alderantzizko funtzioaren teoremak kalkulu desberdinetan aplikatzen jakitea.

- M15CM14: Aldagai anitzeko funtzioen muturren (absolutu eta erlatiboak) kalkuluaren teknikak ezagutzea.

- M15CM15: Aldagai anitzeko funtzioen Riemann-en integralak, lerro-integralak eta gainazal-integralak planteatzen eta ebazten jakitea, haien aplikazio geometriko eta fisikoak ezagutuz.

- M15CM16: Teorema bektorialen esanahi geometriko eta fisikoa ezagutzea, lerro-integral eta gainazal-integralen kalkulurako.

- M15CM17: Oinarrizko funtzioen Fourier-en serieak kalkulatzea, eta bere ezaugarriak eta konbergentziaren moduak ezagutzea.



IKASKETA-EMAITZAK



- Funtzio-segida eta funtzio-serieen propietateak erabili, konbergentzia eta bornaketaren kontzeptuak erlazionatu.

- Integral anizkoitzak, lerro-integralak eta gainazal-integralak kalkulatu eta kalkulu integralaren teoremak erabili trebetasunaz.

- Kalkulu diferentzial eta integralaren bitartez ariketa geometriko (funtzioen grafikoak, luzerak, azalerak, bolumenak) eta fisikoak (grabitate-zentroak, masa, inertzia-momentuak) planteatu eta ebatzi.

1. ESPAZIO EUKLIDIARRAK: Biderkaketa eskalarra, norma, Cauchy-Schwarz-en desberdintza. Cantor, Bolzano eta Heine-Borel-en teoremak. Segidak R^n-n, konbergentzia, Bolzano-Weierstrass-en teorema, Cauchy-ren segidak, Cauchy-ren teorema.

2. FUNTZIO JARRAITUAK: funtzioak R^n-n, grafikoak, maila-lerroak, limiteak, limite norabidetuak, limite iteratuak. Funtzioa jarraituak, oinarrizko propietateak. Funtzio linealak, karakterizazio matriziala. Jarraitasuna. Norma L(R^n, R^m)-n. Jarraitasunaren propietate orokorrak, trinkotasun eta konexioaren kontserbazioa. Alderantzizkoaren jarraitasuna, jarraitasun uniformea.

3. DIFERENTZIAZIOA: deribatu norabidetuak eta partzialak, matrize jakobiarra, diferentzialaren existentziarako baldintzak, katearen erregela. Batezbesteko balioren teorema. Ordena goreneko deribatu partzialak, hessiarra, Taylor-en polinomioa. Alderantzizko funtzioaren teorema, funtzio inplizituaren teorema, parametrizazio eta heinaren teoremak. Muturrak eta mutur baldintzatuak: Lagrange-ren biderkatzaileak.

4. FUNTZIO-SEGIDAK ETA SERIEAK: Konbergentzia puntuala eta uniformea, norma uniformea, Cauchy-ren erizpidea, Weierstrass-en erizpidea, funtzio jarraituen segidak. Hurbilketaren teoremak: Bernstein, Weierstrass, Stone-Weierstrass. Ascoli-Arzelà-ren teorema.

5. INTEGRAZIOA: Riemann-en baturak, integralaren definizioa, Zero edukia eta zero neurria, Cauchy-ren erizpidea, integralaren existentzia, edukia eta integrala, batezbesteko balioaren teorema.

6. FUBINI-REN TEOREMA ETA ALDAGAI-ALDAKETA: Integral iteratuak, Fubini-ren teorema, multzoen transformazioa, aplikazio lineal eta ez-linealen bidezko transformazioak, aldagai-aldaketa, koordenatu polarrak, esferikoak eta zilindrikoak.

7. FUNTZIO BEKTORIALEN KALKULU DIFERENTZIALA: Bektore-eremuaren definizioa, fluxu-lerroa, gradientea, dibergentzia eta errotazionala. Espazio euklidearreko kurbak, ukitzailea eta arku-luzera.

