Irakasgai honetan fisika matematikoko deribatu partzialetako oinarrizko ekuazioak aztertuko dira: lehen ordenako ekuazio batzuk, uhinen ekuazioa, beroaren ekuazioa eta potentzialaren ekuazioa. Irakasgai honetan deribatu partzialetako ekuazioen ebazpenerako oinarrizko kontzeptuak eta teknika zehatzak garatuko dira, beraien aplikazio fisiko eta geometrikoekin batera. Irakasgai honekin ikasleak Ekuazio Diferentzialak irakasgaian lortutako ezagutza osatu nahi da. Ekuazio Diferentzialen irakasgaia gainditzeaz gain, Kalkulu diferentziala eta integrala I eta II, eta Neurria eta Integrazioa irakasgaiak ikasi izana gomendatzen da.

M04CM03 Ekuazio diferentzialei buruzko emaitzen frogapen zorrotzak ezagutu eta proposatutako emaitzen frogapen berriak asmatu.

M04CM04 Ekuazio diferentzial batzuen ebazpenerako metodo analitiko, grafiko eta konputazionalak erabili.

M04CM06 Geometriako, Fisikako eta mundu fisikoko problemak ekuazio diferentzialekin erlazionatu.

M04CM08 Ekuazio diferentzialak ebatzi eta lengoaia matematiko egokiaren bidez ebazpen metodoak azaldu ahoz zein idatziz.

M04CM09 Deribatu partzialetako ekuazioen soluzioen esanahi ezberdinak ezagutu eta soluzioak ebazteko metodo desberdinak aplikatu.

M04CM10 Problema errealak ekuazio diferentzial arruntetan edo deribatu partzialetako ekuazioetan bihurtu.

M04CM11 Puntu erregular eta singularren ingurune bateko ekuazio diferentzialen portaera eta oreka puntuen egonkortasuna ulertu.



IKASTEAREN EMAITZAK



Deribatu partzialetako ekuazioak ebazteko metodo nagusiak aplikatu.

Deribatu partzialetako ekuazio linealak ebatzi.

Problema erreal batzuk ekuazio diferentzialen bidez adierazi.

Deribatu partzialetako ekuazioen soluzioei buruzko informazio kualitatiboa lortzen jakin.

1. SARRERA. Zer dira DPEak? Terminologia. Aldagai aldaketa. Dibergentzia, gradientea, dibergentziaren teorema eta Green-en formularen errepasoa. Fisika-Matematikako ekuazioen adibideak: beroaren ekuazioa, uhin, potentzial, Schrödinger, Cauchy-Riemann eta Navier-Stokes-en ekuazioak. Cauchyren problema. Hasierako baldintzak eta mugalde baldintzak. Lehen mailako ekuazioen ebazpena: Karakteristiken metodoa. Bigarren mailako ekuazioen sailkapena. Cauchy-Kowalevsky-ren teorema. Ondo planteaturiko problemak.



2. DIMENTSIO BAKARREKO UHINEN EKUAZIOA. Ekuazioa ondorioztatu. Hari bibratzaile infinitua: D’Alambert-en soluzioa. Oinarrizko soluzioak. Menpekotasun eta eragin eremuak. Ekuazio ez-homogeneoa. Soluzio orokortu edo ahulak. Uhinak zuzenerdi batean. Uhinak hari finitu batean. Energiaren mantentzea.



3. UHINAREN EKUAZIOA ZUZEN BATEAN. Ekuazioa ondorioztatu. Soluzio auto-antzekoak. Distribuzioak eta konboluzioa. Soluzio fundamentalak. Greenen funtzioak. Hasierako balioen problemaren ebazpena. Soluzioaren propietate batzuk. Bakartasuna. Ekuazio ez-homogeneoa: Duhamel-en metodoa. Beroaren ekuazioa zilindro batean.



