GAITASUN ESPEZIFIKOAK

- Kalkulu diferentzialaren eta aljebraren kontzeptu eta teknika nagusiak erabiltzea.

- Arrazonamendu deduktiboen bidez argumentu logikoen prozedura eta formulazioak justifikatzea.

- Eredu matematikoen bidez ekonomi eta enpresa zientziarekin lotutako gertaera kuantifikagarriak formalizatzea.



ZEHARKAKO GAITASUNAK

- Etorkizuneko ikasketak hasteko zein etengabeko aldaketa eta berrikuntzako gaur egungo testuinguruan norberaren prestakuntzarako, autonomia maila altua lortu ikasketa gaitasunak garatuz.

- Iturri desberdinetatik datorren informazioa bilatzen, identifikatzen, aztertzen eta laburtzen jakin; betiere, gaitasun kritikoaren bidez ondo arrazoituz eta erabaki egokien bidez, enpresa baten egoera baloratu eta bere bilakaera aurreikusteko helburuekin.

- Idatzizko zein ahozko komunikaziorako gaitasuna

- Ardurarekin, errespetuarekin, eta ekintzaile eta lidergo jarrerarekin, taldean lan egiteko gaitasuna



GAKO-HITZAK

- Kalkulua: Aldagai bateko funtzioak. Kalkulu diferentziala. Kalkulu integrala.

- Aljebra: Matrizeak eta determinanteak. Bektore-espazioa. Ekuazio linealetako sistemak. Matrizeen diagonalizazioa.



IKASKETA-EMAITZAK

- Ekonomia eta enpresa zientziarekin lotutako kasu praktikoetan kalkulu diferentzialaren eta aljebra linealaren kontzeptu eta teknika nagusiak erabiltzea.

- Prozeduren onespenerako eta argumentu logikoak adierazteko arrazonamendu deduktiboak erabiltzea.

- Adibide praktikoetan gertaera ekonomiko kuantifikagarrien formalizazio matematikoa egitea.

GAIAK



I. ZATIA: Kalkulua (aldagai bateko funtzioak)



1.- ALDAGAI BATEKO FUNTZIOAK

1.1 Funtzio kontzeptua. Izate-eremua. Adierazpen grafikoa.

1.2 Funtzio baten alderantzizkoa.

1.3 Ohiko funtzioak.

1.4 Zatika definitutako funtzioak. Balio-absolutuaren funtzioa.

1.5 Funtzio konposatuak.

Eranskina: Konikoak (zirkunferentzia, elipsea, hiperbola, parabola).