8. FUNTZIO BEKTORIALEN INTEGRAZIOA: Kurba-integralak, ibilbide-integrala, kurba norabidetuak, lerro-integrala, parametrizazio-aldaketa. Gainazal parametrizatuak, azalera, funtzio eskalar eta bektorialen gainazal-integralak. Gainazal norabidetuak. Green, dibergentzia eta Stokes-en teoremak. Eremu kontserbakorrak.

9. FOURIER-EN SERIEAK: Fourier-en koefizienteak, sinu eta kosinuen ortogonalitatea. Konbergentzia puntuala: Dirichlet-en nukleoa, Riemann-Lebesgue-ren lema. Erabilpena zenbait funtziorekin. Konbergentzia uniformea. Hurbilketa bestezbesteko kuadratikoan, Bessel-en desberdintza, Parseval-en identitatea.

Eduki teorikoa klase magistraletan azalduko da, bibliografian dauden oinarrizko erreferentziak eta nahitaezko materialari jarraituz. Hori osatuko da proposatuko diren ariketako klaseekin (ikasgela-praktikak), non ariketak ebazteko ikasleak klase teorikoetan lortutako ezaguerak aplikatuko diren. Mintegietan irakasgaiaren edukiaren gai eta adibide adierazgarriak garatuko dira, gehienetan lehenago ikasleei emandakoak, beraiek lan egiteko eta ondoko gogoeta eta eztabaida berekin ekar dezaten.

• Ebaluazio Jarraituaren Sistema
• Azken Ebaluazioaren Sistema
• Kalifikazioko tresnak eta ehunekoak:
  • Irakurri argibideak (%): 100

Azterketa partzialak

====================



* Bi azterketa partzial (haztapen erlatiboa: 2/5 eta 3/5), gutxienez nota finaleko %90a balioko duena.

* Mintegietan parte hartzea, banakako lanak, kontrolak (nahitaez aukera guztiak ez) gehienez nota finaleko %10a.







Azterketa finala

=====================



* Irakasgaiaren azterketa finala, gutxienez nota finaleko %90a balioko duena.

* Mintegietan parte hartzea, banakako lanak, kontrolak (nahitaez aukera guztiak ez) gehienez nota finaleko %10a.



Ebaluzio jarraitua ez egitekotan, azterketa finala: %100a.

* Irakasgaiaren azterketa finala: nota finaleko %100a.

EGELA plataformaren bidez banatutako materiala:

* Ariketak
* Mintegiak
* Ikasturteko notak

Oinarrizko bibliografia

T.M. APOSTOL, Análisis Matemático, 2ª edición, Ed. Reverté, Barcelona, 1977.

R.G. BARTLE, Introducción al Análisis Matemático, Ed. Limusa, Mexico, 1980.

F. BOMBAL, L. RODRIGUEZ. G. VERA, Problemas de Análisis Matemático. V. 1,2.

W.H. FLEMING, Funciones de varias variables, Ed. CECSA, México. 1969.

J.E. MARSDEN y M.J. HOFFMAN, Análisis clásico elemental, Addison-Wesley Iberoamericana, Wilmington, 1998

J.E. MARSDEN y A. TROMBA, Cálculo Vectorial, Ed. Addison-Wesley Iberoamericana, Buenos Aires, 1991.

J.M. MAZON, Cálculo diferencial: teoría y problemas, McGraw-Hill, 1997.

M. SPIVAK, Cálculo en variedades, Ed. Reverté, Barcelona, 1979.

N. PISKUNOV, Kalkulu Difetentziala eta Integrala, UEU, 2009.

Gehiago sakontzeko bibliografia

W. RUDIN, Principios de Análisis Matemático, McGraw-Hill, 1980.
T. TAO, Analysis I, II, Hindustan Book Agency, 2006.

Web helbideak

Mathematical Tripos: Part 1A Vector Calculus: http://www.damtp.cam.ac.uk/user/sjc1/teaching/VC_2000.pdf
Lectures on Integration of Several Variables: www.physics.nus.edu.sg/~phyteoe/mm4/m252.ps