En esta asignatura se ofrece una presentación sistemática de algunos de los métodos y técnicas más importantes del Análisis Numérico en relación a la resolución de sistemas y el cálculo de valores y vectores propios de matrices. Será requisito imprescindible la realización de prácticas de ordenador con MATLAB.



Se profundiza en los conceptos de estabilidad y condicionamiento vistos en la asignatura de Métodos Numéricos I (2º curso) y su aplicación a los algoritmos básicos para la resolución de los problemas de Álgebra Lineal.



Esta asignatura y Resolución Numérica de Ecuaciones Diferenciales, ambas del 4º curso del Grado en Matemáticas, pertenecen al módulo Ampliación de Métodos Numéricos.

COMPETENCIAS

M10CM01 - Conocer los resultados y demostraciones más importantes de las materias propias de este módulo.

M10CM02 - Conocer algunas de las técnicas avanzadas del cálculo numérico y su traducción en algoritmos o métodos constructivos de solución de problemas.

M10CM03 - Comprender los conceptos matemáticos necesarios para el cálculo numérico de valores propios y la resolución numérica de ecuaciones diferenciales.

M10CM04 - Aplicar los conocimientos sobre cálculo numérico de valores propios y solución de ecuaciones diferenciales a la resolución de problemas tanto teóricos como prácticos.

M10CM05 - Utilizar una herramienta computacional en la que se manejen y apliquen algunos de los métodos estudiados, y que sirva como herramienta de apoyo a programas propios.

M10CM06 - Comunicar ideas y resultados relativos a las materias propias de este módulo de manera oral y escrita.



RESULTADOS DE APRENDIZAJE

- Conocer algunas de las técnicas avanzadas del cálculo numérico y su traducción en algoritmos o métodos constructivos de solución de problemas.

- Comprender los conceptos matemáticos necesarios para el cálculo numérico de valores propios y la resolución numérica de ecuaciones diferenciales.

- Aplicar los conocimientos derivados del estudio de los conceptos arriba indicados a la resolución de problemas tanto teóricos como prácticos.

- Utilizar una herramienta computacional en la que se manejen y apliquen algunos de los métodos estudiados, y que sirva como herramienta de apoyo a programas propios.

- Comunicar ideas y resultados relativos a las materias propias de este módulo de manera oral y escrita.

- Conocer demostraciones rigurosas de algunos resultados importantes en las materias propias de este módulo.

- Adquirir de manera autónoma nuevos conocimientos y técnicas.

1.VECTORES Y MATRICES: Vectores, matrices y submatrices. Matrices elementales. Núcleo e imagen de una matriz: rango y nulidad. La factorización LU: algoritmo.

2.NORMAS DE VECTORES Y MATRICES: Normas de vector. Equivalencia de normas. Normas de matriz inducidas.

3. VALORES SINGULARES: Ortogonalidad y matrices unitarias. Valores singulares. Teorema SVD. Pseudoinversa. Aproximaciones de rango menor.

4.PRECISION, CONDICIONAMIENTO Y ESTABILIDAD: Aritmética en punto flotante. Error relativo y dígitos significativos. Condicionamiento. Números de condición. El condicionamiento del problema de resolución de sistemas lineales. Algoritmos estables

5.FACTORIZACION QR Y PROBLEMA DE MINIMOS CUADRADOS: Proyectores ortogonales. Algoritmos de Gram-Schmidt. Reflexiones de Householder. Rotaciones de Givens. Algoritmos. Condicionamiento y estabilidad.

6. VALORES PROPIOS DE MATRICES: Valores y vectores propios. Forma triangular de Schur. Matrices defectuosas. Condicionamiento de valores y vectores propios.

7. ALGORITMOS PARA EL CALCULO DE VALORES PROPIOS. EL PROBLEMA NO SIMETRICO: Método de las potencias. Método de las potencias inversas. Cociente de Rayleigh. Iteración simultánea y algoritmo QR. Análisis de la convergencia. Reducción a forma Hessenberg. Implementación.

8. ALGORITMOS PARA EL CALCULO DE VALORES PROPIOS. EL PROBLEMA SIMETRICO: El algoritmo QR para matrices simétricas. El algoritmo divide y vencerás. Otros algoritmos: bisección y Jacobi. El cálculo de los valores singulares.

9. METODOS ITERATIVOS: Subespacios de Krylov: métodos de Arnoldi y Laczos. Método del gradiente conjugado. Análisis de la convergencia. Precondicionamiento.



TEMARIO PRACTICO

1. Resolución con MATLAB de problemas computacionales relativos a los temas introductorios de la asignatura (resolución de sistemas, normas, valores singulares, rango, factorización QR y valores propios).

