Esta asignatura se centra en dos importantes aplicaciones de las matemáticas a las tecnologías de la información: los códigos correctores de errores y la criptografía. Así, se estudian las herramientas matemáticas de las que se disponen para que la información pueda transmitirse de forma fiable y segura.



Para ello, se aplican conceptos del álgebra abstracta estudiados en cursos anteriores, como por ejemplo, Álgebra Lineal y Geometría I, Estructuras Algebraicas, Álgebra Conmutativa y Ecuaciones Algebraicas. Conforma módulo con Diseño de Algoritmos, que analiza la complejidad de éstos.



El estudiante adquirirá las técnicas básicas de este área que le capacitarán para su utilización en otros campos de las matemáticas y le permitirán, si lo desea, afrontar un estudio más profundo del álgebra a través de otras asignaturas optativas de cuarto curso.

COMPETENCIAS ESPECÍFICAS

M09CM01 - Entender la idea de la codificación y de que un código detecte y corrija errores.

M09CM02 - Saber utilizar el método de corrección por síndromes.

M09CM03 - Conocer algunos códigos importantes (códigos de Hamming, BCH,...) y sus propiedades.

M09CM04 - Entender la idea de la Criptografía de clave pública.

M09CM05 - Entender los sistemas RSA y Diffie-Hellman.

M09CM06 - Comprender las firmas digitales y los certificados.



RESULTADOS DE APRENDIZAJE

Saber codificar y decodificar mensajes usando códigos lineales utilizando el método adecuado.

Saber calcular la distancia mínima de un código lineal.

Saber calcular la matriz generadora y de control de un código lineal.

Saber encriptar y desencriptar mensajes, usando sistemas criptográficos de clave privada y de clave pública estudiados.

1. CÓDIGOS LINEALES: Introducción. Códigos correctores de errores: definiciones básicas. Distancia de Hamming. Códigos equivalentes. Códigos perfectos. Códigos lineales: definición y primeras propiedades. Matrices generadora y de control de un código lineal. Codificación de un código lineal. Decodificación de un código lineal. Ejemplo de códigos lineales: Códigos de Hamming

2. CÓDIGOS CÍCLICOS: Definición y construcción de los códigos cíclicos. Polinomio generador y matriz generadora de un código cíclico. Polinomio de control y matriz de control de un código cíclico. Codificación y decodificación de un código cíclico. Método de decodificación cíclica. Ejemplo de códigos cíclicos: Códigos BCH.

3. TESTS DE PRIMALIDAD: Tests de primalidad: concepto y tipos. Algunos test de primalidad deterministas. Test de primalidad de Fermat. Números pseudoprimos. Test de primalidad de Miller-Rabin. Números pseudoprimos fuertes.

4. CRIPTOGRAFÍA DE CLAVE PRIVADA: Sistemas criptográficos y sus tipos. Sistemas criptográficos de clave privada: sistemas afines, sistemas criptográficos de Hill, sistemas criptográficos de sustitución y DES. Funciones hash.

5. CRIPTOGRAFÍA DE CLAVE PÚBLICA: Introducción. El sistema criptográfico RSA. El sistema criptográfico de ElGamal. Protocolo de intercambio de claves de Diffie-Hellman. Firmas digitales.



PRACTICAS

Por cada uno de los temas anteriores, se realizará una práctica de ordenador relacionada con los contenidos estudiados en el mismo.

Clases Magistrales: Usando la metodología de lección magistral, se usarán para desarrollar la parte teórica de la asignatura.

Prácticas de Aula: Se resolverán problemas propuestos relacionados con los contenidos teóricos de cada tema.

Seminario: En estas sesiones el estudiante tomará un papel más activo y deberá demostrar la destreza adquirida hasta ese momento en las competencias trabajadas. Dependiendo de la sesión, se realizarán diferentes actividades, como, por ejemplo, realizar trabajos individuales o en grupo, resolver problemas, ... La asistencia a estas sesiones es obligatoria.

