El objetivo de la asignatura es el conocimiento de elementos básicos de matemáticas y el adiestramiento en el manejo del lenguaje matemático y las técnicas de demostración y resolución de problemas. Esta asignatura profundiza en aspectos combinatorios iniciados en la asignatura Matemáticas Básicas de primer curso y sirve como base en la asignatura Cálculo de Probabilidades de segundo curso. Algunos de los conceptos introducidos, como recurrencias y grafos, se utilizan posteriormente en asignaturas de tercer y cuarto curso tales como Métodos Numéricos II y Programación Matemática.

COMPETENCIAS

M06CM01 - Estar familiarizado con los principales tipos de demostración matemática y las técnicas de resolución de problemas (observación-conjetura-demostración).

M06CM06 - Saber resolver problemas combinatorios utilizando técnicas básicas, funciones generatrices y recurrencias.

M06CM07 - Estar familiarizado con identidades combinatorias y las principales familias de números que tienen significado combinatorio.

M06CM08 - Conocer los conceptos, técnicas y resultados básicos de la teoría de grafos y estar familiarizado con algunas de sus múltiples aplicaciones.





RESULTADOS DE APRENDIZAJE

Saber resolver problemas combinatorios de cierto grado de complejidad.

Estar familiarizado con familias de números que tienen amplia presencia en muy diversas partes de las matemáticas.

Manejar con soltura expresiones e identidades combinatorias, desigualdades, recurrencias y funciones generatrices.

Estar familiarizado con los grafos, sus propiedades principales y algunas de sus múltiples aplicaciones.

1. COMBINATORIA BÁSICA: Recursos básicos del razonamiento combinatorio. Principio de inclusión-exclusión. Principio del palomar.

2. IDENTIDADES COMBINATORIAS: Coeficientes binomiales y multinomiales. Fórmulas del binomio y el multinomio. Identidades relacionadas.

3. FUNCIONES GENERATRICES Y RECURRENCIAS: Función generatriz de una sucesión numérica. Aplicaciones a problemas combinatorios. Recurrencias y problemas combinatorios. Recurrencias y funciones generatrices. Obtención del término general.

4. FAMILIAS IMPORTANTES DE NÚMEROS: Números de Fibonacci. Números de Catalan. Números de Bell. Números de Stirling. Particiones de números naturales.

5. GRAFOS: Conceptos introductorios. Caminos. Árboles. Planaridad. Coloraciones.

En las clases magistrales se desarrollarán los aspectos teóricos.

En los seminarios el alumnado trabajará o expondrá problemas o trabajos.

En las prácticas de aula se resolverán ejercicios.

• Sistema de Evaluación Continua
• Sistema de Evaluación Final
• Herramientas y porcentajes de calificación:
  • Prueba escrita a desarrollar (%): 70
  • Realización de prácticas (ejercicios, casos o problemas) (%): 10
  • Trabajos en equipo (resolución de problemas, diseño de proyectos) (%): 15
  • Exposición de trabajos, lecturas… (%): 5

ORIENTACIONES

Examen final (70%), realización de ejercicios (10%) y elaboración y exposición de trabajos (20%). Se requiere una nota mínima de un 5 (sobre 10) para aprobar la asignatura siempre y cuando se alcance al menos un 4 (sobre 10) en el examen final (obligatorio).



RENUNCIA A LA EVALUACION CONTINUA

El alumnado deberá presentar por escrito al profesorado responsable de la asignatura la renuncia a la evaluación continua, para lo que dispondrá de un plazo de 9 semanas desde el comienzo del cuatrimestre. En este caso, el examen final supondrá el 100% de la nota y será necesario una nota mínima de 5 para aprobar la asignatura.



RENUNCIA A LA CONVOCATORIA

La no presentación a la prueba fijada en la fecha oficial de exámenes (examen final) supondrá la renuncia automática a la convocatoria correspondiente.

ORIENTACIONES

En caso de evaluación continua:

Se podrá guardar la nota de ejercicios y trabajos de ese curso, en caso favorable al alumnado. En ningún caso se guardarán notas de un curso para cursos posteriores. Se requiere una nota mínima de un 5 (sobre 10) para aprobar la asignatura siempre y cuando se alcance al menos un 4 (sobre 10) en el examen final extraordinario.

En caso de evaluación final:

El examen final supondrá el 100% de la nota y será necesario una nota mínima de 5 para aprobar la asignatura.



RENUNCIA A LA CONVOCATORIA

La no presentación a la prueba fijada en la fecha oficial de exámenes (examen final) supondrá la renuncia automática a la convocatoria correspondiente.

El material recomendado estará disponible en la plataforma virtual.

Bibliografía básica

D.I.A. COHEN, Basic Techniques of Combinatorial Theory, Wiley, New York,1978.

J.M. HARRIS, J.L. HIRST, M.J. MOSSINGHOFF, Combinatorics and Graph Theory, Springer, New York, 2008.

N. HARTSFIELD, G. RINGEL, Pearls in Graph Theory, Dover, New York, 1994.

R.L. GRAHAM, D.E. KNUTH, O. PATASHNIK, Concrete Mathematics, Addison-Wesley, Reading, Mass., 1994.

Bibliografía de profundización

V.K. BALAKRISHNAN, Combinatorics, Schaum’s Outline Series, McGraw-Hill, 1995.
R.C. BOSE, B. MANVEL. Introduction to Combinatorial Theory, Wiley, New York, 1984.
F. GARCIA MERAYO, Matemática Discreta, Paraninfo, Madrid, 2001.
J. HEBER NIETO SAID, Teoría Combinatoria.La Universidad del Zulia, 1996. http://www.jhnieto.org/tc.pdf
D.A. MARCUS, Combinatorics: A Problem Oriented Approach, The Mathematical Association of America, 1998.
R. J. TRUDEAU, Introduction to Graph Theory, Dover Pulications, Inc, Nueva York, 1993.
N. Ya. VILENKIN, Combinatorics, Academic Press, New York, 1971.
H.S. WILF, Generatingfuntionology, Academic Press, Boston, 1990. http://www.math.upenn.edu/~wilf/gfology2.pdf

Revistas

The Electronic Journal of Combinatorics http://www.combinatorics.org/
The Fibonaccy Quarterly http://www.fq.math.ca/

Direcciones web

Combinatoria http://mathworld.wolfram.com/topics/Combinatorics.html
Triangulo de Pascal http://en.wikipedia.org/wiki/Pascal%27s_triangle
Principio del palomar http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/pigeon.shtml
Numeros de Fibonacci http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/
Numeros de Catalan http://mathforum.org/advanced/robertd/catalan.html
Numero de Stirling de primer orden http://mathworld.wolfram.com/StirlingNumberoftheFirstKind.html
Numero de Stirling de segundo orden http://mathworld.wolfram.com/StirlingNumberoftheSecondKind.html
Enciclopedia de Números Enteros http://oeis.org/
Grafos http://en.wikipedia.org/wiki/Graph_theory