En esta asignatura se estudia la teoría de funciones de una variable compleja. A diferencia del caso de las funciones de una o varias variables reales (vistas en las asignaturas Cálculo Diferencial e Integral I y II), todo el interés se centra en el caso derivable, pues las funciones complejas derivables tienen propiedades mucho más ricas. Se estudian algunas de estas propiedades y sus aplicaciones a diferentes ámbitos del análisis real y complejo.



El Análisis Complejo junto con Cálculo Diferencial e Integral I y II forma un módulo. Las tres asignaturas anteriores presentan conjuntamente de forma sistemática los conceptos, técnicas y aplicaciones básicas del cálculo diferencial e integral de una variable, tanto real como compleja, o varias variables reales. Con este módulo se pretende que el estudiante adquiera un conocimiento suficiente que le permita comprender los temas enseñados y aplicarlos en campos diversos.



Para poder seguir la asignatura, es esencial conocer el concepto general de diferenciabilidad enseñado en Cálculo Diferencial e Integral I y II. No es absolutamente esencial, pero sí muy útil, conocer la integración sobre curvas que se enseña en la asignatura Cálculo Diferencial e Integral II.

COMPETENCIAS ESPECÍFICAS:



M15CM18: Conocer las principales propiedades de las funciones de variable compleja. Reconocer las funciones analíticas, las funciones armónicas y las funciones elementales.

M15CM19: Asimilar los enunciados y las aplicaciones de los distintos teoremas integrales de Cauchy.

M15CM20: Desarrollar funciones en series de Taylor y Laurent.

M15CM21: Conocer las principales aplicaciones y consecuencias del teorema de los residuos.

M15CM22: Calcular integrales por el método de los residuos. Aplicarlo al cálculo de integrales impropias.

M15CM23: Conocer las propiedades básicas de las transformaciones conformes y sus propiedades geométricas.



RESULTADOS DE APRENDIZAJE DE LA ASIGNATURA:



Conocer las principales funciones de variable compleja, calcular los residuos y las integrales sobre recintos del campo complejo.

1. EL CUERPO DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS: operaciones con complejos, módulo y argumento, representación polar y forma exponencial, raíces, proyección estereográfica.

2. FUNCIONES ANALÍTICAS: límites y continuidad, derivación, ecuaciones de Cauchy-Riemann, funciones analíticas, funciones armónicas y armónicas conjugadas, extensión analítica.

3. FUNCIONES ELEMENTALES: función exponencial, logaritmos y ramas de la función logaritmo, exponenciales complejas, funciones trigonométricas, hiperbólicas y sus inversas.

4. INTEGRACIÓN COMPLEJA Y TEOREMAS DE CAUCHY: integrales sobre curvas, funciones primitivas, teorema integral de Cauchy, fórmula integral de Cauchy y fórmula generalizada, integral de tipo Cauchy, teorema de Morera, teorema de Liouville. Principio del módulo máximo.

5. SERIES DE TAYLOR Y LAURENT. PUNTOS SINGULARES: sucesiones de funciones y series de funciones, series de potencias, series de Taylor, series de Laurent, clasificación de puntos singulares aislados y su caracterización.

6. RESIDUOS Y SUS APLICACIONES: residuos, teorema de Cauchy de los residuos, cálculo de integrales impropias sobre la recta real, principio del argumento, teorema de Rouché.

7. TRANSFORMACIONES CONFORMES: significado geométrico del módulo y del argumento de la derivada, transformaciones conformes, estudio geométrico de algunas transformaciones.

Clases magistrales: se expondrán los temas teóricos, siguiendo la bibliografía recomendada.



Prácticas de aula: se resolverán en clase problemas y ejercicios propuestos al alumnado, para comprender y elaborar los temas de las clases magistrales.



Seminarios: el profesor o profesora propondrá al alumnado trabajos relacionados con los temas de la asignatura. Las y los estudiantes mostrarán en el seminario el trabajo realizado, exponiéndolo y argumentando lo realizado.

