Irakasgai honetan eraztun trukakorraren egitura aljebraikoa aztertzen da, horretatik eratortzen diren beste batzuekin batera: aljebrak eta moduluak, alegia. Egitura horien propietate nagusiak ikusten dira, batez ere faktorizazioaren inguruko gaietan zentratuz. Horrela, faktorizazio bakarreko domeinuek garrantzi berezia izango dute eta, horien artean, gorputzen gaineko polinomioen eraztunak bereziki. Bestalde, aplikazioak ere ikusiko dira aljebraren beste alor batzuetan, gehienbat ideal nagusietako domeinuen gaineko moduluen kasuan.



Irakasgai honek modulu bat osatzen du "Egitura Aljebraikoak" eta "Ekuazio Aljebraikoak" irakasgaiekin batera. Irakasgai horietan aljebra abstraktuaren oinarriak garatzen dira eta hainbat aplikazio ere jorratzen dira. Ikasleak aljebraren oinarrizko teknikak bereganatuko ditu, matematikaren beste alor batzuetan erabili ahalko dituenak eta utziko diotenak, nahi izanez gero, aljebran gehiago sakontzen laugarren mailako hautazko irakasgaien bitartez.

GAITASUN ESPEZIFIKOAK



M01CM04 Eraztun-teoriaren eta gorputz-teoriaren oinarrizko kontzeptuak (azpieraztunak, idealak, zatidurak, homomorfismoak, karakteristika, zatikien gorputzak...) ezagutzea.



M01CM05 Indeterminatu bateko edo anitzeko polinomioen zatigarritasunaren propietateak ezagutzea eta, bereziki, irreduzibilitaterako irizpideak aplikatzen jakitea.



M01CM06 Gröbnerren oinarriak eraikitzen jakitea, indeterminatu anitzeko polinomioen idealetarako. Oinarri horiek aplikatzen jakitea, emandako polinomio bat ideal baten barruan dagoen erabakitzeko, edo indeterminatuak eliminatzeko ekuazio polinomikoen sistemetan.



M01CM07 Eraztun trukakorren mota nagusiak (domeinuak, faktorizazio bakarrekoak, euklidearrak eta ideal nagusietakoak) eta haien arteko erlazioak ezagutzea.



M01CM08 Eraztunen gaineko moduluen teoriaren oinarrizko kontzeptuak ezagutzea.



M01CM09 Egitura-teorema ezagutzea ideal nagusietako domeinuen gaineko modulu finituki sortuetarako, eta baita horren aplikazioak ere (Jordanen forma kanonikoa eta Smithen forma).





IKASTEAREN EMAITZAK



Eraztun trukakorren inguruko oinarrizko kontzeptuak ezagutzea, bereziki, indeterminatu bateko edo anitzeko polinomioen eraztunen kasuan.



Moduluen propietate nagusiak ezagutzea, eta horien artean, ideal nagusietako domeinuen gaineko modulu finituki sortuen egitura-teorema. Teorema horren aplikazioak ezagutu eta gai izan adibide zehatzak lantzeko: Smithen forma normala, talde abeldar finituki sortuak, endomorfismoen forma kanonikoa.

1. ERAZTUNEI BURUZKO OROKORTASUNAK: Eraztunak eta azpieraztunak. Idealak eta zatidura-eraztunak. Homomorfismoak eta isomorfismoak.



2. ZATIGARRITASUNA ETA FAKTORIZAZIOA ERAZTUNETAN: Faktorizazio bakarreko domeinuak. Ideal nagusietako domeinuak. Domeinu euklidearrak. Aplikazioak: aritmetikaren teorema klasiko batzuk.



3. INDETERMINATU ANITZEKO POLINOMIOAK: Gaussen lema. Faktorizazioa polinomioen eraztunetan. Irreduzibilitaterako irizpideak.



4. GRÖBNERREN OINARRIAK: Ordena monomialak polinomioen eraztunetan eta zatiketaren algoritmoa. Hilberten oinarriaren teorema. Gröbnerren oinarrien propietate nagusiak. Buchbergerren algoritmoa. Aplikazioak.



5. MODULUAK: Moduluak, oinarrizko propietateak eta adibideak. Azpimoduluak eta zatidura-moduluak. Modulu-homomorfismoak. Batura zuzenak. Modulu askeak.



