En esta asignatura se presenta la teoría de la integración de Lebesgue y sus propiedades, además de una introducción a los espacios de Hilbert y Banach, lo que constituye la base del Análisis Matemático moderno.



Junto con la asignatura de Análisis Funcional, optativa de cuarto curso, componen el módulo denominado "Ampliación de Análisis Matemático", con el que se pretende que el o la estudiante adquiera una formación básica y horizontal de estas materias que le permitan comprender y aplicar tales conocimientos y habilidades en múltiples direcciones interrelacionadas.



Como conocimientos previos, se recomienda haber cursado las asignaturas de Cálculo Diferencial e Integral I y II.

COMPETENCIAS

M08CM01: Conocer los fundamentos y técnicas básicas de la teoría de la medida y de la integración de Lebesgue.

M08CM02: Relacionar la noción de medida con la de integración.

M08CM03: Conocer y utilizar los teoremas de la convergencia monótona, convergencia dominada, el lema de Fatou, el teorema de Fubini y el teorema del cambio de variable.

M08CM04: Conocer los espacios de Banach y de Hilbert, y clasificar los ejemplos característicos más útiles en el análisis funcional, en particular los espacios de sucesiones y de funciones.

M08CM05: Utilizar con precisión las técnicas específicas de la teoría de operadores en espacios normados y de Hilbert.

M08CM07: Desarrollar con el rigor necesario los resultados fundamentales de la teoría.





RESULTADOS DE APRENDIZAJE

- Comprender los conceptos fundamentales de la teoría de la medida y su aplicación en la definición de la integral de Lebesgue.

- Aplicar los teoremas fundamentales de convergencia para reconocer funciones integrables.

- Conocer los ejemplos básicos de espacios de funciones integrables y sus propiedades métricas.

- Reconocer las características fundamentales de los espacios normados y las transformaciones entre ellos.

- Comprender las nociones de producto escalar y espacio de Hilbert y sus propiedades fundamentales.

1. MEDIDA DE LEBESGUE EN Rn. ESPACIOS DE MEDIDA: La integral de Riemann y sus limitaciones. Medida de conjuntos de Rn: medida exterior y medida de Lebesgue. Conjuntos no medibles. Sigma-álgebras, medidas y espacios de medida: propiedades elementales y ejemplos.



2. LA INTEGRAL DE LEBESGUE Y SUS PROPIEDADES: Integración de funciones simples. Funciones medibles. Integración de funciones positivas y de funciones con signo arbitrario. Teoremas de convergencia para integrales. Diferenciación bajo el signo integral.



3. TEOREMA DE FUBINI Y CAMBIO DE VARIABLE: Integrales de funciones de varias variables. Teoremas de Tonelli y Fubini. Cambio de variable.



4. TEORÍA ELEMENTAL DE LOS ESPACIOS DE HILBERT: Producto escalar. Desigualdad de Cauchy-Schwarz. Espacios de Hilbert. Ortogonalidad y proyecciones. Funcionales lineales: teorema de representación. Sistemas y bases ortonormales.



5. ESPACIOS DE BANACH Y ESPACIOS Lp: Espacio normado. Espacios Lp. Desigualdades de Hölder y Minkowski. Completitud de Lp. Operadores lineales: continuidad y acotación.



Para cada uno de los temas expuestos, se desarrollan los correspondientes problemas y cuestiones prácticas asociados a los contenidos teóricos.

El contenido teórico se expondrá en clases magistrales siguiendo referencias básicas que figuran en la Bibliografía. Estas clases magistrales se complementarán con clases de problemas (prácticas de aula) en los que se propondrá al alumnado resolver cuestiones en las que se aplicarán los conocimientos adquiridos en las clases teóricas.



En los seminarios se desarrollaran cuestiones y ejemplos representativos del contenido de la asignatura, que generalmente habrán sido facilitados con anterioridad al alumnado para trabajarlos y motiven la posterior reflexión y discusión en la sesión dedicada a ello. Este proceso puede ser individual o grupal.



Además, dependiendo de las características del grupo, se implantará la metodología ERAGIN (Ver orientaciones).

• Sistema de Evaluación Continua
• Sistema de Evaluación Final
• Herramientas y porcentajes de calificación:
  • Ver orientaciones (%): 100

Examen escrito: Entre el 65% y el 100% de la nota; hay que conseguir al menos 4 puntos sobre 10 para tener en cuenta la nota obtenida en las otras actividades.



Evaluación de trabajos y participación en los seminarios: hasta el 35%.



En caso de renuncia a la evaluación continua, la evaluación de la convocatoria ordinaria se realizará mediante examen valorado en diez puntos.



ORIENTACIONES: En el caso de implantarse metodologías activas de tipo ERAGIN, el profesor o profesora indicará en la guía del estudiante el valor de la misma en la nota final para cada actividad de evaluación.

Convocatoria extraordinaria: examen escrito el que se preguntará sobre todo el temario de la asignatura. Se puntuará sobre 10 puntos y no se tendrán en cuenta para la nota los trabajos realizados a lo largo del curso.

Aula virtual de la plataforma E-gela para el curso.

Bibliografía básica

J. A. Facenda y F. J. Freniche, Integración de funciones de varias variables, Pirámide, Madrid, 2002.

A. García y Mª J. Muñoz Bouzo, Espacios de Hilbert y Análisis de Fourier: los primeros pasos, Ed. Sanz y Torres, Madrid, 2012.

M. De Guzman y R. Rubio, Integración: teoría y técnicas, Alhambra, Madrid, 1979.

R. Wheeden y A. Zygmund, Measure and integral, Marcel Dekker, 1977.

Bibliografía de profundización

H. Brezis, Análisis Funcional, Alianza, Madrid, 1984.
G. B. Folland, Real Analysis, John-Wiley-Interscience, New York, 1984.
H. L. Royden, Real Analysis, Macmillan, New York, 1963.
W. Rudin, Análisis real y complejo, Alhambra, Madrid, 1979.
T. Tao, An introduction to Measure Theory, American Mathematical Society, 2011.

Revistas

Direcciones web

- https://terrytao.wordpress.com/category/teaching/245a-real-analysis/
- http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-125-measure-and-integration-fall-2003/