Irakasgai hau lehen lauhilekoa da eta Oinarrizko Prestakuntzako Moduluaren barne dago. Unibertsitateak ikasleentzako aldaketak dakartza, bai ingurunearen berritasunagatik eta baita bertan garatutako metodologiengatik ere. Gainera,irakasgaiak abstrakzio-maila eskatzen du, kontzeptu teoriko desberdinak bereganatzeko.



Irakasleak gaitasunak eta helburuak beteko direla bermatuko dituen arren, ikasleek bere heziketan lortutako trebetasunak berreskuratu beharko dituzte eta ikasten den materia berria egunean eramaten ere saiatu beharko dira.



Ikasleek kontuan hartu behar dute Ingeniaritza Gradua egiten ari direla eta Matematika irakasgaiek (Aljebra, Kalkulu eta Ingeniaritzako Metodo Estatistikoak lehenengo ikasturteko ECTS-ren %40 dira), beste irakasgaietarako ez ezik, titulazioan zehar ere funtsezkoak diren tresnak eta ebazpen prozedura emango dizkietela.



Irakasgaia arrakastaz gainditzeko hurrengo gaitasun espezifikoak beharko dira:

- Ideiak ordenez, argitasunez, laburtasunez eta zuzentasunez adieraztea, lengoaia sinboliko matematiko aproposa erabiliz.

- Oinarrizko aritmetika, funtsezko geometria menperatzea eta buruzko kalkuluak azkar egitea.

- Emaitza abstraktuak geometrikoki adieraztea eta interpretatzen jakitea.

- Kalkulu batzuk menperatzea: matrizeen eta determinanteen arteko eragiketak, ekuazio linealetako sistemak ebaztea, oinarrizko funtzioen jatorrizko funtzioak lortzea, oinarrizko funtzioen integral mugatuen eta mugagabeen ebazpena.

- Testu matematikoak irakurtzeko, ulertzeko eta bereganatzeko ahalmena izatea.



Gainera, talde lanerako gaitasuna eta jarrera, apunteen hartze aproposean, bibliografikoaren bilaketan eta irakurmenean oinarritutako ikasketa teknika onak garatzea, eta azkenik, ebaluazio jarraituak eskatzen duen eguneroko lana aurrera eramateko motibazio, erantzukizun, konpromiso eta exijentzia izatea.

Gaitasunak ezagutza, trebetasuna eta abilezia, jarrera eta balioen uztarketak dira, beharrezkoak direnak bizitzan aurre egiteko eta ingurune edo erakunde batean lanbidean jarduteko. Gaitasuna eskuratu, garatu eta praktikan frogatzen da.



GAITASUN ESPEZIFIKOAK:



FB1 - Ingeniaritzan plantea daitezkeen problema matematikoak ebazteko gaitasuna. Aljebra lineala; geometria; geometria diferentziala; kalkulu diferentziala eta integrala; ekuazio diferentzialak eta Deribatu partzialak; zenbakizko metodoak; zenbakizko algoritmikoa; estatistika eta optimizazioari buruzko ezagutzak aplikatzeko gaitasuna.



FB3 – Ordenagailuen erabilerari eta programazioari, sistema eragileei, datu-basei eta informatikako programei buruzko oinarrizko ezagutzak ingeniaritzako aplikazioetarako.



ZEHARKAKO GAITASUNAK:



C12 - Etengabeko prestakuntzarako beharrezkoa den lan-jarrera arduratsua eta ordenatua izatea, eta ikasteko prest egotea,.



C13 - Metodologia zientifikoaren berezko estrategiak aplikatzea: egoera eta problematika kualitatiboa eta kuantitatiboa aztertzea. Hipotesiak eta irtenbideak planteatzea ingeniaritza industrialaren berezko ereduak erabiliz.



C14 - Taldean eraginkortasunez lan egitea, ingeniaritzaren arloan erabakiak hartzeko gaitasunak eta ezagutzak erabiliz.





Lortu beharreko Irakaskuntza Emaitzak ondorengoak dira:



IE1.- Ikuspuntu aljebraikoa eta zenbakizko ikuspuntua era eraginkor batean erabiliz, ingeniaritzan ohikoak diren arazoak aztertzeko geometriari eta aljebra linealari buruzko kontzeptuak identifikatzea eta erlazionatzea.



