Irakasgai honetan alde batetik Lebesgueren integrazioaren Teoria ete bere propietateak garatzen dira, eta bestetik Hilberten eta Banachen espazioetarako sarrera, zeintzuek Analisi Matematiko Modernoaren oinarria diren.

Analisi Funtzionaleko irakasgaiarekin batera, Analisi Funtzional izeneko moduluan sartzen da eta hori dela eta komenigarria da, irakasgai hau aurrera eraman ahal izateko arazorik gabe, lehen eta bigarren mailako Analisi arloko irakasgaiak menperatzea, besteak beste Kalkulu Diferentzial eta Integrala I eta II.

GAITASUNAK

M08CM01: Neurriaren teoriaren eta Lebesgueren integrazioaren oinarriak eta teknikak jakin.

M08CM02: Neurriaren kontzeptua integrazioarekin erlazionatu.

M08CM03: Teorema garrantzitsuenak (konbergentzia monotonoa eta menperatua, Fatouren lema, Fubiniren teorema, aldagai-aldaketaren teorema) ikasi eta erabiltzen jakin.

M08CM04: Banachen eta Hilberten espazioak ezagutzea, eta Analisi Funtzionaleko adibide bereizgarri erabilgarrienak sailkatzea, bereziki segida- eta funtzio-espazioak.

M08CM05: Espazio normadunen eta Hilberten espazioen eragileen teoriaren teknika espezifikoak zehaztasunez erabiltzea.

M08CM07: Teoriaren oinarrizko emaitzak erabateko zehaztasunez garatu.



JAKINTZAREN EMAITZAK

- Neurriaren teoriaren oinarrizko kontzeptuak ulertzea eta bere aplikazioa Lebesgueren integralaren definizioan.

- Funtzio integragarriak aztertzeko erabiltzen diren oinarrizko teoremak aplikatzea.

- Funtzio integragarrien eta oinarrizko neurrien adibideak ezagutzea.

- Espazio normatuen eta beraien arteko eragiketen ezaugarri nagusiak ezagutzea.

- Biderkadura eskalarra eta Hilberten espazioen propietate nagusiak ulertzea.

1. LEBESGUEREN NEURRIA Rn-N. NEURRIDUN ESPAZIOAK: Riemannen integrazioa eta haren mugak. Multzoen neurria Rn-n: kanpo-neurria eta Lebesgueren neurria. Multzo ez-neurgarriak. Sigma-aljebrak, neurriak eta neurridun espazioak: oinarrizko propietateak eta adibideak.

2. LEBESGUEREN INTEGRALA: PROPIETATEAK: Funtzio sinpleen integrazioa. Funtzio neurgarriak. Funtzio positiboen integrazioa eta edozein zeinutako funtzioena. Konbergentzia-teoremak integraletarako. Integrazio-ikurraren barruko diferentziazioa.

3. FUBINIREN TEOREMA ETA ALDAGAI-ALDAKETA: Zenbait aldagaitako funtzioen integrazioa. Tonelliren eta Fubiniren teoremak. Aldagai-aldaketa.

4. HILBERTEN ESPAZIOEN OINARRIZKO TEORIA: Biderkadura eskalarra. Cauchy-Schwarzen desberdintza. Hilbert espazioak. Ortogonaltasuna eta proiekzioak. Funtzional linealak: adierazpenaren teorema. Sistema eta oinarri ortonormalak.

5. BANACHEN ESPAZIOAK ETA Lp ESPAZIOAK: Espazio normatua. Lp espazioak. Hölderren eta Minkowskiren desberdintzak. Lp-ren osotasuna. Eragile linealak: jarraitasuna eta bornaketa.





Gai bakoitzeko, eduki teorikoari dagozkien problemak eta galdera praktikoak garatzen dira.

Eduki teorikoa klase magistraletan landuko dira Bibliografian aipatzen diren erreferentziak jarraituz. Klase hauek ordu praktikoekin osatuko dira, non ikasleei ariketak ebaztea proposatuko zaien, klase magistraletan emandakoa oinarritzat hartuz.



Mintegietan aldez aurretik emandako ariketa eta kuestioak landuko dira bertan eztabaidatzeko. Lan hau bakarka edo taldekoa izan daiteke.



Taldearen ezaugarrien arabera, ERAGIN metodologia erabil daiteke.

• Ebaluazio Jarraituaren Sistema
• Azken Ebaluazioaren Sistema
• Kalifikazioko tresnak eta ehunekoak:
  • Ikusi argibideak (%): 100

Idatzizko azterketa: %65 eta %100en artean; beste lanetan lortutako notak kontuan izateko, azterketa honetan 4ko nota minimo bat atera behar da (hamarren gainean).



Lanen ebaluazioa eta mintegietan parte hartzea, %35era arte.



Ikasleren batek ebaluazio jarraituari uko eginez gero, ohiko deialdiko ebaluazioa hamar puntu baliod duen azterketaren bidez egingo da.



ARGIBIDEAK: Eragin motako metodologia aktiboak ezarriz gero, irakasleak ekintza bakoitzak duen balioa azken notan jakinaraziko du Ikaslearen gidan.

Ezohiko deialdia: deialdi honetako ebaluazioan irakasgairen temario guztia sartuko da idatziko azterketa batean. Azterketak 10 puntu balioko du eta ez dira gordeko ikasturtean zehar ohiko deialdirako egindako lanak.

E-gela plataformako gela virtuala.

Oinarrizko bibliografia

J. A. Facenda y F. J. Freniche, Integración de funciones de varias variables, Pirámide, Madrid, 2002.

A. García y Mª J. Muñoz Bouzo, Espacios de Hilbert y Análisis de Fourier: los primeros pasos, Ed. Sanz y Torres, Madrid, 2012.

M. De Guzman y R. Rubio, Integración: teoría y técnicas, Alhambra, Madrid, 1979.

R. Wheeden y A. Zygmund, Measure and integral, Marcel Dekker, 1977.

Gehiago sakontzeko bibliografia

H. Brezis, Análisis Funcional, Alianza, Madrid, 1984.
G. B. Folland, Real Analysis, John-Wiley-Interscience, New York, 1984.
H. L. Royden, Real Analysis, Macmillan, New York, 1963.
W. Rudin, Análisis real y complejo, Alhambra, Madrid, 1979.
T. Tao, An introduction to Measure Theory, American Mathematical Society, 2011.

Aldizkariak

Web helbideak

https://terrytao.wordpress.com/category/teaching/245a-real-analysis/
http://ocw.pucv.cl/cursos-1/teoria-de-la-medida-e-integracion
http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-125-measure-and-integration-fall-2003/