Ikasgaiaren helburua oinarrizko prestakuntza matematikoa ematea da, ikasleentzat beste diziplina batzuetan lagungarria izateko.

Honela,lehenengo zatian segidak eta zenbakizko eta funtziozko serieak landuko dira. Zenbakizko segiden konbergentziatik abiatuz, batura partzialen eta zenbakizko serieen kontzeptua sartuko da. Zenbakizko serieen konbergentziaren analisirako hainbat irizpide ikusiko dira, eta serie batzuen batura lortzen da zehazki eta gutxi gorabeherako moduan. Azkenean, berretura-serieen konbergentzia eta batura ikasiko dira.



Bigarren zatian, aldagai erreal bateko funtzio errealen jarraitutasuna, deribagarritasuna eta diferentziagarritasunaren ikasketarekin hasten da, jarraian, aldagai erreal batzuetako funtzio errealen jarraitutasuna, deribagarritasuna eta diferentziagarritasuna aztertzeko. Funtzio konposatuak, inplizituak eta muturrak ere ikasiko dira.



Hirugarren zatia integral mugagabeei, mugatuei eta inpropioei dagokie.

Azken zatia kurbak eta gainazalak aztertzen hasiko da, eta, hortik abiatuz, integral bikoitzak, hirukoitzak, lerro-integralak eta gainazal-integralak estudiatuko dira. Horrez gain, eremu bektorialen oinarrizko teoremak enuntziatuko dira. Bukatzeko, Ekuazio Diferentzial Arruntak definituko dira eta lehenengo mailakoak ebatziko dira.



Kalkulua irakasgaia Oinarrizko Prestakuntza Moduluan dago, eta ez du behar aldez aurreko betebeharrik. Hala ere, irakasgaia zailtasunik gabe garatu ahal izateko, hurrengo gaien inguruko oinarrizko ezaguera ona izatea ezinbestekoa da: funtzio elementalak (polinomikoak, trigonometrikoak, esponentzialak, logaritmikoak), beraien adierazpide grafikoak eta ikasketa horretarako ezinbestekoak diren oinarrizko tresnak (deribazioa eta integrazioa). Gainera, geometriari buruzko oinarrizko kontzeptuen ezaguera ezinbestekoa da (planoko zein espazioko zuzenaren ekuazioa, planoaren ekuazioa, planoko kurba elementalak). Baita ekuazioen ebazpena eta adierazpen matematikoekin aritzeko era ere. Arlo hauek guztiak Batxilergoko 2. Mailan estudiatzen dira.



Prestakuntza Modulu berean kokatzen den Aljebra lineala irakasgaiarekin batera ematen da. Irakasgai biak Graduko lehenengo mailan ematen dira, eta Matematika Aplikatua arloko gainerako irakasgaien oinarria osatzen dute.



Ikasgaiaren konpetentziak lortzen dituen ikaslea ingeniaritza arloan agertzen diren problema matematikoak ebazteko gai izango da.



Kalkulua irakasgaia gainditzen duen ikaslea gai izango da kalkulu diferentzialean eta integralean, zenbakizko algoritmikoan eta optimizazioan ezaguerak aplikatzeko.

Diziplina hauek oinarrizkoak dira graduko gainerako moduluen irakasgaiak ikasteko. Baita Ingeniaritza Elektrikoa, Mekanikoa, Energetikoa, Kimikoa, eta, oro har, Industria Ingeniaritzako edozein diziplinarako ere.

Irakasgai hau Oinarrizko Prestakuntza Moduluan kokatzen da. Ikasgaiaren konpetentziak lortzen dituen ikaslea ingeniaritza arloan agertzen diren problema matematikoak ebazteko gai izango da. Ikaslea gai izango da kalkulu diferentzialean eta integralean, zenbakizko algoritmikoan eta optimizazioan ezaguerak aplikatzeko (M01CM01 gaitasuna).



Irakasgaia ikastearen emaitzak honako hauek izango dira:

1.- Kalkuluko oinarrizko kontzeptuen azalpen argia eta ordenatua (CM01).

