Irakasgai honen helbururik nagusiena Aljebra Linealako onarrizko kontzeptuak eta haien aplikazioa ezagutzea da. Era berean, ikasleak lengoaia matematikoa ulertu eta frogapen bideak erabiltzen jakin behar du.



Matematikako Graduan, Graduko bigarren mailan ikasten den Aljebra Lineala eta Geometria II irakasgaiarekin modulua partekatzen du. Irakasgai bi horiek, Aljebra linealeko eta Geometria afin eta euklidearra arloetako kontzeptu nagusietariko ezaguera, eta baita ere, horien erabilpena, problema linealak matrizeen bidez, eta planoko eta espazioko problema geometrikoak ebaztea dute helburu komun gisa. Halaber, bi irakasgai horiekin ikasleak materia horietan, oinarrizko eta horizontala den prestakuntza lor dezan espero da, eta horrela ikaslea gai izan dadin, lortutako ezaguera eta trebetasun horiek ulertzea eta aplikatzea, elkar erlazionatutako hainbat norabidetan. Halaber, irakasgai bietan ikasitako edukiak, goi mailako nahitaezko zein hautazko irakasgaietan erabiliko dira.



Fisikako Graduan, Ingeniaritza Elektronikoko Graduan eta Fisikako eta Ingeniaritza Elektronikoko Gradu bikoitzean, Aljebra Lineala eta Geometria I, Kalkulu diferentziala eta integrala I, Analisi bektoriala eta konplexua, eta Metodo matematikoak irakasgaiek Matematika modulua eratzen dute. Modulu honen helburu nagusiena, ikasleari, hurrenez hurren dagokion ikasketa planaren beste modulu batzuetako ezaugarri fisikoetan zentratzera baimentzen dion tresnari matematikoa eskuratzea da. Halaber, ikasleak estimua lortuko du abstrakzio matematikoagatik eta zorroztasun kontzeptualagatik.

GAITASUN ESPEZIFIKOAK

Jakin nola ebatzi ekuazio linealetako sistemak.

Espazio bektorial deritzon kontzeptu abstraktua eta harekin lotutako oinarrizko kontzeptuak ulertzea (azpiespazioak eta zatidura-espazioak, oinarriak eta sistema sortzaileak, aplikazio linealak).

Jakin nola diagonalizatu matrizeak eta kalkulatu matrize baten Jordan-en forma.

Jakin nola ortogonalizatu espazio euklidear bateko bektore-sistema bat.

Jakin nola diagonalizatu forma koadratikoa.

Puntu, bektore, distantzia eta angeluekin lan egitea espazio afin euklidearretan.

Erreferentzia-sistema, azpiespazio eta transformazio afinak era egokian erabiltzea.

Plano eta espazioko problema geometrikoak arrazoituz ebaztea.

Plano eta espazioko isometriak sailkatzea haien mota eta elementu karakteristikoak zehaztuz.



IRAKASGAIA IKASTEAREN EMAITZAK

Ekuazio linealetako sistemak ebazten, matrizeez eragiketak egiten eta determinanteak kalkulatzen jakitea

Matrizeak diagonalizatzen eta matrize baten Jordan-en forma kanonikoa kalkulatzen jakitea.

Espazio euklidear batean bektore-sistema bat ortogonalizatzen jakitea.

Forma koadratiko bat diagonalizatzen jakitea.

Puntu, bektore, distantzia eta angeluekin espazio afin euklidearretan lan egiten jakitea.

Erreferentzia-sistema, azpiespazio eta transformazio afinak era egokian erabiltzea.

1. ESPAZIO BEKTORIALAK: Espazio bektorialaren kontzeptua. Azpiespazio bektorialak. Espazio bektorial baten oinarriak eta dimentsioa. Oinarri-aldaketaren adierazpen matriziala.

2. APLIKAZIO LINEALAK: Aplikazio linealak. Aplikazio linealen nukleoa eta irudia. Espazio bektorialen arteko isomorfismoak. Aplikazio linealen adierazpen matriziala.

3. EKUAZIO LINEALETAKO SISTEMAK ETA DETERMINANTEAK: Matrize baten heina. Transformazio elementalak eta matrize baten heinaren kalkulua. Ekuazio linealetako sistemak. Rouché-Frobenius-en teorema. Talde simetrikoa. Matrize baten determinantea. Cramerren erregela.

4. ENDOMORFISMOEN DIAGONALIZAZIOA: Azpiespazio f-aldagaitzak. Balio eta bektore propioak. Polinomio karakteristikoa. Endomorfismo diagonalgarriak. Jordan-en forma kanonikorako sarrera.

5. FORMA BILINEAL ETA KOADRATIKOAK: Forma bilinealak. Forma bilinealen adierazpen matriziala. Ortogonaltasuna. Forma ez-endekatuak. Oinarri ortogonalak. Inertzia-legea. Forma koadratikoak.

6. ESPAZIO EUKLIDEARRAK: Biderketa eskalarra eta norma. Ortonormalizazioa. Azpiespazio ortogonalak. Endomorfismo autoadjuntuak. Isometriak.

7. GEOMETRIA AFINA: R^n-ren egitura afina. Azpiespazio afinak. Azpiespazio

afinen arteko posizio erlatiboa. Erreferentzi sistema afinak.

8. GEOMETRIA EUKLIDEARRA: R^n-ren egitura afin euklidearra. Perpendikulartasuna.

Distantziak eta angeluak. Planoaren eta espazioaren geometria afin euklidearra.

9. MUGIMENDU ETA ANTZEKOTASUNAK: Aplikazio afinak. Translazioak. Homoteziak. Simetriak. Proiekzioak. Biraketak. Mugimendu eta antzekotasunak. Mugimenduak planoan eta espazioan.

