“Matematika Aurreratua” Industria Teknologiaren Ingeniaritza Graduko “M06 - Zientzia Aurreratuak” moduluaren barnean dagoen 2. mailako eta 1. lauhileko irakasgai bat da.



Bere edukiek 1. mailako “Kalkulua” eta “Aljebra” irakasgaietan ikasitako kontzeptu asko osatzen dute eta maila bereko eta hurrengo mailetako beste irakasgai batzuk ikasteko balio dute; adibidez, “Ekuazio Diferentzialetan Sakontzea”, ”Elektroteknia” eta “Automatika eta Kontrola”, besteak beste. Horretaz gain, software matematikoren erabilerari buruzko zati bat du, zati honen helburua ikasleak titulazioko beste irakasgai batzuetan erabili ahal izango duen esparru orokorreko erreminta bat maneiatzen irakastea izanik.



Irakasgai hau ikasitakoan, baliabide matematiko ezberdinen ezaguera eta ingeniarigaiak bere lanbidean erabili ahal izango dituen metodo desberdinak ikasteko gaitasuna lortuko dira.



1. mailako “Kalkulu” eta “Aljebra Lineala” irakasgaiak probetxuz aldez aurretik ikastea gomendagarria da, baita trigonometriaren oinarrizko kontzeptuak ezagutzea eta trebetasunaz erabiltzea ere.

Gaitasunak:



- Ingeniaritzako eremuan planteatzen diren problema matematikoak ebazteko ahalmena.



- Transformatu integralei, aldagai konplexuko funtzioei, ekuazio linealezko eta ez-linealezko sistemak ebazteko iterazio-metodoei eta ekuazio diferentzialei eta ekuazio diferentzialezko sistemei buruzko ezaguerak aplikatzeko trebetasuna.



Ikaskuntza-emaitzak:

Gaitasunak:



- Ingeniaritzako eremuan planteatzen diren problema matematiko asko ebazteko ahalmena.



- Zenbaki konplexu eta aldagai konplexuko funtzioei buruzko, transformatu integralei (Laplace eta Fourier) buruzko, ekuazio diferentzial arruntei buruzko eta ekuazio diferentzial arrunteen sistemei buruzko (hasierako balioen problemak), Fourier seriei buruzko eta ekuazio ez linealen ebazpenari buruzko ezaguerak aplikatzeko trebetasuna.



Ikaskuntza-emaitzak:



- Kalkulu sinbolikoa aplikatzeko eta ekuazio aljebraikoen edota ekuazio diferentzial linealen edo ez linealen bidez adierazitako ingeniaritzako problemak zenbakiz balioztatzeko abilezia.



- Aldagai konplexuaren eta Laplaceren eta Fourierren transformatuen maneiua, ingeniaritzako aplikazioetan.



- Ingeniaritzako problemekin elkartutako eta ekuazio aljebraikoen edota diferentzialen bidez adierazitako zenbakizko planteamendu konplexuak ordenagailuaren bidez ebazteko trebetasun konputazionala.

Irakasgai honetan zenbaki konplexu eta aldagai konplexuko funtzioen teoriari, transformatu integralei eta ekuazioen zenbakizko ebazpenari buruzko oinarrizko kontzeptuak ikasiko dira, ikasleari baliabide matematiko hauen erabilerari buruzko oinarrizko prestakuntza emateko asmoz, kontzeptu horiek aplikatzen diren beste irakasgai batzuei ekin ahal diezaien.



Irakasgaia hurrengo gaietan antolatzen dugu:



0- Ekuazio ez-linealen ebazpena.



1- Zenbaki konplexuak



2- Laplaceren Transformatua



3- Aldagai Konplexuko Funtzioak



4- Fourier Serieak



5- Fourier Transformatua





Ekuazio ez-linealen ebazpena (0 gaia) laborategiko praktiketan lan egiten dugu. Bisekzioa, Newton-Raphson eta Sekante zenbakizko metodoak Mathematicarekin programatuko ditugu.



