Esta asignatura tiene como objetivo el conocimiento del concepto de invariante topológico a través del estudio de la homotopía, el manejo de la noción general de convergencia para el reconocimiento de propiedades topológicas y el estudio de condiciones para la extensión de funciones continuas.

Tras finalizar el curso, el alumnado debería saber distinguir una gran variedad de espacios no homeomorfos, utilizando tanto técnicas de topología general como de topología algebraica.



Los conocimientos adquiridos, en combinación con otras asignaturas del área de Geometría y Topología como las Variedades diferenciables, constituyen una formación básica de estas materias: el alumnado podrá aplicar estas habilidades en múltiples direcciones interrelacionadas.

COMPETENCIAS ESPECÍFICAS



M12CM05 - Comprender los conceptos de invariante topológico y de deformación topológica través del estudio de la homotopía

M12CM06 - Conocer la noción de grupo fundamental de un espacio topológico.

M12CM07 - Distinguir espacios topológicos utilizando la homotopía.

M12CM08 - Utilizar espacios recubridores para estudiar propiedades topológicas locales.

M12CM09 -Manejar la noción general de convergencia como herramienta que permita identificar, tratar de obtener resultados en espacios topológicos.

M12CM10 -Adquirir algunas técnicas de construcción de funciones con valores reales, a través de las llamadas escalas.

M12CM11 - Aplicar dichas técnicas a la extensión de funciones (funciones semi-continuas, espacios inyectivos) y al reconocimiento de propiedades topológicas.



RESULTADOS DE APRENDIZAJE



- Manejar la noción general de convergencia como herramienta que permita identificar, tratar y obtener resultados en espacios topológicos.

- Adquirir algunas técnicas de construcción de funciones con valores reales a través de las llamadas escalas.

- Aplicar dichas técnicas a la extensión de funciones (funciones semicontinuas, espacios inyectivos) y al reconocimiento de propiedades topológicas.

- Distinguir espacios topológicos utilizando la homotopía.

- Utilizar espacios recubridores para estudiar propiedades topológicas locales.

1. HOMOTOPÍA DE APLICACIONES Y GRUPO FUNDAMENTAL: Homotopía de aplicaciones. Homotopía de caminos. El grupo fundamental. El grupo fundamental de la circunferencia. Teorema de Seifert-Van Kampen. Ejemplos y aplicaciones.



2. INTRODUCCIÓN A LOS ESPACIOS RECUBRIDORES: Espacios recubridores. Propiedades de levantamiento. Aplicaciones en el cálculo del grupo fundamental de algunos espacios.



3 AXIOMAS DE SEPARACIÓN. EXTENSIÓN DE APLICACIONES CONTINUAS: Espacios normales. Construcción de funciones reales: escalas. Existencia y extensión de funciones continuas: Lema de Urysohn, Teorema de extensión de Tietze.



4. CONVERGENCIA EN ESPACIOS TOPOLÓGICOS: Redes y filtros. Convergencia. Relación entre filtros y redes. Caracterización de algunos conceptos topológicos. Convergencia en productos.

El contenido teórico se expondrá en clases magistrales siguiendo referencias básicas que figuran en la bibliografía y el material de uso obligatorio. Estas clases magistrales se complementarán con clases de problemas (prácticas de aula) en los que se propondrá al alumnado resolver cuestiones en las que se aplicarán los conocimientos adquiridos en las clases teóricas. En los seminarios, se desarrollaran cuestiones y ejemplos representativos del contenido de la asignatura, que generalmente habrán sido facilitados con anterioridad al alumnado para trabajarlos y motivar la posterior reflexión y discusión en la sesión dedicada a ello.



Se propondrán trabajos individuales sobre teoría y problemas, para cuya realización y exposición el alumnado dispondrá del apoyo del profesorado en seminarios periódicos.



Parte importante del trabajo del alumnado es de carácter personal. El profesorado orientará en todo momento ese trabajo y estimulará que se haga con regularidad y dedicación. Se animará igualmente a que utilicen las tutorías personales para aclarar cualquier duda o dificultad que se les presente en las asignaturas.



Se entregará al alumnado unas notas de clase, incluyendo el programa, la teoría con enunciados y demostraciones, relaciones de ejercicios a desarrollar en el aula y propuestos como trabajo personal, y la bibliografía recomendada. Todo este material estará disponible en la plataforma Egela.

• Sistema de Evaluación Final
• Herramientas y porcentajes de calificación:
  • VER ORIENTACIONES (%): 100

Examen final (Peso: 60 %, debe aprobarse esta parte para sumar el resto de las calificaciones)

Criterios:

- Precisión en los razonamientos y en las definiciones.

- Correcta utilización del lenguaje matemático.

- Método correcto de razonamiento, explicando de una manera clara y ordenada los argumentos y pasos intermedios.



Seminarios (Peso: 25 %)

Criterios:

- Respuestas correctas y buena utilización del lenguaje matemático.

- Claridad en los argumentos.

- En las exposiciones orales, orden y precisión.



Resolución de problemas escritos (Peso: 15 %)

Criterios:

- Respuestas correctas y buena utilización del lenguaje matemático.

- Claridad en los argumentos.

- En la entrega de problemas, orden y precisión.



EVALUACIÓN FINAL (en caso de renunciar a la evaluación continua)

Examen escrito: 100%

Examen escrito: 100%

Apuntes y relaciones de ejercicios y problemas propuestos (disponibles en la plataforma Egela).

Bibliografía básica

R. ENGELKING, General Topology, Heldermann Verlag, 1989.

A. HATCHER, Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2001.

J. KELLEY, Topología General, EUDEBA, 1975.

W.S. MASSEY, Introducción a la topología algebraica, Reverté, 1982.

J.R. MUNKRES, Topología, Prentice Hall, 2002.

L.A. STEEN y J.A. SEEBACH, Counterexamples in Topology, Dover, 1995.

O. YA. VIRO, O.A. IVANOV, N. YU. NETSVETAEV y V.M. KHARLAMOV, Elementary Topology: Problem Textbook, AMS, 2008.

S. WILLARD, General Topology, Dover Publications Inc, 2004.

Bibliografía de profundización

L.J. HERNÁNDEZ PARICIO y M.T. RIVAS RODRÍGUEZ, Grupo Fundamental, superficies, nudos y aplicaciones recubridoras, http://www.unirioja.es/cu/luhernan/hfolder/htp.pdf

C. IVORRA CASTILLO, Topología Algebraica (con aplicaciones a la geometría diferencial), http://www.uv.es/~ivorra/Libros/Topalg.pdf

S.A. MORRIS, Topology without tears, http://poincare.matf.bg.ac.rs/~filip/aidt/topbook.pdf

Direcciones web

Página web de A. Hatcher: http://www.math.cornell.edu/~hatcher/

Blog de la asignatura Topología I de R. López Camino (U. de Granada): http://topologia-i.blogspot.com.es/

Blog de Topología de J.L. Rodríguez Blancas (U. de Almería): http://topologia.wordpress.com/

Historia de la Topología: http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/HistTopics/Topology_in_mathematics.html