"Matematika I" irakasgaiaren Irakaskuntza Emaitzak dira:

- Notazio eta hizkera matematikoak ulertu eta horien erabilpenean trebetasuna lortzen du.

- Adierazpen aljebraikoak ziurtasunez erabiltzen ditu.

- Aldagai bateko kalkulu diferentzialeko oinarrizko nozioak ezagutzen ditu.

- Aljebrako oinarrizko nozioak ezagutzen ditu.

- Hizkera matematikoan adierazitako edukiera ekonomikoa duten nozio eta problemak ulertzen ditu.

- Aldagai bateko funtzioen kalkulu diferentzial eta integraleko problemak planteatu, ebatzi eta interpretatzen ditu.

Horrez gain, irakasgai honen bidez hurrengo zeharkako gaitasunak landuko dira:

- Ezagutza praktikara eramateko gaitasuna (esperotako maila: 1).

- Ikasketa autonomorako gaitasuna (esperotako maila: 1).

I. ZATIA: Aljebra lineala



0.- ATARIKOAK



1.- MATRIZEAK ETA BEKTOREAK. BEKTORE-ESPAZIOA



1.1 Matrizeak. Eragiketak matrizeekin



1.2 Matrize motak



1.3 Bektoreak. Eragiketak bektoreekin. Bektore-espazioa



1.4 Bektore-espazio euklidearra: Bektoreen arteko biderkadura eskalarra. Bektoreen luzera. Ortogonaltasuna



2.- DETERMINANTEAK ETA ALDERANTZIZKO MATRIZEA



2.1 Matrize karratu baten determinantea



2.2 Minore osagarria eta adjuntua



2.3 Determinantearen kalkulua, lerro bateko elementuen garapenaz



2.4 Determinanteen propietateak



2.5 Matrize baten alderantzizkoa. Propietateak



2.6 Alderantzizko matrizearen kalkulua



3.- HEINAREN TEORIA ETA EKUAZIO LINEALETAKO SISTEMAK



3.1 Bektoreen arteko askatasun lineala



3.2 Matrize baten heina



3.3 Matrize baten heinaren kalkulua



3.4 Ekuazio linealetako sistemak. Adierazpen matriziala eta bektoriala



3.5 Cramer-en sistemak



3.6 Sistema homogeneoak



3.7 Sistema linealen sailkapena eta ebazpena. Menpeko ekuazioak. Askatasun graduak



3.8 Ekuazio linealetako sistemak, ekonomian



4.- MATRIZEEN DIAGONALIZAZIOA



4.1 Matrize karratu baten autobalioak eta autobektoreak



4.2 Autobalio eta autobektoreen kalkulua



4.3 Matrizeen diagonalizazioa



4.4 Matrize diagonalizagarriak, ekonomian





II. ZATIA: Kalkulua (aldagai bateko funtzioak)



5.- ALDAGAI BATEKO FUNTZIOAK



5.1 Funtzio kontzeptua. Izate-eremua. Adierazpen grafikoa



5.2 Ohiko funtzioak



5.3 Funtzio baten alderantzizkoa



5.4 Zatika definitutako funtzioak. Balio-absolutuaren funtzioa



5.5 Funtzio konposatuak



Eranskina: Konikoak (zirkunferentzia, elipsea, hiperbola, parabola)



6.- DERIBAZIOA



6.1 Funtzioen limiteak. Funtzio jarraiak



6.2 Deribatua. Esanahi geometrikoa



6.3 Jarraitasuna eta Deribagarritasuna



6.4 Funtzio konposatuen deribazioa (katearen erregela)



6.5 Deribazio-arauak



6.6 Alderantzizko funtzioaren deribatua



6.7 Ondoz-ondoko deribatuak



6.8 Funtzio inplizituak. Deribazioa



6.9 Deribatuak Ekonomian



7.- JARRAITASUNA ETA DERIBAGARRITASUNA: APLIKAZIOAK



7.1 Tarteko balioaren teorema



7.2 Muturreko balioen teorema



7.3 Rolle-ren teorema. Batez besteko balioaren teorema



7.4 Limite indeterminatuak eta l'Hôpital-en erregela



7.5 Funtzio baten diferentziala eta hurbilketa lineala



7.6 Funtzioen hurbilketa polinomikoa. Taylor-en formula



8.- INTEGRAZIOA



8.1 Integral mugatuaren kontzeptua. Esanahi geometrikoa



8.2 Funtzio integragarriak



8.3 Propietateak



8.4 Betez bestekoaren teorema



8.5 Funtzio integrala. Funtzio baten jatorrizkoa



8.6 Barrow-ren erregela



8.7 Integral mugagabea. Propietateak



8.8 Oinarrizko integrazio-metodoak: berehalakoa, ordezkapenaz, zatika



8.9 Integral inpropioak



8.10 Integralaren erabilera ekonomian

Irakasgai honen dozentzia eskolako ordutegi ofizialak jasotzen duen banaketari jarraituz eskola magistral eta ikasgelako praktiketan oinarrituko da.