1. gaian zenbaki konplexuen adierazpenak eta aljebra ikasten ditugu. 3. gaian, aldiz, aldagai konplexuko oinarrizko funtzioak eta bere teoriaren oinarrizo teoremak.



2. gaian Laplace transformatuen hainbat propietate ezberdin lan egiten ditugu. Baita Laplace transformatuak hasierako balioen problemak (askotan agertzen direla Ingeniaritzan) ebazteko erabiliko ditugu. Laborategiko praktiketan ere hasierako balioen problemak Laplace transformatuen bidez ebatziko ditugu Mathematica erabiliz.



4. gaian aldagai bateko funtzio periodikoen analisi harmonikoa ikusten dugu, Ingeniaritza hainbat arloetan aplikatzen dela. Laborategiko praktiketan ere Mathematicarekin nola lan egiten den ikasiko dugu.



5. gaian Fourier transformatuen hainbat propietate eta adierazpen sartuko ditugu. Laborategiko praktiketan ere Mathematicarekin egingo dugu.

Ikastaroan zehar ondoko ikaskuntza baliabideak erabiliko dira:



- Irakasgaiaren edukiak azaltzeko klase teoriko presentzialak. Irakasgaiaren ikasgela birtualean, ikasleak ikasgai bakoitzari dagozkion "Klaseko Apunteak" aurkitu ahal izango ditu, baita ebatzi behar izango dituen ariketa bilduma ezberdinak ere.



- Ariketak ebazteko klase presentzialak, ariketa ereduak ebatziko dira eta ikasleak bere kabuz ebazteko ariketa gehigarriak planteatuko dira.



- Jarduera osagarriak gauzatzeko mintegiak (adibidez, aldez aurretik proposatutako problemei buruzko ahozko aurkezpenak, test motako probak, etab.).



- Ordenagailu bidezko praktikak, ikasleak nolabaiteko software matematikoa erabiltzen ikas dezan, irakasgairen eduki teoriko-praktikoak agertzen diren problemak ebazteko.



- Tutoretza-orduak, ikasleak irakasleari bere zalantzak galdetu ahal diezazkion eta irakasleak ikaslearen ikaskuntzaren banakako segimendua gauzatu ahal dezan.

• Ebaluazio Jarraituaren Sistema
• Azken Ebaluazioaren Sistema
• Kalifikazioko tresnak eta ehunekoak:
  • Garatu beharreko proba idatzia (%): 70
  • Praktikak egitea (ariketak, kasuak edo buruketak) (%): 20
  • Mintegietan egindako jarduera osagarriak (%): 10

Ikaskuntza-emaitzak ebaluatzeko, honako metodologia hau aplikatuko da:



1- Ebaluazio jarraitua:



Ebaluazio jarraituan ondoko proba presentzialak egingo dira (proba bakoitza 0 puntutik 10era baloratuko da):



- 1., 2. 3. gaiei buruzko lehen proba, lauhileko 9. astean gutxi gorabehera (Ne1 kalifikazioa, azken notaren %35).



- Ordenagailuko lehen proba bat ikastaroko azken mintegi-saioetako batean edo ordenagailu-praktiketako batean, edo, bestela, aurrez iragarritako egun batean, edo ikastaroko ordenagailuko saietan iragarritako saio laburragoetan (No1 kalifikazioa, azken notaren %20).



- Mintegietan ebaluatutako jarduera osagarriak (Ns kalifikazioa, azken notaren %10).



- Idatzizko bigarren proba, amaierako ebaluazioaren egunean bertan, 4. eta 5. gaiei buruz (Ne2 kalifikazioa, azken notaren %35).



- Ordenagailuko bigarren proba (No2 kalifikazioa), azken ebaluazioko egun berean egingo da eta ikasturtean zehar lortutako No1 nota hobetu ahal izango da. Proba hau aukerakoa izango da ordenagailuko lehen proban (No1) 5 puntu edo gehiago lortu dutenentzat.