2.- Erabat zehazturiko problemen ebazpen arrazoitua, gertaera baten hainbat adierazpen egokiro erabiliz, urrats guztiak argi, koherentziaz eta zorrotz justifikatuz, eta lortutako emaitzak zuzen interpretatuz (CM01).

3.- Ahozko edo idatzizko lanen aurkezpena, non moduluan lortutako ezaguerak kasu praktikoetan eta industria ingeniaritzako problema orokorretan aplikatzen diren (CM01).

1. ATALA:

0. GAIA:ALDEZ AURREKO KONTZEPTUAK

1. GAIA:SEGIDAK

2. GAIA:ZENBAKIZKO SERIE ERREALAK

3. GAIA:BERRETURA SERIEAK

4. GAIA:BERRETURA SERIEZKO GARAPENAK



2. ATALA:

5. GAIA:ALDAGAI ERREALEKO FUNTZIO ERREALEN LIMITEAK ETA JARRAITUTASUNA

6. GAIA:ALDAGAI ERREALEKO FUNTZIO ERREALEN DERIBATU PARTZIALAK ETA DIFERENTZIAGARRITASUNA

7. GAIA:ALDAGAI ERREALEKO FUNTZIO ERREALEN DERIBATU DIREKZIONALA ETA GRADIENTEA

8. GAIA:ALDAGAI BEKTORIALEKO FUNTZIO BEKTORIALA

9. GAIA:FUNTZIO KONPOSATUAK

10. GAIA:FUNTZIO INPLIZITUAK

11. GAIA:FUNTZIO ERREALEN MUTURRAK

12. GAIA:INTEGRAL PARAMETRIKOAK



3. ATALA:

13. GAIA:KURBAK ETA GAINAZALAK

14. GAIA:INTEGRAL BIKOITZA

15. GAIA:INTEGRAL HIRUKOITZA

16. GAIA:LERRO-INTEGRALA

17. GAIA:GAINAZAL-INTEGRALA

18. GAIA:EREMU BEKTORIALAK

19. GAIA:EKUAZIO DIFERENTZIAL ARRUNTEN SARRERA



MINTEGIAK:

- FUNTZIO ELEMENTALAK

- ALDAGAI ERREAL BATEKO FUNTZIO ERREALAK. LIMITEA.

- ALDAGAI ERREAL BATEKO FUNTZIO ERREALEN JARRAITUTASUNA.

- ALDAGAI ERREAL BATEKO FUNTZIO ERREALEN DERIBATUA ETA DIFERENTZIALA.

- RIEMANN-EN INTEGRAL MUGATUA.

- INTEGRAZIO METODOAK

- INTEGRAL MUGATUAREN APLIKAZIOAK.

- INTEGRAL INPROPIOA.

Ikasgaiaren kontzeptuak azaltzeko klaseak emango dira. Ikasleak parte hartu ahal izango du kontzeptu horien inguruko sortuko diren noizbehinkako eztabaidetan. Irakaslegoak irakaskuntza metodologi aktiboak eta zeharkako konpetentziak erabili ditzake bai gelaren barruan eta gelaren kanpoan ere.

Ikasgelan problemak ebatziko dira guztien parte hartzea bultzatuz. Banan-banan edo taldetan ebatziko diren ariketak emango zaizkie ikasleei. Honela, gaiaren ezaguera teorikoa sakontzeko, eta Kalkulua beste arloekin erlazionatzeko aukera izango dute.

Mintegietan, berriz, irakaskuntzarako metodologia ezberdinak erabiliko dira, gehien bat problemen ebazpena.

Baliabide informatikoak eta bibliografikoak erabiliz, ikasle bakoitzaren lan autonomoa indartzen saiatuko da, ikasgaiaren arlo ezberdinak ulertzen laguntzeko.



Mintegietan hurrengo gaiak garatuko dira:

- FUNTZIO ELEMENTALAK

- ALDAGAI ERREAL BATEKO FUNTZIO ERREALAK. LIMITEA.