IE2.- Ingeniaritzan arruntak diren egoera konplexuetatik jasotako informazioa era optimo batean kudeatuz, lortutako emaitzak abiapuntu bezala hartuta, era kritiko batean onargarriak diren ondorioak (arrazoituak eta justifikatuak) garatzea.



IE3.- Egokiak diren lengoaia, terminologia eta baliabideak erabiliz ahoz zein idatziz lortutako metodologiak eta gaitasunak adieraztea.

MATRIZEEN TEORIA.

Matrizeak. Matrize motak. Matrizeen arteko eragiketak: matrizeen arteko batuketa, matrize eta eskalar baten biderkadura, matrizeen arteko biderketa, matrize karratuen berreketa (indukzio metodoa). Matrize iraulia. Matrize baten determinantea. Determinanteen propietateak. Matrize baten heina. Matrize baliokideak: errenkaden/zutabeen oinarrizko eragiketak. Alderantzizko matrizea. Matrize mota bereziak: matrize simetrikoa, matrize antisimetrikoa, matrize periodikoa, matrize idenpotentea, matrize inbolutiboa, matrize nilpotentea eta matrize ortogonalak.



EKUAZIO LINEALETAKO SISTEMAK.

Ekuazio lineala eta ekuazio lineal homogeneoa. Ekuazio linealetako sistema: ekuazio linealetako sistema homogeneoa eta ez homogeneoa. Ekuazio linealetako sistemen adierazpen ezberdinak: adierazpen orokorra, adierazpen matriziala eta adierazpen bektoriala. Ekuazio linealetako sistemaren soluzioa. Ekuazio linealetako sistemen sailkapena: sistema bateragarri determinatua, sistema bateragarri indeterminatua eta sistema bateragarria. Rouche-Frobenius-en teorema. Ekuazio linealetako sistemen ebazpena: Gauss-en metodoa, Gauss-Jordan-en metodoa.



DIMENTSIO FINITUKO ESPAZIO BEKTORIALAK.

Espazio bektoriala. Zenbait espazio bektorial: n dimentsioko espazio bektoriala, mxn dimentsioko matrize errektangeluarren espazioa, n mailako eta maila txikiagoko polinomion espazio bektoriala. Azpiespazio bektoriala. Konbinazio lineala. Bektore sistema finitu batek sortutako azpiespazio bektoriala. Sistema sortzailea. Dependentzia eta independentzia lineala: bektore sistema asketa eta bektore sistema lotua. Espazio bektorialaren oinarria eta dimentsioa. Oinarri ez-osoaren teorema. Bektore baten koordenatuak. Oinarri aldaketa. Azpiespazio bektorialen arteko eragiketak: ebakidura, batura eta batura zuzena.



ESPAZIO BEKTORIAL EUKLIDEARRAK.

Biderkadura eskalarra: definizioa. Espazio bektorial euklidearrak. Zenbait espazio bektorial euklidear: n dimentsioko espazio bektorial erreala, mxn dimentsioko matrize errektangeluarren espazioa, n mailako eta maila txikiagoko polinomioen espazio bektoriala. Norma, distantzia eta angelu euklidearrak. Biderkadura eskalar baten adierazpen matriziala (Gram matrizea). Ortogonalitatea eta ortonormalitatea: bektore ortogonalak, bektore unitarioak. Bektore sistema ortogonala eta bektore sistema ortonormala. Bektore sistema ortogonalen propietateak. Bektore baten proiekzio ortogonala. Gram-Schmidt-en ortogonalizazio metodoa. Azpiespazio bektorial baten azpiespazio ortogonala. Hurbilketa lineala espazio bektorial euklidearretan. Ekuazio linealezko sistema bateraezin baten soluzio hurbildua (Karratu Txikien Metodoa).



MATRIZE KARRATUEN DIAGONALIZAZIOA.

Matrize karratu baten balio propioak eta bektore propioak: matrize baten espektroa. Polinomio karakteristikoa eta ekuazio karakteristikoa. Balio propio eta bektore propioen kalkulua. Balio propio bati elkartutako azpiespazio bektorial propioa. Balio propio eta bektore propioen propietateak. Balio propio baten anizkoiztasun aljebraikoa eta anizkoiztasun geometrikoa. Antzeko matrizeak. Matrize karratuen diagonalizazioa. Matrize erreal eta simetrikoen diagonalizazio ortogonala. Cayley-Hamilton-en teorema.