6. MODULUAK IDEAL NAGUSIETAKO DOMEINUEN GAINEAN: Moduluak ideal nagusietako domeinuen gainean: anulatzaileak eta deskonposizio primarioa. Egitura-teorema ideal nagusietako domeinuen gaineko moduluetarako. Matrizeak ideal nagusietako domeinuen gainean: Smithen forma normala. Aplikazioak: ekuazio lineal diofantikoen sistemak, talde abeldar finituki sortuak, forma kanoniko arrazionala eta Jordanen forma kanonikoa.

Eduki teorikoa eskola magistraletan azalduko da, nahitaez erabili beharreko materialean eta bibliografiako erreferentzietan oinarrituz. Eskola magistral horiez gain, problema-eskolak (ikasgelako praktikak) ere egongo dira. Horietan ikasleei ariketak ebazteko proposatuko zaie, eskola teorikoetan ikasitakoa aplikatuz. Bestalde, mintegietan irakasgai honetan esanguratsuak diren ariketak eta adibideak jorratuko dira, ikasleei aldez aurretik helaraziko zaizkienak. Horrela, aukera izango dute ariketa horiek behar bezala lantzeko. Mintegiaren egunean hausnarketa eta eztabaida bultzatuko dira aurkeztutako soluzioen inguruan. Azkenik, taldeka ebazteko problemak ere proposatuko dira, talde-lana bultzatzeko asmoz. Horien soluzioak idatzita emango dira, irakasleak zuzentzeko.



Ikaslearen lanaren zati handi bat pertsonala da. Irakasleek une oro orientatuko dute lan egitea eta erregulartasunez eta dedikazioz egitea sustatu. Era berean, tutoretzak erabiltzera animatuko da.Bertan, irakasgaian agertzen zaien edozein zalantza edo zailtasun argitu dezakete.

• Ebaluazio Jarraituaren Sistema
• Azken Ebaluazioaren Sistema
• Kalifikazioko tresnak eta ehunekoak:
  • Ikusi ORIENTAZIOAK (%): 100

OHIKO DEIALDIA



Azken nota ondorengo kalifikazioen batezbesteko haztatua izango da:



O1. Azken azterketa idatzia: %70

O2. Azterketa partzial idatzia: %10

O3. Banakako problemak edo lanak (mintegietako parte-hartzea barne): %10

O4. Taldekako lanak: %10



Ikasgaia gainditu ahal izateko, idatzizko azken azterketan gutxienez 4,5 puntu lortu behar dira 10en gainean.



Ebaluazio finala irakasgai osoaren asterketaren bidez egingo da. Pisua % 100.



Derrigorrezkoa da mintegietara etortzea, ezinbesteko arrazoiren batengatik ez bada. Kasu horretan, behar den dokumentuaren bidez egiaztatu beharko da arrazoi hori.

EZOHIKO DEIALDIA



Ikasle baten kalifikazioa kalkulatzean bi egoera hauek bereizten ditugu:



A EGOERA. Ikaslearen ohiko deialdiko O2, O3 eta O4 ataletako noten batezbesteko ez-haztatua 5 baino handiago edo berdin denean.

B EGOERA. Gainerako ikasleak.



Ikaslea A egoeran badago, orduan ezohiko deialdiaren nota kalifikazio hauen batezbesteko haztatua izango da:



Ezohiko deialdiko azterketa idatzia: %70

Ohiko deialdiko O2, O3 eta O4 atalak: %10 atal bakoitzak



Kasu horretan, beharrezkoa izango da gutxienez 4,5 puntu izatea ezohiko deialdiko azterketa idatzian.



Bestalde, B egoeran dauden ikasleen kasuan, notaren %100 ezohiko deialdiko azterketari dagokio. Beraz, gutxienez 5 puntu lortu beharko dira azterketa horretan.

Ikasgelako apunteak. Ariketa-orriak eta proposatutako problema gehigarriak.

Oinarrizko bibliografia

- M.F. ATIYAH, I.G. MACDONALD. Introducción al Álgebra Conmutativa. Reverté, 1973.



- P. CAMERON. Introduction to algebra. Oxford University Press, segunda edición, 2008.



- D. COX, J. LITTLE, D. O'SHEA. Ideals, Varieties and Algorithms. Springer, segunda edición, 1997.

Gehiago sakontzeko bibliografia

- N. JACOBSON. Basic Algebra. W.H. Freeman and Company, 1985.

- S. LANG. Undergraduate algebra. Springer, tercera edición, 2005.

- M. REID. Undergraduate Conmutative Algebra. Cambridge University Press, 1996.

- A. VERA. Introducción al Álgebra. (2 volúmenes). AVL, 1986.