DESCRIPCIÓN

En esta asignatura se presentan los métodos elementales (analíticos y cualitativos) para la resolución de las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) de primer orden. Se realiza un estudio exhaustivo de las ecuaciones diferenciales lineales de orden superior así como de los sistemas diferenciales lineales. Se analiza el problema de existencia y unicidad de soluciones del problema de Cauchy. Se estudian los sistemas autónomos. Se analiza el problema de contorno de Sturm-Liouville. Se tratan las ecuaciones en derivadas parciales (EDP) de primer y segundo orden mediante el método de las características y el de separación de variables.

CONTEXTUALIZACIÓN

La asignatura de Ecuaciones diferenciales se interrelaciona con la de Ecuaciones en derivadas parciales. En la primera parte de la asignatura de Ecuaciones diferenciales se desarrollan los resultados y técnicas relativas a las ecuaciones diferenciales ordinarias; en la segunda parte y en la asignatura de Ecuaciones en derivadas parciales se desarrollan los conceptos y las técnicas específicas de resolución de ecuaciones en derivadas parciales, así como las aplicaciones más importantes en la Geometría y en la Física.

COMPETENCIAS

M04CM01 - Aplicar los principales métodos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias.

M04CM02 - Asimilar y enunciar con precisión los conceptos básicos y los resultados fundamentales de la teoría de existencia y unicidad de soluciones para ecuaciones diferenciales, utilizando conceptos previos de análisis matemático. También resultados sobre dependencia respecto de las condiciones iniciales.

M04CM03 - Conocer demostraciones rigurosas de resultados sobre ecuaciones diferenciales e idear nuevas demostraciones de resultados propuestos.

M04CM04 - Utilizar métodos analíticos, gráficos y computacionales para la resolución de ecuaciones diferenciales concretas.

M04CM05 - Resolver sistemas lineales de ecuaciones diferenciales ordinarias.

M04CM06 - Relacionar distintos problemas de la Geometría, la Física y el mundo real con las ecuaciones diferenciales.

M04CM07 - Extraer información cualitativa sobre las soluciones de una ecuación diferencial ordinaria, sin necesidad de resolverla.

M04CM08 - Resolver ecuaciones diferenciales y transmitir los métodos de resolución de manera escrita y oral con el lenguaje matemático adecuado.

M04CM10 - Traducir problemas reales en términos de ecuaciones diferenciales ordinarias y ecuaciones en derivadas parciales.

M04CM11 - Entender el comportamiento de las ecuaciones diferenciales en entornos de puntos regulares o singulares y la noción de estabilidad en los puntos de equilibrio.



RESULTADOS DE APRENDIZAJE.

Aplicar los métodos principales en la resolución de las ecuaciones diferenciales tanto ordinarias como en derivadas parciales.

Resolver sistemas lineales de ecuaciones diferenciales ordinarias.

Interpretar algunos problemas reales en términos de ecuaciones diferenciales.

Obtener información cualitativa sobre las soluciones de ecuaciones diferenciales.

1. ECUACIONES DIFERENCIALES. Clasificación de ecuaciones diferenciales. Concepto de solución de ecuaciones diferenciales. Familias de curvas y trayectorias ortogonales. Problemas de origen científico-tecnológico.

2. METODOS ELEMENTALES DE RESOLUCIÓN. Métodos analíticos de resolución de ecuaciones diferenciales de primer orden: ecuaciones de variables separadas, ecuaciones homogéneas, ecuaciones exactas y factores integrantes, ecuaciones diferenciales lineales, ecuaciones de Bernouilli, ecuaciones de Riccati, ecuaciones diferenciales implícitas. Algunos métodos de resolución de ecuaciones de segundo orden. Métodos cualitativos para la resolución de ecuaciones de primer orden.

3. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES. Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas: fórmula de Liouville, método de reducción de orden. Ecuaciones diferenciales no homogéneas: método de reducción de orden y método de variación de las constantes o de Lagrange. Ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes constantes. Ecuaciones diferenciales de Euler. Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden: propiedades cualitativas de las soluciones.

4. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES MEDIANTE SERIES DE POTENCIAS. Series de potencias y funciones analíticas. Resolución de ecuaciones diferenciales de primer orden mediante series de potencias. Ecuaciones diferenciales de segundo orden: puntos regulares y puntos singulares regulares. Ecuación indicial y series de Frobenius. Ecuación de Bessel. Desarrollos en torno al infinito.

5. SISTEMAS DIFERENCIALES LINEALES. Sistemas diferenciales lineales homogéneos: matriz fundamental y fórmula de Jacobi. Sistemas diferenciales lineales no homogéneos. Sistemas lineales homogéneos de coeficientes constantes: el método de los vectores propios y la función exponencial matricial.

6. EL PROBLEMA DE VALORES INICIALES. TEORIA DE EXISTENCIA. El problema de Cauchy: el problema diferencial y el problema integral. Condición de Lipschitz. Aproximaciones de Picard. Soluciones globales del problema de Cauchy. Soluciones locales del problema de Cauchy. Prolongación de soluciones y soluciones maximales. Dependencia de las soluciones con respecto a los valores iniciales.