Irakasleriak egokitutako irakaskuntza motaren menpekoak diren metodologiak garatzen ditu (ikaslea matrikulatua dagoen taldeko irakasgai-taldearen irakaskuntza gidan begiratu).



ESKOLA MAJISTRALA (EM)

Irakasgai-zerrendan dauden gaietako kontzeptu teorikoak garatzen dira, ikasleak probetxua ateratzeko klase bakoitza aurretik prestatu beharko du. Irakaskuntza mota honetan, aurretiko ikasketan sortutako zalantzak argitzen dira, adibideak erabiliz irakasgai-zerrendako atal garrantzitsuenak azaltzen dira eta ebazpenean egin beharrekoa pausuak arrazoitzeko galdera irekiak planteatzen dira.

Batez ere, irakasgaiko gaitasun espezifikoak garatzen dira, ondorengo irakaskuntza emaitzak helburutzat izanik: gai bakoitzean funtsezkoak diren edukiak menperatzea, lengoaia sinboliko matematiko era egokian erabiltzea eta ariketa edo lan bat egiteko ebazteko beharrezkoak diren ezaguera matematikoak identifikatzea, ulertzea eta aztertzea.

Ikasleak klasean duen inplikazio maila behatuko da.



IKASGELAKO PRAKTIKAK (IP)

Gelan ikasitako teoriarekin erlazionatutako ariketak planteatzen dira. Ariketa hauek eskola magistraletan egindako adibideak baino zailagoak dira, batzuetan, Ingeniaritza arloan ematen diren egoerei buruzko aplikazio sinpleak aztertzea posible izanik. Jarduera hezigarriak zuzentasunez egiteko funtsezkoa da ikasleak klasetik kanpo aurretiaz lan egitea. Ebaluatuko diren jarduerak bakarka egingo dira.

Metodologia honen bidez deskribatutako gaitasun guztiak lantzen dira, bai gaitasun espezifikoak bai zeharkako gaitasunak.

Esperotako irakaskuntza emaitzak funtsezkoak diren edukiak menperatzearekin, egoera problematikoen ebazpen egokiarekin eta emaitzen interpretazioarekin erlazionatuta daude.



ORDENAGAILUKO PRAKTIKAK (OP)

Konputazio-Sistema Aljebraiko bat erabiliz gai-zerrendarekin erlazionatutako ariketak ebazten dira. Horrela, mota honetako software matematiko batek kalkulurako daukan potentzia erabiliz, eskola magistraletan eta ikasgelako praktiketan ikasitako kontzeptuak sendotzen dira.

Praktikak deskribatutako zenbait gaitasun lortzeko tresna eraginkorra dira. Horretaz gain, kalkulu zailak eskuz ez egitea ahalbideratzen duenez Ingeniaritzan sarritan ematen diren egoerak planteatzeko aukera ematen dute.

Zeharkako gaitasunak ere barnean daude, lan kooperatiboa egin daitekeelako eta programak berak duen terminologia eta sintaxia erabiltzea funtsezko delako.

Irakaskuntza emaitzak Ikasgelako Praktiketan daudenez gain, tresna informatikoa trebetasunez erabiltzea eta informazioa modu eraginkor batean bilatzeko gaitasuna izatea dira.

• Ebaluazio Jarraituaren Sistema
• Azken Ebaluazioaren Sistema
• Kalifikazioko tresnak eta ehunekoak:
  • Garatu beharreko proba idatzia (%): 50
  • Praktikak egitea (ariketak, kasuak edo buruketak) (%): 25
  • APLIKAZIOAK TRESNA INFORMATIKOA ERABILIZ (%): 25

1. Graduko Titulazio Ofizialetako Ikasleen Ebaluaziorako Arautegian zehaztutako baldintzak jarraituko dira

2. Ebaluazioa jarraitua izango da, nagusiki. Hala ere, ikasleak eskubidea izango du ebaluazio finalaren bidez ebaluatua izateko

3. Ebaluazio jarraituari uko egin nahi dion ikasleak, taldeko irakasle arduradunari eskabide bat helarazi beharko dio. Eskabide hau betetzeko agiria ikasturte hasieratik UPV/EHUko irakaskuntza plataforman eskuragarri egongo da

4. Ebaluazio jarraitua

4.1 Lauhilekoan zehar proba ebaluagarriak egingo dira:

- Praktikak eta kontrolak (ariketak, kasuak edo buruketak)