4. ALDAGAIEN BANANTZE-METODOA. Beroaren ekuazioa ebatzi hari finitu batean aldagaien banatze metodoa erabiliz. Funtzioen konbergentziari buruzko teorema batzuen errepasoa. Weierstrass-en kriterioa. Fourier-en seriea: Fourierren koefizienteak, Dirichlet-en nukleoa, konbergentziako emaitzak, Bessel-en desberdintza eta konbergentzia uniformea. Konbergentzia hasierako datura. Beste mugalde baldintza batzuk. Stur-Liouvilleren problema. Beroaren ekuazio ez-homogeneoaren ebazpena hari finitu batean aldagaien banantze-metodoa erabiliz. Aldagaien banantze-metodoa beste eremu batzuetan.



5. POTENTZIALAREN EKUAZIOA PLANOAN. Dirichleten problema zirkuluan, eraztunean, bola baten kanpoaldean eta planoerdian. Poisson-en nukleoak. Mugarainoko jarraitutasuna. Funtzio harmoniko batzuen propietate batzuk. Maximoaren printzipioa. Dirichleten problema errektangulo batean. Neumann-en problema.

Eduki teorikoa klase magistraletan azalduko da Bibliografian agertzen diren oinarrizko erreferentziak eta nahitaezko materialak jarraituz. Klase magistralak ariketa-klaseekin (gela-praktikekin) osatuko dira; klase horietan ikasleei proposatuko zaie teoriako klaseetan ikasitakoa problemak ebazteko erabiltzea.

Mintegietan ikasleek aurkeztu eta azalduko dituzte, idatziz edo ahoz, irakasgaiaren galdera edo adibide adierazgarriak, irakasleak mintegia baino lehen, oro har, ikasleei proposatutakoak; horrela, ikasleek mintegi egunerako pentsatuta izanez gero, galderak hobeto eztabaidatuko dituzte eta ondorio egokiak aterako dituzte.

• Azken Ebaluazioaren Sistema
• Kalifikazioko tresnak eta ehunekoak:
  • Ikusi argibideak (%): 100

Azterketa idatziak eta ariketak entregatzea.



Azterketa idatzia: notaren %80a



Lanen ebaluazioa: notaren %20a



Bi noten batazbestekoa egiteko azterketa idatzian gutxienez 4 bat atera behar da.

Ez-ohiko deialdian ohiko deialdiko ebaluazio irizpide berdinak erabiliko dira. Azterketa idatziaren egunean ikasleek aurreko deialdiren baten entregatu ez dituzten edo irakasgaiaren zati hau gainditu ez dutenek ariketak entregatuko dituzte.

eGela plataforma.

Oinarrizko bibliografia

S. J. FARLOW, Partial Differenial Equations for Scientists & Engineers, Ed. John Wiley & Sons,1982.

F. JOHN, Partial Differential Equations, Ed. Springer-Verlag, New York, 1981.

J. D. LOGAN, Applied Partial Differential Equations, Ed. Springer-Verlag,1998.

I. PERAL, Ecuaciones en Derivadas Parciales, Ed. Addison-Wesley/UAM, 1995.

H. F. WEINBERGER, Curso de Ecuaciones en Derivadas Parciales, Ed. Reverté, 1979.

W. STRAUSS, Partial Differential Equations: An Introduction, 2nd Edition, Wiley, 2008.

Gehiago sakontzeko bibliografia

J. OCKENDON, S. HOWISON, A. LACEY, A. MOVCHAN, Applied Partial Differential Equations, Oxford Texts in Applied and Engineering Mathematics, 2003.
L. C. EVANS, Partial Differential Equations, Graduate Studies in Mathematics, American Mathematical Society, 1998.
R. SEELEY, Introducción a las Series e Integrales de Fourier, Ed. Reverté, 1970.
E. A. GONZÁLEZ-VELASCO, Fourier Analysis and Boundary Value Problems, Ed. Academic Press, 1995.

Web helbideak

http://www.ehu.es/luis.escauriaza/