Eskola magistralei dagozkien saioetan irakasgaia osatzen duten gai ezberdinak landuko dira. Saio hauek izaera teorikoa zein praktikoa izan dezakete. Horrenbestez, izaera teorikoa duten saioen helburua irakasgaiaren egitarauan jasotzen diren kontzeptu eta emaitzak aurkeztu eta justifikatzea izango da zeinetarako irakaslearen azalpenean oinarritutako metodologia erabiliko den. Azpimarratu, gomendatuko oinarrizko eskuliburuen kontsulta irakasgaiaren edukien ulermen maila bermatu zein areagotzeko lagungarriak direla. Bestalde, izaera praktikoa duten saioen helburua ikasleak modu teoriko batean jaso dituen kontzeptuak barneratu eta modu egoki batean erabiltzen ikastea da.



Ikasgelako praktika saioen helburua ikasitako prozeduren ezagutza eta trebetasuna indartzea da. Beraz, saio hauek zuzendutako lanetan oinarritutako saioak izango dira.

Lehenengo deialdian ebaluaketa mistoa izango da. Proba idatzi bat burutuko da, hau da, ikasleak irakasgaiaren programako materiaren inguruko ariketa praktiko edota teorikoz osatutako azken azterketa bat egingo du (zentroak zehaztutako datan) eta ebaluazioaren %70a osatuko du. Honetaz gain, ikasleak ikasturtean zehar burututako lana ebaluatuko da eta ebaluazioaren %30a osatuko du: hau da, ikasturtean zehar bi proba partzial egingo dira eta bakoitzak ebaluazioaren %15a osatuko du.





Nahiz eta proposatutako ebaluaketa mistoa ikasturtean zehar gauzatu, ikasleek eskubidea izango dute azken ebaluazio bidez ebaluatuak izateko, etengabeko ebaluazioan parte hartu zein ez hartu. Eskubide hori baliatzeko, ikasleak etengabeko ebaluazioari uko egiten diola jasotzen duen idatzi bat aurkeztu beharko dio irakasgaiaren ardura duen irakasleari eta, horretarako, bederatzi asteko epea izango du ikastegiko eskola egutegian zehaztutakoarekin bat lauhilekoa edo ikasturtea hasten denetik kontatzen hasita.



Azken ebaluazio bidez ebaluatutak izango diren ikasleei bukaerako proba bakarra egingo zaio, irakasgaiko jakintzak eta gaitasunak bereganatu dituela egiazta dezan.



Ohiko deialdiari uko egiteko, azterketan ez aurkeztearekin nahiko izango da.

UPV/EHUren moodle plataforma informazio biltegi moduan erabiliko da, bertan irakasgaiaren jarraipena beharrezkoak diren materialak jasoko dira: programa, irakaskuntza gida, proposatutako ariketak eta baliabide osagarriak.

Oinarrizko bibliografia

* SYDSAETER, K. y HAMMOND, P.: Matemáticas para el Análisis Económico. Editorial Prentice Hall. Madrid 1996 (1ª edición)



* JARNE, PÉREZ GRASA y MINGUILLÓN.: Matemáticas para la Economía. Álgebra Lineal y Cálculo Diferencial. Ed. McGraw-Hill. 2004.

Gehiago sakontzeko bibliografia

* HOFFMAN, L. y BRADLEY, G.: Cálculo aplicado para Administración, Economía y Ciencias Sociales. Editorial McGraw-Hill. Bogotá 2004 (8ª edición)

* STEWART, J.: Cálculo (conceptos y contextos). Editorial Thomson. México D.F. 2006 (5ª edición)

*SAN MILLÁN, M.A. y VIEJO, F.: Ekonomia Matematikorako Sarrera. EHUko argitalpen zerbitzua. 1996.

* ALEGRE, P y otros: Ejercicios Resueltos de Matemáticas Empresariales (tomos 1 y 2). Editorial AC. Madrid 1991

* BARBOLLA, R. y SANZ, P.: Álgebra Lineal y Teoría de Matrices. Editorial Prentice Hall. Madrid 1998

* CABALLERO, R. y otros: Matemáticas aplicadas a la Economía y a la Empresa. 380 ejercicios resueltos y comentados. Editorial Pirámide. Madrid 1993

* MINGUILLÓN, PÉREZ GRASA Y JARNE. (2004): Matemáticas para la Economía. Libro de ejercicios. Ed. McGraw-Hill