- Aplikazioak tresna informatikoa erabiliz

- Bukaerako ariketa

4.2 Irakasgaia gainditzeko nahitaezko baldintzak hurrengoak dira:

- Praktika eta kontroletan lortutako noten batezbesteko haztatua atal horietan ezarritako puntuazio maximoaren %35a baino handiagoa izatea

- Tresna informatikoa erabiliz egindako probetan lortutako noten batezbesteko haztatua atal horietan ezarritako puntuazio maximoaren %35a baino handiagoa izatea

- Bukaerako ariketa idatzian gutxienez nota maximoaren %40a lortzea

4.3 Beharrezko baldintzak betez gero, irakasgaiaren kalifikazioa lortzeko ikasleak egindako proba ebaluagarri desberdinetan lortutako noten batura haztatua egingo da, honako irizpidearen arabera:

- Bukaerako proba idatzia: % 50

- Praktikak eta kontrolak (ariketak, kasuak edo buruketak): % 25

- Aplikazioak tresna informatikoa erabiliz: % 25

4.4 Beharrezko baldintzak ez badira betetzen, ikasleak "Gutxiegi" kalifikazioa izango du

5. Ebaluazio finala

5.1 Ebaluazioa irakasgaiaren gaitasun nahikotasuna bermatzen duen bukaerako ariketa baten bidez egingo da, ondorengo baremoa kontutan hartuz:

- Proba teoriko-praktikoa: 75%

- Tresna informatikoari buruzko ezagutza proba: 25%

5.2 Irakasgaia gainditzeko nahitaezko baldintza, proba teoriko praktikoan gutxienez nota maximoaren %40a eta tresna informatikoari buruzko ezagutza proban %35a lortzea dira

6. Data ofizialean azterketa finalera aurkezten ez den ikasleak "ez aurkeztua" kalifikazioa izango du

7. Besterik adierazi ezean, UPV/EHUko ebaluazio probetan ikasleek debekatuta izango dute liburuak, oharrak edo apunteak erabiltzea, bai eta tresna edo gailu telefoniko, elektroniko, informatiko edo bestelakoak erabiltzea ere

8. Lehenetsiko diren ebaluazio motak proba presentzialak izango dira. Baina irakaskuntza plataforma bidezko online galdetegiak ere egon daitezke. Hala ere, agintari akademikoek ebaluazioaren zati bat edo ebaluazioa bere osotasunean era ez presentzialean egin beharko litzatekeela erabakitako salbuespen kasuetan, proba presentzialak ordezkatuko dituzten probak diseinatuko dira, beti ere ebaluazio-portzentajeak mantenduz. Proba hauek irakaskuntza plataforman jarritako aktibitate/atazen bidez eta BlackBoard Collaborate sesioak erabiliz egingo dira

1. Graduko Titulazio Ofizialetako Ikasleen Ebaluaziorako Arautegian zehaztutako baldintzak jarraituko dira

2.Taldeko irakasle arduradunari, idatziz egindako eskaera baten bitartez, kontrakoa adierazi ezean, ebaluazio jarraituaren batezbesteko haztatua % 50ekoa edo handiagoa bada soilik (hau da, 10 puntutik gutxienez 5 puntu lortzen direnean soilik), ezohiko deialdirako gordeko da. Eskaera gutxienez ezohiko deialdiko ariketa baino zazpi egun lehenago helarazi beharko da. Eskabide hau betetzeko agiria UPV/EHUko irakaskuntza plataforman eskuragarri dago. Ebaluazio jarraitua mantentzen duenari, ohiko deialdian jarraitutako irizpide berdinekin haztatuko zaio

3. Gainerako ikasleentzat ebaluazio finala aplikatuko da, irakasgaiko arduradunak diren irakasleek erabakitako jarduera eta azterketa kopurua izango du. Ebaluazioa irakasgaiaren gaitasun nahikotasuna bermatzen duen bukaerako ariketa baten bidez egingo da. Ondorengo baremoa kontutan hartuz:

- Ariketa teoriko-praktikoak: % 75

- Tresna informatikoari buruzko ariketak: % 25

4. Irakasgaia gainditzeko nahitaezko baldintza, proba teoriko praktikoan gutxienez nota maximoaren %40a eta tresna informatikoari buruzko ezagutza proban %35a lortzea dira

