Enpresen Administrazioko Graduaren ikasketa-planean, matematikako bi irakasgai eskaintzen dira: Matematikak I eta Matematikak II, biak lehen kurtsoan. Matematikak I irakasgaian jasotako edukiak oinarrizkoak dira Matematikak II irakasgairako, bertan hainbat aldagaiko funtzioak aztertuko ditugulako, eredu ekonomikoen analisirako eta ulermenerako funtsezkoak direnak. Aldagai aske bakarreko eta anitzeko funtzioen optimizazioa, murrizketekin edo gabe, askotariko erakundeen erabakietan garrantzizko tresna da; hori dela eta, optimizazio problemen ebazpenerako hainbat prozedura matematiko ikusiko ditugu. Irakasgaiaren helburuen artean ikasleari problema ekonomikoak zorroztasunez planteatzeko eta aztertzeko tresna kuantitatiboak eskaintzea ere badenez, testuinguru ekonomikoan kokatzen diren problemak planteatuko ditugu, haietatik abiatuz ikaslea gai izan dadin dagokion eredu matematikoa formulatzeko osagai nagusiak identifikatu ostean; modu honetan, problemak ebatzi ahal izateko gai izango da. Gainera, problemak ebazterako orduan, ordenagailua ere erabiliko dugu.

Irakasgai honen helburu nagusia, ikasleek testuinguru sozioekonomikoan aurki ditzaketen egoerak ulertu ahal izateko tresna matematikoak eskaintzea da, eta baita arazo ekonomikoak modu zehatzenean planteatu eta aztertzeko tresnak eskaintzea ere.





GAITASUN ESPEZIFIKOAK

- Analisi eta sintesirako gaitasuna.

- Arrazonamendu deduktiboak baliatzea prozeduren onespenerako eta argumentu logikoak adierazteko.

- Emaitza desberdinak interpretatu eta sailkatzeko gaitasuna. Baita testuinguru sozioekonomikoetan erabil daitezkeen ondorioak lortzea ere.



ZEHARKAKO GAITASUNAK

- Ikaslearen autonomia maila altua lortzeko ikasteko gaitasuna garatu.

- Errespetuz, iniziatibarekin eta lidergoarekin jarduteko gaitasuna.

- Ahozko eta idatzizko komunikaziorako gaitasuna.

- Administrazio eta enpresa zuzendaritzari loturiko edozein alorri loturiko lanetan jasotako ezagutza aplikatzeko gaitasuna.



DESKRIBATZAILEAK

- Kalkulua aldagai anitzeko funtzioetan.

- Aldagai anitzen hoberenatze baldintzatu gabea eta baldintzatua.

- Programazio lineala.

- Integral anitzak.



IRAKASGAIA IKASTEAREN EMAITZAK

- Arrazoinamendu deduktiboak baliatzea prozeduren onespenerako eta argumentu logikoak adierazteko.

- Iraganeko ikasketetan landutako kontzeptuen ulermena zabaldu; bereziki aldagai bakarreko eta aldagai anitzeko funtzioen ingurukoak.

- Aldagai anitzeko funtzioetan kalkulu diferentzialaren oinarrizko tresnak ulertzea.

- Murrizketekin edo gabe, funtzioen optimizazioko problemak aztertu eta ebaztea.

- Aurrez aipaturiko kontzeptuak, arazo ekonomikoetan sortutako planteamendu eta ebazpenerako erabiltzea.

- EXCEL programako Solver aplikazioaren bitartez programazio lineal eta ez-linealeko problemak ebaztea.

