XLI Olimpiada Matemática Española
Fase nacional 2005
(Santiago de Compostela)

Primera sesión (21 de
marzo)

1.-
Sean a y b enteros. Demostrar que la ecuación

admite a lo sumo una solución
entera.

2.- ¿Es
posible colorear los puntos del plano cartesiano Oxy de coordenadas enteras con tres
colores, de tal modo que cada color aparezca infinitas veces en infinitas rectas
paralelas al eje  Ox y  tres puntos cualesquiera, cada uno de
distinto color, no estén alineados? Justificar la contestación.

3.-
Diremos que un triángulo es multiplicativo si el producto de las longitudes de
dos de sus lados es igual a la longitud del tercer lado.

Sea ABC...XYZ un polígono regular
de n lados con todos sus lados de longitud 1. Las n – 3  diagonales que salen del vértice
A dividen al triángulo ZAB en n – 2  triángulos más pequeños. Probar que cada
uno de esos triángulos es multiplicativo.

Segunda sesión (22 de
marzo)

4.-
Probar que para todo entero positivo
n, la expresión decimal de

es periódica
mixta.

5.- Sean
números reales
cualesquiera.  Probar
que:

mín

6.- En un
triángulo de lados a, b, c el lado a es la media aritmética de b y c. Probar:

a) 0º ≤ A ≤ 60º.

b) La altura relativa al lado a es tres veces el inradio r.

c) La distancia del circuncentro al lado
a es R – r , siendo R el circunradio.

No está permitido el uso de
calculadoras.

Cada problema se puntúa
sobre 7 puntos.

El tiempo de cada
sesión es de 3,5 horas.

Soluciones en formato
Microsoft Word 2000 (Comprimido .zip, 88 Kb)

Ganadores de la
Olimpiada

Medallas de
oro

Miguel Teixidó Román

Elisa Lorenzo García

Javier de la Nuez González

Anas El Barkani

Pau Labarta Bajo

Hugo Fernández Hervás

Medallas de
plata

Marc Viñals
Pérez

Alberto Camacho
Martínez

Nuria Gómez
González

Abel Molina
Prieto

María Calvo
Cervera

Gabriel
Poussif

Víctor Martínez
Martínez

Ignacio Somoza
Sotillos

Ricardo Martín
Brualla

Zhuoli
Chen

Lander Ramos
Garrido

Marc Sabaté
Vidales

Medallas de
bronce

Diego Gimeno
Sanz

José Carpio
Pinedo

Ding Ru
Cai

Guillermo Vicente
García

Kristina Krasimirova
Vladimirova

Alberto Soria
Barroso

Laurent Dietrich
Langkemper

Alberto Alejandro Merino
Madrid

Javier Fresán
Leal

Álvaro Morante
Amat

Mikael Rodríguez
Chala

Miguel Ángel Asensio
Álvarez

Andrés Parrilla
Gómez

Alba Hiniesta Lozano de las
Heras

Jorge Ruiz
Navarro

Antonio José Berenguer
Verdú

Jaime Bonnín
Roca

Adrián Coso
Rodríguez

Breve estudio de los resultados

Los problemas se calificaron sobre 7 puntos,
Las medias y desviaciones de cada problema fueron:

P1

P2

P3

P4

P5

P6

Medias

3,03

0,64

1,25

0,80

0,99

0,69

Desviaciones

3,14

1,42

1,94

1,72

2,04

1,29

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Actualizado 26 marzo
2005