2. Diseño de algoritmos con MATLAB para la resolución de problemas de mínimos cuadrados.

3. Diseño de algoritmos para el cálculo de valores propios y valores singulares.

El contenido teórico se expondrá en clases magistrales siguiendo referencias básicas que figuran en la bibliografía y el material de uso obligatorio. Estas clases magistrales se complementarán con clases de problemas (prácticas de aula) en las que se discutirán problemas de aplicación de los conocimientos adquiridos en las clases teóricas que habrán sido previamente propuestos a los estudiantes. En los seminarios se desarrollarán cuestiones y ejemplos representativos del contenido de la asignatura y se expondrán por parte de los estudiantes temas relacionados con el contenido de la asignatura y preparados con antelación en grupos reducidos. Además, se realizarán prácticas de ordenador orientadas a la consecución de las competencias de la asignatura.



Parte importante del trabajo del alumno es de carácter personal. Las profesoras orientarán en todo momento ese trabajo y estimularán que se haga con regularidad y dedicación. Se animará igualmente a que utilicen las tutorías personales donde pueden aclarar cualquier duda o dificultad que se les presente en la asignatura.

• Sistema de Evaluación Continua
• Sistema de Evaluación Final
• Herramientas y porcentajes de calificación:
  • Ver orientaciones (%): 100

La evaluación continua consistirá en la realización de prácticas de ordenador, trabajos individuales o en grupo, prueba parcial, y la exposición de trabajos que se llevará a cabo en los seminarios. Además, el profesorado de la asignatura podrá proponer al alumnado entrevistas, bien individualizadas o con otros compañeros, para la evaluación de trabajos previamente programados. Este sistema de evaluación continua contabilizará el 50% de la nota final. El 50% restante corresponderá al examen escrito final.



Aunque las actividades realizadas durante el curso hayan sido evaluadas, el estudiante que no se presenta a la prueba escrita recibirá la calificación de "no presentado" en la convocatoria ordinaria.



Quienes renuncien a la evaluación continua deberán comunicarlo por escrito al profesorado de la asignatura en un plazo de 9 semanas a contar desde el comienzo del cuatrimestre, y deberán realizar un examen escrito final que contabilizará el 85% de la nota final. El 15% restante corresponde a las prácticas de ordenador, que son ineludibles.



Para aprobar la asignatura el o la estudiante deberá acreditar haber obtenido una calificación superior a 5 en las prácticas obligatorias de ordenador, que contabilizarán el 15% de la nota final, y una calificación superior a 4 en el examen escrito final obligatorio.



El o la estudiante puede renunciar a la convocatoria en aplicación de la normativa vigente: artículo 12 del ACUERDO de 15 de diciembre de 2016 del Consejo de Gobierno de la Universidad del País Vasco/Euskal Herriko Unibertsitatea, por el que se aprueba la Normativa reguladora de la Evaluación del alumnado en las titulaciones oficiales de Grado.

Para aprobar la asignatura en la convocatoria extraordinaria, el o la estudiante deberá acreditar haber obtenido una calificación superior a 5 en las prácticas obligatorias de ordenador y realizar un examen final escrito, en el que deberán obtener una calificación superior a 4. Las prácticas de ordenador contabilizarán un 15% de la nota final. Además, a quienes hubieran obtenido una calificación superior a 5 en las tareas realizadas a lo largo del curso de forma individual o en grupo, se les mantendrá la calificación obtenida, si así lo desean. En tal caso, el peso de dicha calificación contabilizará un 35% de la nota final.

Apuntes de la asignatura (disponibles en egela)
Guía de MATLAB (disponible en egela)

Bibliografía básica

LL. N. TREFETHEN, D. BAU: Numerical Linear Algebra. SIAM. Philadelhia, 1997.

J. W. DEMMEL: Applied Numerical Linear Algebra. SIAM. Philadelhia, 1997.

G. W. STEWART: Matrix Algorithms. Vol I y II. SIAM. Philadelhia, 2001.

D. S. WATKINS: The Matrix Eigenvalue Problem: GR and Krylov Subspace Methods. SIAM.

Philadelhia, 2008.

R. A. HORN, C. R. JOHNSON: Matrix Analysis. Cambridge University Press, 1989.

C. B. MOLER: Numerical Computing with MATLAB. SIAM. Philadelphia, 2004.

Bibliografía de profundización

G. H. GOLUB, Ch. F. VAN LOAN: Matrix Computations. SIAM, Philadelphia, 1996.
G. W. STEWART, J. SUN: Matrix Perturbation Theory. Academic Press, 1990.
F. CHATELIN: Eigenvalues of Matrices. John Wiley and Sons. New York, 1995. SIAM, Philadelhia, 2013.

Revistas

SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications
Numerical Linear Algebra
Linear Algebra and its Applications

Direcciones web

https://people.maths.ox.ac.uk/trefethen/
https://www.cs.berkeley.edu/~demmel/
https://www.mathworks.com/moler/
https://ocw.mit.edu/courses/18-335j-introduction-to-numerical-methods-spring-2019/