- ALDAGAI ERREAL BATEKO FUNTZIO ERREALEN JARRAITUTASUNA.

- ALDAGAI ERREAL BATEKO FUNTZIO ERREALEN DERIBATUA ETA DIFERENTZIALA.

- RIEMANN-EN INTEGRAL MUGATUA.

- INTEGRAZIO METODOAK

- INTEGRAL MUGATUAREN APLIKAZIOAK.

- INTEGRAL INPROPIOA.

• Ebaluazio Jarraituaren Sistema
• Azken Ebaluazioaren Sistema
• Kalifikazioko tresnak eta ehunekoak:
  • Garatu beharreko proba idatzia (%): 85
  • Mintegietan egindako frogen batura %15a. Froga horiek bere idatzizko frogak izan ditzakete, praktikak (ariketak edo problemak), banakako lanak, taldeko lanak, lanen aurkezpena. (%): 15

Ohiko deialdiaren nota hurrengo moduan banatzen da:



* Irakasgaiaren azken notaren %15a Mintegietan ikusitako edukiaren ebaluazioari dagokio. Ebaluazio hori mintegietan bertan zein klase Magistraletan burutu ahal izango da. Oro har, gaiarekin erlazionaturiko idatzizko froga labur baten ebazpena izango da, baita entregatu behar den lan bat edo ikasgelan egin beharreko aurkezpena izan badaiteke ere.



* Irakasgaiaren azken notaren %85a klase magistraletan emandako edukiarekin bat dator, eta, hurrengo moduan banatzen da:

- 1. IDATZIZKO FROGA: Bere balioa %25-ekoa da, eta, irakasgaiaren 1. ataleko edukiak sartuko dira. (4. gaiara arte). Froga hau hemen adierazitako irakasgaiaren edukin guztiak klase magistraletan amaitzerakoan egingo da (gutxi gorabehera, 9. edo 10. astean).

- 2. IDATZIZKO FROGA: Bere balioa %30-ekoa da, eta, irakasgaiaren 2. ataleko edukiak sartuko dira. (5-12 gaiak). Froga hau hemen adierazitako irakasgaiaren edukin guztiak klase magistraletan amaitzerakoan egingo da (gutxi gorabehera, bigarren lauhilabetekoaren 6. edo 7. astean).

- 3. IDATZIZKO FROGA (bigarren lauhilabeteko azterketen ohiko deialdiaren data ofizialena egingo da): Bere balioa %30-ekoa da, eta, irakasgaiaren 3. ataleko edukiak sartuko dira. (13-19 gaiak).



Ikasgaia ohiko deialdian gainditzeko, 3. idatzizko frogan 10 puntutik gutxienez 3 puntuko nota atera behar da. Eta, horrez gain, irakasgaiaren zati guztien bataz besteko nota haztatua (idatzizko hiru frogen eta mintegien noten bataz bestekoa, hain zuzen ere) 10etik 5 puntukoa, gutxienez, izan behar da. Nota haztatua 5 edo handiagoa bada, baina idatzizko hirugarren probako nota 3 baino txikiagoa bada, ohiko deialdiko nota 4,5 izango da, suspentsoa, hain zuzen ere.



EBALUAZIO JARRAITUARI UKO EGITEA:



Ikasleak eskubidea izango du azken ebaluazio bidez ebaluatua izateko. Ikasleak etengabeko ebaluazioari uko egin nahi badio, idatzi bat aurkeztu beharko dio irakasgaiaren ardura duen irakasleari Maiatzaren lehenengo eguna baino lehen. Hori eginez gero, ikasleak irakasgai osoaren edukiari dagokion azterketa bat izango du, azterketen aldi ofizialean. Azterketaren nota irakasgaiaren notaren %100 izango da. Hala ere, azterketaren dizeinuak etengabeko ebaluazioan ezarritako portzentaiak mantendu ditzake (Mintegietako edukiarena %15a eta klase magistralen edukiera %85a).