- Ordenagailuko parteko nota No = No2 izango da, ordenagailuko lehen proba soilik egiten duenarentzat izan ezik; kasu horretan, No = No1.



- Idatzizko zatiko nota Ne = (Ne1 + Ne2) / 2 da.



- Batez besteko ponderatua hau da: N = 0,70 Ne + 0,20 No + 0,10 Ns.



- Ikasgaia gainditzeko, 5 puntu edo gehiagoko batez besteko ponderatuaz (N) gain, 3 edo gehiago atera behar dira idatzizko lehen zatian, 3 edo gehiago bigarrenean, 4 edo gehiago idatzizkoan eta 4 edo gehiago ordenagailuaren partean, hau da, Ne1>=3, Ne2>=3, Ne>=4, No>=4.



- Irakasgaiaren azken nota (N) batez besteko ponderatua izango da aurreko baldintza guztiak betetzen direnean, eta bestela, N eta 4.5 arteko baliorik txikiena.



2.- Ebaluazio finala



Ikasleek ebaluazio finala aukeratu ahal izango dute. Horretarako, " Ikasleen Ebaluaziorako Arautegia Graduko titulazio Ofizialetan” buruzko 8. artikuluko (2. kapitulua) jarraibideak bete beharko ditu.



Ebaluazio finalean ondoko proba presentzialak egingo dira (proba bakoitza 0 puntutik 10era baloratuko da):



- 1., 2. eta 3. gaiei buruzko idatzizko proba bat (Ne1 kalifikazioa, azken notaren %40).



- 4., eta 5. gaiei buruzko idatzizko proba bat (Ne2 kalifikazioa, azken notaren %40).



- Ordenagailuko proba bat (No kalifikazioa, azken notaren %20).



Lehenengo bi probak etenik gabe egingo dira, eta hirugarrena, atsedenaldi labur baten ondoren.



- Idatzizko zatiko nota Ne = (Ne1 + Ne2) / 2 da.



- Batez besteko ponderatua hau da: N = 0,80 Ne + 0,20 No.



- Ikasgaia gainditzeko, 5 puntu edo gehiagoko batez besteko ponderatuaz (N) gain, 3 edo gehiago atera behar dira idatzizko lehen zatian, 3 edo gehiago bigarrenean, 4 edo gehiago idatzizkoan eta 4 edo gehiago ordenagailuaren partean, hau da, Ne1>=3, Ne2>=3, Ne>=4, No>=4.



- Irakasgaiaren azken nota (N) batez besteko ponderatua izango da aurreko baldintza guztiak betetzen direnean, eta bestela, N eta 4.5 arteko baliorik txikiena.



Oharrak:



1) Ikasturtean zehar egingo diren probetan ezin izango da erabili ez libururik edota apunterik, ez gailu telefoniko, elektroniko edo informatikorik, ez beste mota bateko gailurik, irakasleak ikasleari praktika informatikoei dagozkien edukiei buruzko ezaguera ebaluatzeko diseinatutako proben kasuan esleitutako ordenagailua izan ezik. Honi buruzko edozein aldaketa ikasleei aurrerapen nahikoz jakinaraziko zaie.



2) Deialdiari uko egiteko, irakasgaiaren azkeneko probara ez joatea nahikoa izango da.



3) Ez da inoiz gordeko aurreko ikasturteetako kalifikaziorik.



4) “Gainditutako” idatzizko zatiaren Ne nota (5 puntu edo gehiago, bakoitzean 3 edo gehiago) eta “onartutako” ordenagailu-zatiaren No nota (5 puntu edo gehiago) ez-ohiko deialdirako gordeko dira (hala ere, bietako edozein errepikatu ahal izango da nota igotzeko, eta kasu horretan ohiko deialdiko nota ez da kontutan izango).