1.- ALDAGAI ANITZEKO FUNTZIOAK

1.1 Topologia nozioak.

1.2 Aldagai anitzeko funtzioak.

1.3 Adierazpen grafikoa. Maila-kurbak.

1.4 Funtzio baten limitea.

1.5 Limiteekin eragiketak.

1.6 Funtzio jarraituak.

1.7 Ohiko funtzio jarraituak.



2.- DERIBAZIOA

2.1 Deribatu partzialak. Esanahi geometrikoa.

2.2 Gradientea.

2.3 Ordena goreneko deribatu partzialak. Matrize hessiarra.

2.4 Azalera batekiko plano ukitzailea. Hurbilketa lineala.

2.5 Taylor-en garapena aldagai anitzeko funtzioetan.

2.6 Funtzio konposatuen deribazioa. Katearen erregela.

2.7 Modu inplizituan definitutako funtzioak.

2.8 Funtzio homogeneoak.



3.- ALDAGAI BATEKO FUNTZIOEN HOBERENATZEA

3.1 Zenbait definizio. Hoberen motak.

3.2 Hoberen lokalerako beharrezko baldintza. Puntu gerakorrak.

3.3 Muturreko balio globalak tarte batean.

3.4 Hoberen lokalerako lehenengo deribatuaren irizpidea.

3.5 Funtzio ganbil eta ahurrak. Inflexio-puntuak. Hoberen globalerako baldintza nahikoak.

3.6 Hoberen lokalerako bigarren deribatuaren irizpidea.



4.- HOBERENATZEA ALDAGAI ANITZETAN (HOBERENATZE EZ BALDINTZATUA)

4.1 Hoberenatze problema baten planteamendu orokorra.

4.2 Hoberen motak. Muturreko balioen teorema.

4.3 Hoberen lokal hertsirako baldintza beharrezkoa. Puntu gerakorrak. Zela-puntuak.

4.4 Hoberen lokalerako baldintza nahikoak

4.5 Funtzio ahur eta ganbilak. Hoberen globalerako baldintza nahikoa.

4.6 Erabilera bat: karratu txikienen metodoa

Eranskina: forma koadratikoak



5.- HOBERENATZE BALDINTZATUA. ALDAGAI ANITZEKO FUNTZIONE HOBERENATZEAE BERDINTZAZKO

MURRIZKETEKIN

5.1 Planteamendu orokorra eta adierazpen grafikoa.

5.2 Ebazteko metodo zuzena, aldagaiak ordezkatuz.

5.3 Hoberen lokalerako baldintza beharrezkoak (Lagrange-ren biderkatzaileen metodoa).

5.4 Hoberen lokalerako baldintza nahikoak.

5.5 Lagrange-ren biderkatzaileen esanahi ekonomikoa.





6.- PROGRAMAZIO LINEALA

6.1 Dimentsio txikiko problemen geometrikoa.

6.2 Dualtasunaren teoria eta bere esanahi geometrikoa.

6.3 Dualtasunaren teoremak.

6.4 Aldagai dualen esanahi ekonomikoa.

6.5 Ariketen ebazpena Excel programako SOLVER aplikazio informatikoaren bidez.





7.- ALDAGAI ANITZEKO FUNTZIOEN INTEGRAZIOA

7.1 Planteamendu orokorra.

7.2 Integral bikoitza eremu laukizuzen baten gainean.

7.3 Integral bikoitzaren aplikazioak.

Eskola magistralak (% 75); eskola praktikoak (% 25)



- Eskola magistralak astean bitan eskainiko dira, 1,5 orduko saioetan. Bertan kontzeptu teorikoak eta adibide zein problema aplikatuen azterketa txandakatuko dira. Horretaz gain, noizbehinka ordenagailu gelara joango gara EXCEL programako Solver tresna erabiltzen ikasteko.





- Eskola praktikoak astean behin eskainiko dira, ordubeteko saioetan. Ikasleek modu indibidualean esleitzen zaizkien ariketak ebazteko denbora izago dute.



- Osasun-egoeraren ondorioz irakaskuntza presentziala ezinezkoa bada, urruneko irakaskuntza eskainiko da, Unibertsitateak horretarako gure esku jartzen dituen tresnen bidez.