10. KONIKA ETA KOADRIKEN SARRERA: Koniken elementu geometrikoak. Koniken ekuazio laburtuak. Koadriken ekuazio laburtuak.

Eskola magistraleko metodologia erabiliz, saio magistraletan eduki teorikoa erakutsiko da, Bibliografian aipatzen diren oinarrizko erreferentziei eta nahitaezko erabilerako materialari jarraituz. Saio magistral horiek, ikasgela-praktika saioetan egindako ariketa saioekin osatuko dira. Azken aipatutako saio horietan, ikasleei, saio teorikoetan lortutako ezaguerak aplikatuz egindako galderak ebaztea proposatuko zaie. Azkenik, mintegi saioetan ikasleak ardura aktiboagoa hartuko du,

eta horietan irakasgaiaren edukiaren adierazgarriak diren adibideak eta galderak bere kabuz garatuko ditu.

• Ebaluazio Jarraituaren Sistema
• Azken Ebaluazioaren Sistema
• Kalifikazioko tresnak eta ehunekoak:
  • Ikusi Orientazioak eta Uko egitea (%): 100

EBALUAZIO-PROBAK

Ikasturtea bukatuta, ikasturte osoko edukia eta irakasgaiarekin lotutako gaitasunak ebaluatuko dituen bukaerako azterketa idatzia egingo da. Azterketa horren data, fakultateko azterketa-egutegi ofizialeko maiatza-ekaineko deialdian irakasgai honetarako agertuko den bigarren data izango da.



Horrez gain, ikasleek haien aurrerapena neurtzeko asmoz, bi azterketa partzial egingo dira. Lehenengoa urtarrileko deialdiko azterketa garaian egingo da eta lehenengo lauhilabetean (1-15 asteetan) ikusitako edukia ebaluatzea du helburu. Bigarrena, maiatza-ekaineko deialdiko lehenengo datan egingo da eta bigarren lauhilabetean (16-30 asteetan) ikusitako edukiari buruzkoa izango da. Bi azterketa partzialak ere idatzizko probak izango dira. Azterketa partzialetako bat, edo biak, gaindituz gero, ikasleak ez du eduki horri buruzko azterketarik egin beharko maiatza-ekaineko deialdiko bukaerako azterketan.



EBALUAZIO JARRAITUA:



KALIFIKAZIOA KALKULATZEKO EHUNEKOAK

Azterketa idatzia: %80-%100

Ahozko azalpena: %0%-%5

Entregatutako ariketak eta problemak: %0-%15



Irakasgaia gainditu ahal izateko, ezinbestekoa da azterketa finalean gutxienez 4 puntu ateratzea 10ren gainean.



EBALUAZIO EZ JARRAITUA: Azken azterketa idatzia %100

Ikasturte osoko edukia (1-30 asteak) eta irakasgaiarekin lotutako gaitasunak ebaluatuko dituen azterketa idatzia egingo da. Azterketa horren data, fakultateko azterketa-egutegi ofizialeko ez-ohiko deialdian ageri dena izango da.



Azken azterketa idatzia: %100

Klaseko apunteak. Proposatutako ariketak eta problemak.

Oinarrizko bibliografia

M. CASTELLET e I. LLERENA, Álgebra Lineal y Geometría, Reverté, 2000.

M. EIE, S. CHANG, A first course in linear algebra, World Scientific, 2016.

E. HERNÁNDEZ, M.J. VÁZQUEZ y M.A. ZURRO, Álgebra Lineal y Geometría, Pearson, 2012.

P. PETERSEN, Linear algebra, Springer-Verlag, 2012.

A. SHELDON, Aljebra Lineala ondo egina, Euskal Herriko Unibertsitateko Argitalpen Zerbitzua, UPV/EHU, 2017.

A. SHELDON, Linear Algebra Done Right, Springer International Publishing, 2015.

G. STRANG, Introduction to Linear Algebra, 5th ed. Wellesley-Cambridge Press, 2016.

A. VERA y P. ALEGRIA, Problemas de Geometría Analítica y Formas Bilineales. Murcia,1993.

A. VERA y J.M. ARREGI, Aljebra Lineala eta Geometria I, Ed. AVL, Bilbao 1998.

A. VERA, J.L. HERNANDO y F.J. VERA, Problemas de Algebra I, Ed. Ellacuria, Bilbao 1986.

A. VERA y F.J. VERA, Introducción al Álgebra. Ed. Ellacuria, Bilbao 1984.

Gehiago sakontzeko bibliografia

R. BENAVENT, Cuestiones sobre Álgebra Lineal, Paraninfo, 2011.
J. DE BURGOS, Álgebra lineal y Geometría cartesiana, MacGraw-Hill, 2006.
J. DE BURGOS, Test y Problemas Álgebra, García-Maroto Editores, 201
W. H. GREUB, Linear Algebra, Springer-Verlag, 1981.
I.M. GUELFAND, Lecciones de Álgebra Lineal, Servicio Editorial de la Universidad del País Vasco, 1986.
E. HERNÁNDEZ, Álgebra y Geometría, Addison Wesley, 1999.
J. IKRAMOV, Problemas de Álgebra Lineal, Mir, 1990.
I.V. PROSKURIAKOV, Problemas de Álgebra Lineal, Mir, 1986.

Web helbideak

https://ocw.ehu.eus/file.php/133/algebra/Course_listing.html
http://ocw.ehu.es/course/view.php?id=212
http://ocw.ehu.es/course/view.php?id=43
https://ocw.ehu.eus/course/view.php?id=343
http://ocw.ehu.es/ciencias-experimentales/introduccion-al-algebra-lineal/Course_listing
http://math.about.com/od/linearalgebra/Linear_Algebra_Help_and_Tutorials.htm