Prácticas de Ordenador: Se realizarán sesiones bisemanales de dos horas. La asistencia a estas sesiones es obligatoria. En estas horas, se diseñarán e implementarán programas relacionados con la materia expuesta en las clases magistrales, usando el programa de cálculo simbólico Mathematica.

• Sistema de Evaluación Final
• Herramientas y porcentajes de calificación:
  • Ver Apartado Orientaciones y Renuncia (%): 100

Se evaluarán las competencias teórico-prácticas de la asignatura mediante la realización de las siguientes pruebas:



1.- Examen de teoría, cuestiones y problemas sobre los contenidos teóricos de la asignatura con un porcentaje en la calificación final del estudiante del 80% en la fecha fijada en el calendario oficial de exámenes.

2.- Examen de prácticas de ordenador a realizar en la semana 15 con un porcentaje en la calificación final del estudiante del 10%.

3.- Examen parcial de la asignatura a realizar en las semanas 9 o 10 con un porcentaje en la calificación final del estudiante del 10%.



Para aplicar los porcentajes anteriores es necesario haber obtenido un 4 sobre 10 en el examen final y haber entregado resueltas todas las prácticas de ordenador propuestas en las clases de prácticas de ordenador.

Se realizará una única prueba final en la fecha fijada en el calendario oficial de exámenes en la que se evaluarán todas las competencias teórico-prácticas de la asignatura.



Esta prueba constará de dos partes, que deben ser superadas de forma independiente para poder aprobar la asignatura y que son las siguientes:



1.- Contenido teórico y problemas: Se realizará un examen de teoría, cuestiones y problemas sobre los contenidos teóricos de la asignatura, que tendrá un peso en la calificación final del estudiante del 90%.

2.- Prácticas de ordenador: Se entregarán resueltas las prácticas de ordenador propuestas durante el curso y se realizará un examen de Prácticas de ordenador, que tendrá un peso en la calificación final del estudiante del 10%.



Los estudiantes que superaron la parte de Prácticas de ordenador en la convocatoria ordinaria no es necesario que realicen la segunda parte de la prueba (la correspondiente a prácticas de ordenador), si consideran suficiente la calificación obtenida en la parte de prácticas de ordenador en la convocatoria ordinaria.

Apuntes de clase, relaciones de problemas y relaciones de prácticas de ordenador.

Bibliografía básica

AKRITAS, A.G. Elements of computer algebra with applications, John Wiley and Sons, New York, 1989.

BRESSOUD, D.M. Factorization and primality testing, Springer-Verlag, New York, Iberoamericana, Wilmington, 1989.

HILL, R. A first course in coding theory. Ed. Clarendon Press, 1986.

HOFFSTEIN, J, PIPHER, J, SILVERMAN, J.H. An introduction to mathematical cryptography, Springer Science+Business Media, LLC, 2008.

MUNUERA, J., TENA, J. Codificación de la Información. Universidad de Valladolid, Secretariado de Publicaciones e Intercambio Científico, 1997.

ROMAN, S. Coding and Information Theory, Springer-Verlag, New York, 1992.

STINSON, R. S. Cryptography Theory and Practice, 2nd. ed., Chapman and Hall, Boca Raton, 2002.

Bibliografía de profundización

KOBLITZ, N. A course in number theory and cryptography. Ed. Springer-Verlag.
MENEZES, A.J., VAN OORSCHOT, P.C., VANSTONE, S.A. Handbook of applied cryptography CRC Press.
SMART, N. Cryptography: an introduction. Ed. McGraw-Hill.
VAN LINT, J.H., VAN DER GEER, G. Introduction to coding theory and algebraic geometry. Ed. Birkhäuser.
VAN LINT, J.H. Introduction to coding theory. Ed. Springer-Verlag.

Revistas

Direcciones web

GARCIA, M.A., MARTINEZ, L.,RAMÍREZ, T. Introducción a la Teoría de Códigos. https://ocw.ehu.eus/course/view.php?id=446
QUIROS, A. La Teoría de Códigos: una introducción a las Matemáticas de la transmisión de información http://www.grupoalquerque.es/ferias/2012/archivos/pdf/teoriacodigos.pdf (Artículo de divulgación)