• Sistema de Evaluación Continua
• Sistema de Evaluación Final
• Herramientas y porcentajes de calificación:
  • Ver ORIENTACIONES (%): 100

1.- Examen escrito de teoría y problemas: al menos el 80% de la nota final. En este examen habrá que conseguir al menos 4 puntos sobre 10.



Criterios de evaluación:



-Precisión en los razonamientos y en las definiciones.

-Corrección del lenguaje matemático.

-Métodos de argumentación claros y ordenados, explicando los pasos.

-Exactitud en los resultados de los ejercicios.



2.- Participación en seminarios, trabajos individuales o en grupo, presentaciones, controles periódicos (no necesariamente todas las posibilidades): no más del 20% de la nota final.



Criterios de evaluación:



-Respuestas correctas y buena utilización del lenguaje matemático.

-Claridad en los razonamientos.

-En las explicaciones orales y escritas, orden y precisión.

-Asistencia.





La renuncia a la evaluación continua se podrá realizar hasta la semana 9 del curso, mediante escrito al profesor o profesora de la asignatura.



La evaluación final consistirá en un examen de toda la asignatura. Peso 100%.

- Examen escrito de teoría y problemas: 100% de la nota final.



Criterios de evaluación:



-Precisión en los razonamientos y en las definiciones.

-Corrección del lenguaje matemático.

-Métodos de argumentación claros y ordenados, explicando los pasos.

-Exactitud en los resultados de los ejercicios.

Material distribuido a través de la plataforma eGela:

* Problemas
* Seminarios
* Notas del curso

Bibliografía básica

AGARWAL R. P., PERERA K., PINELAS S. An Introduction to Complex Analysis. Springer, 2011.

APARICIO E. Teoría de funciones de variable compleja. UPV-EHU, 1998.

BROWN J.W., CHURCHILL R.V. Variable compleja y aplicaciones, 7a ed. McGraw-Hill, 2007.

CONWAY J. B., Functions of One Complex Variable. Springer-Verlag, 1986.

DUOANDIKOETXEA, J., RIVAS, J. Analisi Konplexua, EHUko Argitalpen Zerbitzua, 2017.

PALKA, B.P. An introduction to Complex Function Theory. Springer-Verlag ,1991.

STEIN, E.M., SHAKARCHI, R. Complex Analysis. Princeton University Press, 2003.

VOLKOVYSKI I, LUNTS G, ARAMANOVICH I. Problemas de la teoría de funciones de Variable Compleja. MIR, 1972.

Bibliografía de profundización

AHLFORS L. V., Complex Variables. McGraw-Hill, 1978.
LANG S. Complex Analysis. Springer, 1999.
LEVINSON N., REDHEFFER R. M., Curso de variable compleja. Reverté, 1990.
MARSDEN J. E., HOFFMANN M. J., Basic Complex Analysis. W.H. Freeman and Co. USA, 1987.
RUDIN W., Análisis real y complejo. McGraw-Hill / Interamericana de España, 1987.
SHAKARCHI R. Problems and Solutions for Complex Analysis. Springer, 1999.

Direcciones web

Unos apuntes muy adecuados de Martín Rivas (UPV/EHU):
http://tp.lc.ehu.es/documents/problemas.pdf.
Un curso online en:
http://math.fullerton.edu/mathews/complex.html.
Se pueden encontrar muchos cursos escritos, en formato pdf. Por ejemplo: el de George Cain
(http://people.math.gatech.edu/~cain/winter99/complex.html), en inglés, y el de B. Cuartero y F. Ruiz (http://www.unizar.es/analisis_matematico/varcompleja/prg_varcompleja.html), en castellano.
Un curso de Terry Tao:
http://www.math.ucla.edu/~tao/resource/general/132.1.00w/.
Un resumen de los contenidos en Physics Forums:
https://www.physicsforums.com/insights/an-overview-of-complex-differentiation-and-integration/
La página Mathematics Stack Exchange:
https://math.stackexchange.com.