Programa específico: DFG-AEI 2023.

Convocatoria bilateral entre la Agencia Estatal de Investigación y la Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG, Fundación Alemana para la Investigación) en la que se fomenta la cooperación germano-española en todas las áreas de la investigación científica y tecnológica.

Proyecto  PCI2024-155053-2 financiado por MICIU/AEI /10.13039/501100011033 y Cofinanciado por la Unión Europea

Código: PCI2024-155053-2

UPV/EHU: Beneficiario

IP UPV/EHU: Montserrat Casals Ruiz

Inicio del proyecto: 31/12/2024
Fin del proyecto: 30/12/2027

Breve descripción:

Existen dos enfoques fundamentalmente distintos para analizar la estructura de un grupo infinito, finitamente generado. Una opción es observar al grupo desde arriba: sentado en un punto a una distancia infinita, el grupo parece un objeto continuo y por lo tanto es susceptible de ser estudiado con métodos topológicos y geométricos. Esta estrategia, iniciada por Gromov en los años 80 con la introducción de los conos asintóticos, se ha convertido en una herramienta fundamental para abordar cuestiones relacionadas con la rigidez cuasi-isométrica y otros aspectos de la geometría de gran escala de los grupos. En el mismo periodo de tiempo, ideas similares impulsaron la teoría de Rips sobre las acciones de grupos en árboles reales, que finalmente condujeron a los grandes avances de Sela en la comprensión de la teoría elemental de los grupos hiperbólicos, así como la estructura de sus automorfismos y homomorfismos.

Otra opción es observar al grupo desde abajo: intentar obtener información sobre el grupo a partir de las sombras que proyecta en sus cocientes, particularmente los finitos. Ésta es la motivación fundamental que se esconde tras el problema terriblemente difícil de la rigidez profinita --- si un grupo está determinado por su cocientes finitos---, que solo ha comenzado a experimentar algunos avances recientemente, a pesar de haber sido planteado en el trabajo de Grothendieck en los años 70.

Nuestro proyecto usará ambas perspectivas para estudiar los grupos de clases de mapeo de superficies de tipo finito. Esta es una de las familias de grupos más estudiadas en matemáticas debido a su estructura inmensamente rica y complicada, y también por su relevancia en numerosas áreas de investigación: desde la topología de baja dimensión hasta la geometría compleja, y desde la teoría de grupos hasta la topología algebraica. Sin embargo, quedan abiertas muchas preguntas fundamentales sobre estos grupos: ¿Es su teoría elemental estable? ¿Son Kähler? ¿Son omnipotentes?

Como primer objetivo, desarrollaremos una versión de la teoría de Rips para acciones sobre árboles reales de dimensiones superiores, es decir, cubings reales. Los conos asintóticos de los grupos de clases de mapeo (así como de los RAAG y los grupos virtualmente especiales) son cubings reales, lo que hace que esta teoría sea un paso importante para abordar el estudio de la teoría de modelos de estos grupos.

En segundo lugar, pretendemos avanzar hacia la demostración de que los grupos de clases de mapeo no son Kähler. Esto se logrará explorando los tipos de isomorfismo de los subgrupos normales tanto de los grupos de Kähler como de los grupos de clases de mapeo.

Por último, investigaremos los cocientes de los grupos de clases de mapeo y los grupos de Kähler, con especial atención a los de tipo Burnside.

Esperamos que esto arroje luz sobre varias cuestiones relacionadas con las propiedades residuales de los grupos de clases de mapeo, en particular las relacionadas con la omnipotencia y la existencia de cocientes hiperbólicos no elementales

Nuestra experiencia combinada en grupos de clases de mapeo, cubings reales, geometría de Kähler, teoría de modelos y técnicas de cancelación pequeña nos sitúa en una posición privilegiada para hacer avances concretos y significativos en cada una de estas direcciones.