2.- LIMITEAK, JARRAITUTASUNA ETA DERIBAZIOA

2.1 Funtzioen limiteak. Albo-limiteak.

2.2 Limiteen propietateak. Indeterminazioak.

2.3 Funtzioen jarraitutasuna.

2.4 Funtzio deribatua. Esanahi geometrikoa.

2.5 Funtzio konposatuen deribazioa (katearen erregela).

2.6 Deribazioaren erregela orokorra. Deribazio-arauak.

2.7 Alderantzizko funtzioaren deribatua.

2.8 Ondoz-ondoko deribatuak.

2.9 Albo-deribatuak. Funtzio baten deribagarritasuna.

2.10 Jarraitutasuna eta deribagarritasuna.

2.11 Funtzio inplizituak. Funtzio inplizituen deribazioa.

2.12 Deribazioaren aplikazioa ekonomian. Elastikotasuna.



3.- JARRAITUTASUNA ETA DERIBAGARRITASUNA: APLIKAZIOAK

3.1 Funtzio jarraituen propietateak (Muturreko balioen teorema. Bolzanoren teorema. Tarteko balioaren teorema).

3.2 Funtzio jarraituen eta deribagarrien propietateak (Rolleren teorema. Batez besteko balioaren teorema).

3.3 Limite indeterminatuak: l'Hôpitalen erregela.

3.4 Funtzio baten diferentziala.

3.5 Funtzioen hurbilketa polinomikoa: Taylorren formula. Diferentziala eta hurbilketa lineala.



4.- INTEGRAZIOA

4.1 Funtzio baten jatorrizkoa. Integral mugagabea.

4.2 Berehalako integrazioa.

4.3 Zatikako integrazioa.

4.4 Aldagai aldaketa bidezko integrazioa.

4.5 Integral mugagabearen erabilera.

4.6 Integral mugatua. Esanahi geometrikoa.

4.7 Batez bestekoaren teorema. Tarte bateko funtzio baten batez besteko balioa.

4.8 Integralen kalkulurako oinarrizko teoria. Funtzio integrala.

4.9 Barrowen erregela.

4.10 Integral mugatuaren erabilera.

4.11 Integral inpropioak.





II. ZATIA: Aljebra lineala



5.- MATRIZEAK ETA BEKTOREAK. BEKTORE-ESPAZIOA

5.1 Matrizeak. Eragiketak matrizeekin.

5.2 Matrize motak.

5.3 Bektoreak. Eragiketak bektoreekin. Bektoreen konbinazio lineala.

5.4 Bektore-espazioa.

5.5 Bektore-espazio euklidearra (Biderkadura eskalarra. Luzera. Distantzia. Ortogonaltasuna).



6.- DETERMINANTEAK ETA ALDERANTZIZKO MATRIZEA

6.1 Matrize karratu baten determinantea.

6.2 Bigarren eta hirugarren ordenako determinanteen kalkulua: Sarrusen erregela.

6.3 Hirugarren ordena baino handiagoko determinanteen kalkulua: Adjuntuen metodoa.

6.4 Determinanteen propietateak.

6.5 Determinante batean zeroak egitea.

6.6 Matrize baten alderantzizkoa. Matrize alderanzgarriak eta singularrak.

6.7 Alderantzizko matrizearen propietateak.

6.8 Alderantzizko matrizearen kalkulua.



7.- HEINAREN TEORIA ETA EKUAZIO LINEALETAKO SISTEMAK

7.1 Bektoreen arteko askatasun lineala.

7.2 Matrize baten heina. Propietateak.

7.3 Matrize baten heinaren kalkulua.

7.4 Ekuazio linealetako sistemak. Adierazpen matriziala eta bektoriala.

7.5 Sistema bateragarriak eta bateraezinak. Rouché-Frobenius teorema.

7.6 Sistema homogeneoak.

7.7 Sistemak ebazteko metodo ez-matrizialak.

7.8 Sistemak ebazteko metodo matrizialak (alderantzizko matrizea, Cramerren erregela eta Gaussen metodoa).

7.9 Ekuazio linealetako sistemak ekonomian.



8.- MATRIZEEN DIAGONALIZAZIOA

8.1 Matrizeen diagonalizazioa.

8.2 Matrize karratu baten autobalioak eta autobektoreak: matrize diagonalizagarriaren baldintza.

8.3 Diagonalizazioaren erabilerak

Eskola magistralak (%75) eta eskola praktikoak (%25).

Eskola praktikoak talde-lanen bidez egindako tailerrak izango dira.

EBALUAZIO JARRAITUAREN INGURUKO ORIENTAZIOAK

Azken proba idatzia: azken notaren 7,5 puntu arte.

Talde-lanen ebaluazio indibiduala: azken notaren 2,5 puntu arte.



Irakasgaia gainditzeko, azken proba idatzian gutxienez 3 puntu atera behar dira (7,5 puntu balio duen azken proba idatzian).



UKO EGITEA

Ebaluazio jarraituari uko egin nahi dioten ikasleek, lauhilekoaren lehen 10 astetan zehar egin ahal izango dute eskaera. Eskari hori idatziz aurkeztu beharko zaio irakasgaiaren ardura duen irakasleari.

Ebaluazio jarraituari uko egiten dioten ikasleek, irakasgaiaren nota, azken proba idatziaren bitartez lortuko dute.

Irakasgaiko gela birtualean egongo dira erabilgarri.

Oinarrizko bibliografia

* SYDSAETER, K. y HAMMOND, P.: "Matemáticas para el Análisis Económico". Editorial Prentice Hall. Madrid 1996 (1ª edición)

Gehiago sakontzeko bibliografia

* CABALLERO, R. y otros: "Matemáticas aplicadas a la Economía y a la Empresa. 380 ejercicios resueltos y comentados". Editorial Pirámide. Madrid 1993
* HOFFMAN, L. y BRADLEY, G.: "Cálculo aplicado para Administración, Economía y Ciencias Sociales". Editorial McGraw-Hill. Bogotá 2004 (8ª edición)
* STEWART, J.: "Cálculo (conceptos y contextos)". Editorial Thomson. México D.F. 2006 (5ª edición)