7. SISTEMAS AUTÓNOMOS. Sistemas autónomos planos: el plano de fases, órbitas. Puntos críticos de sistemas autónomos y su estabilidad. Estabilidad y clasificación de puntos críticos de sistemas autónomos lineales. Sistemas no lineales: linealización y método directo de Liapunov.

8. PROBLEMAS DE STURM-LIOUVILLE. Problemas regulares homogéneos de Sturm-Liouville: valores propios y funciones propias. Ortogonalidad de las funciones propias y series de Fourier con respecto a funciones propias de problemas de Sturm-Liouville. Problemas periódicos de Sturm-Liouville. Problemas regulares no homogéneos de Sturm-Liouville: resolución mediante funciones propias, función de Green.

9. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES. MÉTODO DE LAS CARACTERÍSITCAS. Ecuaciones en derivadas parciales de orden uno. Existencia de solución. Método de las características. Ecuaciones en derivadas parciales de orden dos de coeficientes constantes. Clasificación. Reducción a la forma canónica mediante el método de las características. Resolución de la ecuación de ondas en un semiplano, en un cuadrante.

10. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES. MÉTODO DE SEPARACIÓN DE VARIABLES. Resolución del problema de la distribución de temperaturas en una barra finita. Resolución del problema de la cuerda vibrante. Resolución de la ecuación de Laplace en un rectángulo y en un recinto circular.

METODOLOGÍA

El contenido teórico se expondrá en clases magistrales siguiendo referencias básicas que figuran en la Bibliografía y el material de uso obligatorio. Estas clases magistrales se complementarán con clases de problemas (prácticas de aula) en los que se propondrá al alumnado resolver cuestiones en las que se aplicarán los conocimientos adquiridos en las clases teóricas.

En los seminarios se desarrollarán cuestiones y ejemplos representativos del contenido de la asignatura, que generalmente habrán sido facilitados con anterioridad al alumnado para trabajarlos y que motiven la posterior reflexión y discusión en la sesión dedicada a ello.

Se propondrán a los y las estudiantes trabajos individuales o en grupo sobre teoría y problemas, para cuya realización y exposición dispondrán del apoyo del profesor o profesora. Parte importante del trabajo del alumnado es de carácter personal. Los profesores orientarán en los trabajos propuestos. El alumnado dispondrá de tutorías personales donde podrá aclarar cualquier duda o dificultad que se le presente en la asignatura.

• Sistema de Evaluación Continua
• Sistema de Evaluación Final
• Herramientas y porcentajes de calificación:
  • Ver ORIENTACIONES Y RENUNCIA (%): 100

Exámenes escritos tanto de teoría como de ejercicios.

Peso: 80%-100% (será necesario obtener una nota mínima de 4 sobre 10 en los exámenes para tener en cuenta la nota de los seminarios)

Criterios:

-Precisión en los razonamientos y en las definiciones.

-Corrección del lenguaje matemático.

-Métodos de argumentación claros y ordenados, explicando los pasos.

-Exactitud en los resultados de los ejercicios.





Trabajos de los seminarios (escritos y orales).

Peso: 0%-20% (será necesario obtener una nota mínima de 4 en los exámenes para tener en cuenta la nota de los seminarios)

Criterios:

-Respuestas correctas y buena utilización del lenguaje matemático

-Claridad en los razonamientos

-En las explicaciones orales orden y precisión

-Orden y precisión en la resolución de problemas

-Asistencia



La renuncia a la evaluación continua se podrá realizar hasta la semana 18 del curso, mediante escrito al profesor o profesora de la asignatura.

La evaluacion final consistirá en un examen de toda la asignatura. Peso 100%.

Examen escrito. Peso 100%.

Plataforma eGela, si estuviera disponible.

Bibliografía básica

BIBLIOGRAFÍA

*N. ARRIZABALAGA, J. RIVAS, Ekuazio diferentzialak, Servicio Editorial de la UPV/EHU, 2020.

*W.E. BOYCE, R.C. DIPRIMA, Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera, Limusa, 2016.

* O. CIAURRI, Instantáneas diferenciales, Servicio de Publicaciones de la Universidad de La Rioja, 2013.

*A. DOU, Ecuaciones en derivadas parciales, Dossat, 1970.

*A. KISELIOV, M. KRASNOW Y G. MAKARENKO, Problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias, MIR, 1984.

*R. K. NAGGLE, E. B. SAFF, Fundamentos de Ecuaciones Diferenciales, 2ª edición, Addison-Wesley Iberoamericana, 1992.

*I. PERAL ALONSO, Primer curso de ecuaciones en derivadas parciales, Addison-Wesley/Universidad Autónoma de Madrid,1995.

*F. SIMMONS, Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones y Notas Históricas, McGraw Hill, 1977.

*D.G. ZILL, W.S. WRIGHT, Ecuaciones diferenciales con problemas con valores en la frontera, Cengage Learning, 2015

Bibliografía de profundización

*M. BRAUN, Differential Equations and Their Applications, Springer Verlag, New York 1978.
*M. W. HIRSCH, S. SMALE, Ecuaciones diferenciales, sistemas dinámicos y álgebra lineal, Alianza Editorial, Alianza Universidad, Textos nº 61, 1983.

Direcciones web

http://www.ehu.eus/izaballa/Ecu_Dif/ecu_dif.htm