OHIKO DEIALDIARI UKO EGITEA:

Atal honetan bi kasu ezberdin egongo dira:

- 1. KASUA, AURRETIK EBALUAZIO JARRAITUARI UKO EZ EGINDA: Ikasleak aurretik ebaluazio jarraituari uko egin ez badio, ohiko deialdiari uko egin diezake. Horrela, ohiko deialdian bere kalifikazioa "Ez aurkeztua" izango da. Ikasle hauek ohiko deialdiari uko egin behar diote klaseak amaitu baino 15 egun lehenago.

- 2. KASUA, AURRETIK EBALUAZIO JARRAITUARI UKO EGINDA: Ikasleak aurretik ebaluazio jarraituari uko egin badio, bigarren lauhilabeteko ohiko deialdiaren azterketaren datan aurkezten ez bada bere kalifikazioa "Ez aurkeztua" izango da.



Ikasleek debekatuta izango dute liburuak, oharrak edo apunteak erabiltzea, bai eta tresna edo gailu telefoniko, elektroniko, informatiko edo bestelakoak erabiltzea ere, kalkulagailuak barne.



Atal honetan aipatzen ez den edozein alderdi unibertsitateak esarritako arauen arabera gidatuko da.



IRAKASGAIAN EGINGO DIREN ALDAKETAK EBALUAZIOA ERA PRESENTZIALEAN EGITEN EZ BADA:

Dokumentu honetan aurkezten den ebaluazio metodologia era presentzialean ezin badaiteke egin, adibidez COVID-19 dela eta, planteatzen diren idatzizko froga guztiak on-line modalitatean egingo dira. Horretarako UPV-EHU-k ematen dizkigun tresnak erabiliko dira: Egela, Galdetegiak, online lankidetza-plataformak (hala nola Webex, BlackBoardCollaborate, etab.), etab.

Ebaluazioa azterketa bakar baten bidez gauzatuko da, bere edukia irakasgai osoaren ikasgai zerrendari dagokiona, Mintegietan amandakoa barne, eta bere balioa azken notaren %100a izango dena.



Irakasgaia Ez Ohiko Deialdian aprobatzeko nota 5 puntukoa hamarretatik izan behar da



Ikasleek debekatuta izango dute liburuak, oharrak edo apunteak erabiltzea, bai eta tresna edo gailu telefoniko, elektroniko, informatiko edo bestelakoak erabiltzea ere, kalkulagailuak barne.



Atal honetan aipatzen ez den edozein alderdi unibertsitateak esarritako arauen arabera gidatuko da.

EZINBESTEKOA
- "Kalkulua. Teoria eta ariketak". Bilboko IGET-ko argitalpen zerbitzua
- "Kalkulua. Mintegiak". Bilboko IGET-ko argitalpen zerbitzua

Oinarrizko bibliografia

OINARRIZKOA

- "Exámenes Resueltos de Cálculo Infinitesimal 1996-2005". Servicio editorial UPV/EHU.

- "Cálculo Infinitesimal de una Variable". Burgos J. Ed. Mc. Graw-Hill.

- "Cálculo Infinitesimal de varias Variable". Burgos J. Ed. Mc. Graw-Hill

Gehiago sakontzeko bibliografia

SAKONTZEKOA
- "Introducción al Análisis Matemático" Bartle RG, Ed Limusa
- "Calculus", Apostol. Ed Reverte
- "The Elements of Real Analysis" Bartle, R.G. Ed. Jhon Wiley and Sons.
- "Matemáticas Avanzadas para Ingeniería". Kreyszing. Ed. Limusa.
- "Matemáticas Avanzadas para Estudiantes de Ingeniería". Kaplan, Ed. Addison Wesley.
- "Problemas de Cálculo Infinitesimal e Integral". Bronte R.
- "Cálculo I", Larson, Hostetler y Edwards, Mc. Graw-Hill
- "Cálculo II", Larson, Hostetler y Edwards, Mc. Graw-Hill

Web helbideak

http://www.ehu.es
http://www.ehu.es/olatzgz (irakasgaiari buruzko bideoak, aurreko urteetako azterketa ebatzita)