5. Data ofizialean azterketa finalera aurkezten ez den ikasleak "ez aurkeztua" kalifikazioa izango du

6. Besterik adierazi ezean, UPV/EHUko ebaluazio probetan ikasleek debekatuta izango dute liburuak, oharrak edo apunteak erabiltzea, bai eta tresna edo gailu telefoniko, elektroniko, informatiko edo bestelakoak erabiltzea ere

7. Lehenetsiko diren ebaluazio motak proba presentzialak izango dira. Hala ere, agintari akademikoek ebaluazioa era ez presentzialean egin beharko litzatekeela erabakitako salbuespen kasuetan, proba presentzialak ordezkatuko dituzten probak diseinatuko dira, beti ere ebaluazio-portzentajeak mantenduz. Proba hauek irakaskuntza plataforman jarritako aktibitate/atazen bidez eta BlackBoard Collaborate sesioak erabiliz egingo dira

Ez da material zehatz bat erabiltzera derrigortzen.

Ikasleak klaseak prestatzeko eta ikasteko, UPV/EHUko Irakaskuntza Plataforman irakasleak jarritako material didaktiko ugari dauka.
Bestalde, bibliografian informazio gehigarria lortzeko erabilgarriak diren iturri desberdinak aipatzen dira.

Dena den, ikasleak, talde bakoitzaren arduraduna den irakasleak idatzitako Irakasgai-Taldea Irakaskuntza Gida (Ikasleen Gida) irakurri beharko du. Gida honetan irakasleak idatziz irakasgaia emateko landutako Irakaskuntza Plana zehaztuko du. Gida hau ikasturtearen hasieratik UPV/EHUko Irakaskuntza Plataforman egongo da.

Oinarrizko bibliografia

E. Alberdi, A. Unzueta, I. Eguia (2013). "Aljebra: teoria eta ariketak. Mathematica programaren aplikazioa". Bilbo: Udako Euskal Unibertsitatea.

D.C. Lay (2007). "Álgebra Lineal y sus Aplicaciones". México: Prentice-Hall.

J.L. Malaina, M.L. González, A. Gallego y E. Martín (1995): "Lecciones básicas de Álgebra Lineal y Geometría". Bilbao: Servicio Editorial, Universidad del País Vasco

G. Strang (2005): "Linear Algebra and Its Applications". México: Wellesley-Cambridge Press.

E. Hernández (1994): "Algebra y Geometría". México: Addison-Wesley Iberoamericana.

Gehiago sakontzeko bibliografia

E. Alemany, A. Balaguer y J. Marín (2003). "Prácticas de Álgebra con Mathematica". Valencia: Ed. Universidad Politécnica.
J. Arvesú, F. Marcellán y J. Sánchez (2005). "Problemas resueltos de Álgebra Lineal". Madrid: Thomson/Paraninfo.
J. Burgos (1999). "Álgebra Lineal". Madrid: McGraw-Hill.
Castellet, Llerena (1991). "Álgebra Lineal y Geometría". Barcelona: Reverté.
J. B. Fraleigh y R. A. Beauregard (1989). "Álgebra Lineal". México: Addison-Wesley Iberoamericana.
S. I. Grossman (1996). "Álgebra Lineal con aplicaciones". México: Mc Graw-Hill.
S. Lang (1990). "Álgebra Lineal". México: Addison-Wesley Iberoamericana.
G. Nakos y D. Joyner (1999), "Álgebra Lineal con aplicaciones", Barcelona: Thomson.
J. Rojo e I. Martín (1994): "Ejercicios y problemas de Álgebra Lineal". Madrid: McGraw-Hill.

Web helbideak

Irakaskuntza plataforma: eGELA
https://ocw.ehu.eus/pluginfile.php/40513/mod_resource/content/1/fundamen_mate/Course_listing.html
https://ocw.ehu.eus/file.php/121/intro_calculo_num/material-de-estudio/index.html
https://ocw.ehu.eus/course/view.php?id=43
https://ocw.ehu.eus/course/view.php?id=477
https://ocw.ehu.eus/course/view.php?id=517
https://ocw.ehu.eus/course/view.php?id=533
http://reference.wolfram.com/language/tutorial/LinearAlgebraInMathematicaOverview.html
https://es.khanacademy.org/math/linear-algebra
https://hefferon.net/linearalgebra/
https://math.vanderbilt.edu/schectex/commerrs/
http://www.sectormatematica.cl/libros.htm