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Se completan los conocimientos sobre teoría de grupos estudiados en segundo curso (Estructuras Algebraicas) y se desarrolla una introducción a la teoría de la representación y la teoría de caracteres complejos, teniendo como objetivo final la demostración del teorema p^aq^b de Burnside.



Esta asignatura profundiza en el campo del álgebra, cuyos fundamentos han quedado establecidos en el módulo Estructuras algebraicas (2º) + Algebra conmutativa (3º) + Ecuaciones Algebraicas (3º). También está estrechamente relacionada con el módulo Álgebra lineal y geometría. Hay importantes aplicaciones en teoría de códigos, tema que se trata en la asignatura Códigos y criptografía.

COMPETENCIAS



M11CM01 - Comprender el concepto de acción de un grupo sobre un conjunto y el concepto equivalente de representación por permutaciones.

M11CM02 - Conocer los teoremas de Sylow y saber aplicarlos para demostrar la resolubilidad de algunos grupos y clasificar grupos de orden bajo.

M11CM03 - Comprender la equivalencia entre los conceptos de representación de un grupo y de acción sobre un espacio vectorial.

M11CM04 - Saber definir y reconocer algunas representaciones de grupos sencillas.

M11CM05 - Entender el teorema de Maschke y su papel en la teoría de la representación.

M11CM06 - Conocer qué es un carácter y sus principales propiedades.

M11CM07 - Saber calcular la tabla de caracteres de algunos grupos sencillos.

M11CM08 - Entender el teorema de Burnside sobre la resolubilidad de los grupos de orden p^aq^b.



RESULTADOS DE APRENDIZAJE



- Conocer los conceptos y aplicaciones relacionados con las acciones de un grupo sobre un conjunto.

- Conocer los Teoremas de Sylow y sus aplicaciones (clasificación de grupos de orden bajo y criterios de no simplicidad).

- Saber definir y reconocer algunas representaciones de grupos sencillas.

- Saber calcular la tabla de caracteres de algunos grupos sencillos.

1. ACCIONES DE GRUPOS Y PRODUCTOS SEMIDIRECTOS: Acciones y representaciones por permutaciones. Órbitas y estabilizadores. Clases de conjugación y centralizadores. Acciones de grupos sobre grupos y productos semidirectos.

2. LOS TEOREMAS DE SYLOW: Subgrupos de Sylow. Los teoremas de Sylow. Aplicaciones: criterios de no simplicidad y clasificación de algunos grupos de orden bajo.

3. GRUPOS RESOLUBLES: Conmutadores de elementos y de subgrupos. El subgrupo derivado y la serie derivada. Grupos resolubles. Subgrupos normales minimales en grupos resolubles finitos.

4. REPRESENTACIONES DE GRUPOS: La idea de representación. Representaciones de grupos. Representaciones irreducibles y lema de Schur. El teorema de Maschke.

5. CARACTERES: Carácter de una representación. Propiedades. Relaciones de ortogonalidad. El espacio de las funciones de clase. Núcleo y centro de un carácter.

6. EL TEOREMA p^aq^b DE BURNSIDE: Enteros algebraicos. Divisibilidad de los grados de los caracteres irreducibles. El teorema p^aq^b de Burnside.

El contenido teórico se expondrá en clases magistrales siguiendo referencias básicas que figuran en la bibliografía. Estas clases magistrales se complementarán con clases de problemas (prácticas de aula) en los que se propondrá a los alumnos resolver cuestiones en las que se aplicarán los conocimientos adquiridos en las clases teóricas. En los seminarios se desarrollarán cuestiones y ejemplos representativos del contenido de la asignatura, que generalmente habrán sido facilitados con anterioridad a los alumnos para trabajarlos y motiven la posterior reflexión y discusión en la sesión dedicada a ello. Los alumnos deben participar activamente en clase resolviendo los problemas planteados. También habrá clases en las que los alumnos presentarán problemas o trabajos realizados en grupos.

