Irakasgai honen helburu nagusia Galoisen hedadurak diren gorputz hedadura finituak ikastea da. Honela polinomio baten Galoisen talde ezagutuko ditugu. Talde hau lortuko dugu kasu berezi batzuetan eta ulertuko dugu ze lotura duen talde honek polinomioaren ebazgarritasunarekin. Aldez aurretik, gorputz hedadurei buruzko teoria orokorra, hedadura aljebraikoak eta polinomio baten deskonposizio gorputzak ikusiko ditugu.



Irakasgai hau hurrengo moduluari dagokio: Egitura Aljebraikoak (2. Maila)+ Aljebra Trukakorra(3. Maila)+Ekuazio aljebraikoak(3.Maila). Modulo honek Aljebra Abastraktuaren oinarriak eta aplikazio nagusiak lantzen ditu. Ikasleak modulo honetako oinarrizko tresnak eskuratuko ditu matematikaren beste arlo batzuetan erabilgarriak izango dituenak. Gainera, tekinak hauei esker, laugarren mailako aljebrako irakasgaietan aurrera egiteko prest izango da.

GAITASUN BEREZIAK



M01CM10: Gorputz hedadura errezenetan eragiketak egiten jakitea.

M01CM11: Hedadura normal eta Galoisen hedaduraren propietateak ezagutzea eta hedadura errezenetan Galoisen taldea kalkulatzen jakitea.

M01CM12: Galoisen teoriaren oinarrizko teorema erabiliz hedadura errezenen tarteko azpigorputzak kalkulatzen jakitea.

M01CM13: Erradikalen bitartez ebazgarriak diren ekuazio aljebraikoak bereizten jakitea.



EMAITZAK:



Polinomio baten Galoisen taldea ezagutzea eta kasu errezenetan kalkulatzen jakitea. Ulertu talde honek duen (edo ez duen) erlazioa polinomioaren erradikalen bitarteko ebazgarritasunarekin.

1. EKUAZIO ALJEBRAIKOEN EBAZGARRITASUNAREN ARAZOA: Zer da ekuazio aljebraiko bat ebaztea?. Maila lau baino txikiagoa edo berdina duten ekuazio aljebraikoen ebazpena erradikalak erabiliz.

2. GORPUTZ HEDADURAK: Gorputz hedadurak. Elementu aljebraikoak eta elementu traszendenteak. Hedadura aljebraikoak eta hedadura finituak. Polinomio baten deskonposizio gorputza: existentzia eta bakartasuna.

3. HEDADURA NORMALAK ETA HEDADURA BAKUNAK: Hedadura normalak. Hedadura finitu eta normalen karakterizazioa. Hedadura bakunak: Jatorrizko elementuaren teorema zero karakteristika duten hedadurentzako.

4. GALOISEN HEDADURAK: Gorputz baten automorfismoak. Galoisen hedadurak eta Galoisen taldea. Galoisen teoriaren Oinarrizko teorema. Aplikazioak (Gorputz finituak, Algebraren oinarrizko teorema).

5. EKUAZIO ALJEBRAIKOEN EBAZGARRITASUNA: Talde ebazgarriak. Galoisen teorema ekuazio aljebraikoen ebazgarritasunari buruzkoa erradikalak erabiliz.

Irakasgaiaren teoria klase magistraletan emango da. Teoriako apunteak osatzeko Bibliografian aipatutako liburuak erabiliko ditugu. Klase magistralak ariketa saioekin osatuko dira, bertan ikasleari zenbait ariketa proposatuko zaizkio. Ariketa hauen bitartez ikasleak teoriako klaseetan lortutako ezagupenak zakonduko dira. Mintegietan irakasgaiaren oinarrizko elementuak landuko dira, ariketak irakasleari ezagutaraziko zaizkio aldez aurretik lan egin dezan. Mintegian irakasleak izan dituen arazoak aztertuko dira.



Ikasleak partu hartu beharko dute problemen ebazpenean.

• Ebaluazio Jarraituaren Sistema
• Azken Ebaluazioaren Sistema
• Kalifikazioko tresnak eta ehunekoak:
  • Ikusi ORIENTAZIOAK (%): 100

EBALUAZIO-SISTEMA. Bi idatzizko proba egongo dira, bat partziala, eta bestea finala. Azken notan ikasle bakoitzaren interesa eta jarrera kontuan hartuko dira.

- %50-80 Azterketa finala, idatzizko azterketa finala izan daieteke edota idatzizko azterketa ariketentzako eta ahozkoa teoriarako.

- %20-50 Idatzizko azterketa partziala, beste ariketa mota batzuk (bakarkakoa edo taldekoa) idatzitakoa edo ahozkoa izan ahal dena.

Irakasgaia gainditu ahal izateko, ezinbestekoa da azterketa finalean gutxienez 4,5 puntu ateratzea 10ren gainean.



Ebaluazio finala irakasgai osoaren asterketaren bidez egingo da. Pisua % 100.

Ez ohizko deialdian (Uztaila), ikasleen kalifikazioa idatzizko azterketan lortutako

nota izango da.

Oinarrizko bibliografia

1.- CLARK, A. Elementos de Algebra Abstracta. Alhambra, Madrid, 1979.

2.- De VIOLA-PRIOLI. A.M.; VIOLA-PRIOLI, J.E. Teoría de Cuerpos y Teoría de Galois. Reverté, Barcelona, 2006.

3.- NAVARRO, G. Un curso de Algebra. Universidad de Valencia, 2002.

4.- STEWART, I. Galois Theory. Chapman & Hall, 2nd ed., London, 1989.

5.-VERA LÓPEZ, A. Introducción al Algebra, II. Ellacuría, Bilbao, 1986.

6.- VERA, A.; VERA, J. Problemas de Algebra, I: Teorías de Grupos y de Cuerpos. AVL, 1995.

Gehiago sakontzeko bibliografia

1.-GARLING, D. J. H. A course in Galois Theory. Cambridge University Press, Cambridge, 1986.
2.-HUNGERFORD, T.W. Algebra. Springer-Verlag, New York, 1984.
3.-LANG, S. Algebra. 3rd. ed. Springer, 2005.
4.-MORANDI, P. Field and Galois Theory, Springer, New York, 1996.
5.-VERA, A.; ARREGI, J.M. Problemas de Algebra, II: Teorías de Grupos, Cuerpos y Anillos. AVL, 1989.

Web helbideak

http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Galois.html
http://mathworld.wolfram.com/topics/AlgebraicEquations.html