El objetivo fundamental de este curso es el estudio de las extensiones finitas de cuerpos que son de Galois para conocer qué es el grupo de Galois de un polinomio, saber calcularlo en casos sencillos y entender la relación de este grupo con la resolubilidad , o no, por radicales del polinomio. Previamente se introduce la teoría básica de cuerpos, las extensiones algebraicas de cuerpos y los cuerpos de escisión de un polinomio sobre un cuerpo.



Esta asignatura pertenece al módulo Estructuras algebraicas (2º)+Algebra conmutativa(3º)+Ecuaciones Algebraicas (3º) que desarrolla los fundamentos del álgebra abstracta y sus principales aplicaciones. El estudiante adquirirá las técnicas básicas de esta área que le capacitarán para su utilización en otros campos de las matemáticas y le permitirán, si lo desea, afrontar un estudio más profundo del álgebra a través de las asignaturas optativas de cuarto curso.

COMPETENCIAS ESPECÍFICAS:

M01CM10: Saber operar en extensiones de cuerpos sencillas.

M01CM11: Conocer las propiedades de las extensiones normales y de Galois y saber calcular el grupo de Galois de extensiones sencillas.

M01CM12: Saber aplicar el teorema fundamental de la teoría de Galois para calcular los subcuerpos intermedios de extensiones sencillas.

M01CM13: Saber caracterizar las ecuaciones algebraicas resolubles por radicales.



RESULTADOS DE APRENDIZAJE:

Conocer qué es el grupo de Galois de un polinomio y saber calcularlo en casos sencillos.Entender la relación de este grupo con la resolubilidad, o no, por radicales del polinomio.

1.EL PROBLEMA DE LA RESOLUBILIDAD DE LAS ECUACIONES ALGEBRAICAS: Qué es resolver una ecuación algebraica. Resolución por radicales de las ecuaciones de grado menor o igual que 4. Repaso de Anillos de polinomios: divisibilidad y criterios de irreducibilidad. Cuerpos, generalidades. Estructura del Grupo aditivo y del grupo multiplicativo de un cuerpo. Característica de un cuerpo y subcuerpo primo.

2.EXTENSIONES DE CUERPOS: Extensiones de cuerpos. Elementos algebraicos y transcendentes. Extensiones simples, extensiones algebraicas y extensiones finitas. Cuerpo de escisión de un polinomio: existencia y unicidad.

3.EXTENSIONES NORMALES Y EXTENSIONES SEPARABLES: Extensiones normales. Caracterización de las extensiones finitas normales. Extensiones finitas separables: el teorema del elemento primitivo.

4.EXTENSIONES DE GALOIS: Automorfismos de un cuerpo. Extensiones de Galois y grupo de Galois. El teorema fundamental de la teoría de Galois. Aplicaciones (cuerpos finitos, el Teorema Fundamental del Algebra).

5.RESOLUBILIDAD DE LAS ECUACIONES ALGEBRAICAS: Grupos resolubles. El teorema de Galois sobre la resolubilidad por radicales de las ecuaciones algebraicas.

El contenido teórico se expondrá en clases magistrales siguiendo referencias básicas que figuran en la Bibliografía y el material de uso obligatorio. Estas clases magistrales se complementarán con clases de problemas (prácticas de aula) en los que se propondrá a los alumnos resolver cuestiones en las que se aplicarán los conocimientos adquiridos en las clases teóricas. En los seminarios se desarrollaran cuestiones y ejemplos representativos del contenido de la asignatura, que generalmente habrán sido facilitados con anterioridad a los alumnos para trabajarlos y motiven la posterior reflexión y discusión en la sesión dedicada a ello.

Los alumnos deben participar activamente en clase resolviendo los problemas planteados.

• Sistema de Evaluación Continua
• Sistema de Evaluación Final
• Herramientas y porcentajes de calificación:
  • Ver ORIENTACIONES (%): 100

Habrá dos pruebas escritas, una parcial y otra final. En la nota final se tendrá en cuenta el interés y disposición de cada alumno/a para el aprendizaje. La nota final de la asignatura es una suma ponderada de todas las actividades realizadas, como sigue:

- 50-80% examen final, que podrá ser un examen completamente escrito, o un examen escrito para los ejercicios y oral para la teoría.

- 20-50% examen parcial escrito, otro tipo de ejercicios (individual o en grupo) con exposición oral o escrita.

Para superar la asignatura, es necesario obtener al menos 4,5 puntos sobre 10 en el examen escrito final.



La evaluacion final consistirá en un examen de toda la asignatura. Peso 100%.

En la convocatoria extraordinaria (julio) la calificación de los alumnos dependerá únicamente del examen escrito.

Bibliografía básica

1.- CLARK, A. Elementos de Algebra Abstracta. Alhambra, Madrid, 1979.

2.- De VIOLA-PRIOLI. A.M.; VIOLA-PRIOLI, J.E. Teoría de Cuerpos y Teoría de Galois. Reverté, Barcelona, 2006.

3.- NAVARRO, G. Un curso de Algebra. Universidad de Valencia, 2002.

4.- STEWART, I. Galois Theory. Chapman & Hall, 2nd ed., London, 1989.

5.- VERA LÓPEZ, A. Introducción al Algebra, II. Ellacuría, Bilbao, 1986.

6.- VERA, A.; VERA, J. Problemas de Algebra, I: Teorías de Grupos y de Cuerpos. AVL, 1995.

Bibliografía de profundización

1.-GARLING, D. J. H. A course in Galois Theory. Cambridge University Press, Cambridge, 1986.
2.-HUNGERFORD, T.W. Algebra. Springer-Verlag, New York, 1984.
3.-LANG, S. Algebra. 3rd. ed. Springer, 2005.
4.-MORANDI, P. Field and Galois Theory, Springer, New York, 1996.
5.-VERA, A.; ARREGI, J.M. Problemas de Algebra, II: Teorías de Grupos, Cuerpos y Anillos. AVL, 1989.

Direcciones web

http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Galois.html
http://mathworld.wolfram.com/topics/AlgebraicEquations.html