• Ebaluazio Jarraituaren Sistema
• Azken Ebaluazioaren Sistema
• Kalifikazioko tresnak eta ehunekoak:
  • Garatu beharreko proba idatzia (%): 70
  • Praktikak egitea (ariketak, kasuak edo buruketak) (%): 15
  • alde lanak (arazoen ebazpenak, proiektuen diseinuak) (%): 15

ALUMNAS/OS QUE SIGAN LA EVALUACIÓN CONTINUA



La nota final se obtendrá realizando la media ponderada de las calificaciones obtenidas en las siguientes tareas:



T1. Problemas o trabajos individuales a lo largo de todo el curso (con exposición en clase): 15%. Algunas de estas tareas se expondrán en las clases de problemas y otras en los seminarios. La asistencia a los seminarios es obligatoria, salvo causa justificada, que se deberá demostrar con el correspondiente documento.



T2. Problemas o trabajos en grupo a lo largo de todo el curso (con exposición en clase o en el despacho de alguno de los profesores): 15%.



T3. Prueba escrita intermedia (aprox. en la semana 7 u 8 del cuatrimestre) sobre la materia impartida hasta entonces: 20%.



T4. Examen final de la convocatoria ordinaria: 50%. Habrá un examen escrito de ejercicios y un examen de teoría que podrá ser oral o escrito. La nota mínima que es necesario obtener en este examen para poder aprobar la asignatura es de 4,5 puntos sobre 10.



ALUMNAS/OS QUE RENUNCIEN A LA EVALUACIÓN CONTINUA



El 100% de la nota corresponderá al examen escrito de la convocatoria ordinaria. Por lo tanto, será necesario tener una nota mayor o igual que 5 en dicho examen para aprobar la asignatura.

En la convocatoria extraordinaria, se realizará un examen escrito y la calificación se calculará de la manera que se indica a continuación.



ALUMNAS/OS QUE HAYAN SEGUIDO LA EVALUACIÓN CONTINUA



La nota asignada será la mayor de entre las dos siguientes:



* Media ponderada de las tareas T1, T2, T3 y T4 indicadas en el bloque anterior, donde T4 se sustituye por el examen escrito de la convocatoria extraordinaria. En este caso, la nota mínima que es necesario obtener en dicho examen para poder aprobar la asignatura es de 4,5 puntos sobre 10.



* Nota del examen escrito de la convocatoria extraordinaria, que incluirá ejercicios y teoría. En este caso, será necesario tener una nota mayor o igual que 5 en dicho examen para aprobar la asignatura.



ALUMNAS/OS QUE HAYAN RENUNCIADO A LA EVALUACIÓN CONTINUA



El 100% de la nota corresponderá al examen escrito de la convocatoria extraordinaria. Por lo tanto, será necesario tener una nota mayor o igual que 5 en dicho examen para aprobar la asignatura.

Oinarrizko bibliografia

B. HUPPERT, Endliche gruppen I. Springer-Verlag, Berlín, 1967.

B. HUPPERT, Character Theory of Finite Groups. Walter de Gryter, Berlín, New York, 1998.

I.M. ISAACS, Character Theory of Finite Groups. Dover Publications, New York, 1994.

I.M. ISAACS, Finite Group Theory. American Mathematical Society, Providence (Rhode Island), 2008.

W. LEDERMANN, Introduction to Group Characters. Cambridge University Press, 2nd ed., Cambridge, 1987.

G. NAVARRO, Un curso de álgebra, Universidad de Valencia, 2002.

J. ROSE, A Course on Group Theory. Dover Publications, New York, 1994.

Gehiago sakontzeko bibliografia

J.L. ALPERIN, R.B. BELL, Groups and Representations. Springer, Berlin-New York, 1995.
L. DORNHOFF, Group Representation Theory, Part A. Marcel Dekker, New York, 1971.
L.C. GROVE, Groups and Characters. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1997.
D.J.S. ROBINSON, A Course in the Theory of Groups, 2nd ed. Springer, New York, 1996.