5) Salbuespenezko egoerek, hala nola pandemia batek, hala eskatzen badute, proba osagarriak egin ahal izango dira, edo lehenago deskribatutako proba idatziak eta informatikoak arintzeko entregagarri ebaluagarriak eskatu.

Ez-ohiko deialdiko ebaluazioak presentziazko proba hauek erabiliko ditu (bakoitza 0 puntutik 10era baloratuko da):



- 1., 2. eta 3. gaietako idatzizko proba (Ne1 kalifikazioa, azken notaren %40).



- 4. eta 5. gaietako idatzizko proba (Ne2 oharra, azken notaren %40).



- Ordenagailuko proba praktiko bat (No nota, azken notaren %20).



Lehenengo bi probak jarraipenik gabe egingo dira, eta hirugarrena, atsedenaldi labur baten ondoren.



Idatzizko zatiko nota Ne = (Ne1 + Ne2) / 2 izango da. Ez-ohiko deialdian ez bada idatzizko probarik egin ohiko deialdiko nota gorde delako, ohiko deialdiko Ne nota erabiliko da.



Ordenagailuko zatiko nota No izango da. Ez-ohiko deialdian ez bada ordenagailuko probarik egin ohiko deialdiko nota gorde delako, ohiko deialdiko No nota erabiliko da.



Batez besteko nota ponderatua N = 0,80 Ne + 0,20 No da.



Ikasgaia gainditzeko, 5 puntu edo gehiagoko batez besteko ponderatuaz gain, 3 edo gehiago atera behar dira idatzizko lehen zatian, 3 edo gehiago bigarrenean, 4 edo gehiago idatzizkoan eta 4 edo gehiago ordenagailuaren partean, hau da, Ne1>=3, Ne2>=3, Ne>=4, No>=4.



Irakasgaiaren azken nota (N) batez besteko ponderatua izango da aurreko baldintza guztiak betetzen direnean, eta bestela, N eta 4.5 arteko baliorik txikiena.



Oharrak:



1) Ikasturtean zehar egingo diren probetan ezin izango da erabili ez libururik edota apunterik, ez gailu telefoniko, elektroniko edo informatikorik, ez beste mota bateko gailurik, irakasleak ikasleari praktika informatikoei dagozkien edukiei buruzko ezaguera ebaluatzeko diseinatutako proben kasuan esleitutako ordenagailua izan ezik. Honi buruzko edozein aldaketa ikasleei aurrerapen nahikoz jakinaraziko zaie.



2) Deialdiari uko egiteko, irakasgaiaren azkeneko probara ez joatea nahikoa izango da.



3) Ez da inoiz gordeko aurreko ikasturteetako kalifikaziorik.

- Ikasgaiaren Klaseko apunteak, ariketak eta ordenagailuko praktikak gela birtualean (eGela).

Oinarrizko bibliografia

- “Advanced Modern Engineering Mathematics”, Glyn James, Prentice Hall, 2011.



- “Advanced Engineering Mathematics”, 10th edition, Kreyszig E., Jhon Wiley and Sons, 2011.



- “Variable Compleja y Aplicaciones”, Churchill R. y Brown J, McGraw-Hill, 2004.



- “Análisis de Fourier”, Hwei P. Hsu, Addison-Wesley Iberoamericana, 1973.

Gehiago sakontzeko bibliografia

- “Basic Complex Analysis”, Marsden J. y Hoffman M., W. H. Freeman, 1998.

- “Variable Compleja con Aplicaciones”, Wunsch D., Addison Wesley, 1997.

- “Manual de Fórmulas y Tablas Matemáticas”, Spiegel, Abellanas y Liu, Serie Schaum, 2005.

- “Métodos Numéricos”, Faires y Burden, Thomson, 2004.

Web helbideak

https://egela.ehu.es/

http://www.wolfram.com/mathematica/

http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/