• Azken Ebaluazioaren Sistema
• Kalifikazioko tresnak eta ehunekoak:
  • Garatu beharreko proba idatzia (%): 75
  • Praktikak egitea (ariketak, kasuak edo buruketak) (%): 25

EBALUAZIO JARRAITUAREN INGURUKO ORIENTAZIOAK



Azken proba idatzia: azken notaren 7,5 puntu arte.

Lan indibidualaren ebaluazioa: azken notaren 2,5 puntu arte.



Irakasgaia gainditzeko, azken proba idatzian gutxienez 3 puntu atera behar dira (7,5 puntu balio duen azken proba idatzian).



UKO EGITEA

Ebaluazio jarraituari uko egin nahi dioten ikasleek, lauhilekoaren lehen 10 astetan zehar egin ahal izango dute eskaera. Eskari hori idatziz aurkeztu beharko zaio irakasgaiaren ardura duen irakasleari.

Ebaluazio jarraituari uko egiten dioten ikasleek, irakasgaiaren nota, azken proba idatziaren bitartez lortuko dute.



- Osasun-egoeraren ondorioz azken azterketa modu presentzialean egitea ezinezkoa balitz, egoera horretarako salbuespenezko prozedura abian jarriko litzateke, eGelan ikasleentzako irakaskuntza-gidan adierazita.

Ohiko deialdirako irizpide berberak erabiliko dira.

Hala ere, ebaluazio jarraitua egin duten ikasleek, ebaluazio mota honi uko egin eta irakasgaiaren nota azken proba idatziaren bitartez lortzeko aukera izango dute.

Bai Ekonomia eta Enpresa Fakultateko (Gipuzkoako atala) erreprografia zerbitzuan, bai UPV/EHUren plataforma birtualean (eGela), ikasleek eskura izango dute eskola magistralak jarraitu ahal izateko materiala, bai eta gai bakoitzerako proposatutako ariketen bilduma ere.

Oinarrizko bibliografia

- Barrios, Javier; Carrillo, Marianela;Gil, María Candelaria; González, Conceptción; Pertano, Celina (2022): Análisis de funciones en economía y empresa. Un enfoque interdisciplinar. 2ª edición. Ediciones Díaz de Santos.

- Sydsaeter, K. Hammond, P. y Carvajal, A. (2012): Matemáticas para el Análisis Económico. Editorial Pearson. Madrid 2012 (2ª edición).

- Sydsaeter, Knut; Hammond, Peter; Strom, Arne; Carvajal, Andrés (2021): Essential Mathematics for Economic Analysis. Pearson Education Limited, 6ª edición. Harlow, Reino Unido.

Gehiago sakontzeko bibliografia

- Barbolla, R., Cerdá, E. y Sanz, P. (2006): Optimización (Cuestiones, ejercicios y aplicaciones a la economía). Editorial Prentice Hall. Madrid.
- Caballero, R. et al (2000): Matemáticas aplicadas a la Economía y a la Empresa. 380 ejercicios resueltos y comentados. Editorial Pirámide. Madrid.
- Calvo, M. et al. (2003): Problemas resueltos de Matemáticas Aplicadas a la Economía y a la Empresa. Editorial AC. Madrid.
- Hoffman, L. y Bradley, G. (2004): Cálculo aplicado para Administración, Economía y Ciencias Sociales. Editorial McGraw-Hill. Bogotá (8ª edición).
- Larson, R. y Edwards, B.H. (2010): Cálculo 1 (de una variable). Editorial McGraw Hill. México.
- Larson, R. y Edwards, B.H. (2010): Cálculo 2 (de varias variables). Editorial McGraw Hill. México.
- Stewart, J. (2006): Cálculo (conceptos y contextos). Editorial Thomson. México D.F. (5ª edición).

Web helbideak

https://www.wolframalpha.com
http://reshmat.ru/linear_programming_online.html