Irakasgai hau "Topologia eta Geometria Diferentziagarria" jakintza arloan agertzen da, "Topologia" eta "Kurba eta Gainazalen Geometria Globala" irakasgaiekin batera. Irakasgai honen helburua, espazioko kurbak eta gainazalak ikastea da, erabiliz horretarako kalkulu diferentziala eta integrala, eta topologia.

GAITASUNAK



M02CM01 - Kurbak eta gainazalak ikasteko beharrezkoak diren tresna analitikoak eta topologikoak ezagutzea.

M02CM02 - Kalkulu diferentziala, integrala eta topologia euklidearra erabiltzeko gai izatea ariketa geometrikoen ebazpenetan.

M02CM03 - Kurba eta gainazalen teoria lokalaren oinarrizko teoremak ezagutzea, eta problema geometrikoak ebazteko erabiltzen jakiteas.

M02CM05 - Kurben teoria lokala ikasteko Freenet-en Triedroa erabiltzen jakitea. Kurben luzera, kurbadura eta bihurdura lortzeko gai izatea.

M02CM06 - Gainazaletan koordenatuen bidez jardutea. Gainazalen kurbadurak lortzen jakitea.

M02CM07 - Ikasitako kontzeptuak erabiltzea biraketa gainazalak, gainazal erregelatuak eta minimalak aztertzeko.

M02CM08 - Gainazalen bektore-eremu ukitzailekin eta normalekin lan egitea eta ulertzea zer den bektore-eremuen garraiaketa paraleloa gainazalen gaineko kurben zehar.

M02CM09 - Ikasi eta lortu gainazaletan kurba geodesikoak.

M02CM10 - Kurbak eta gainazalak irudikatzeko eta bere osagaien kalkula egiketo, software eta baliabide informatikoak erabiltzen jakitea.



IRAKASGAIA IKASTEAREN EMAITZAK



Kurben teoria lokala ikasteko Freenet-en Triedroa erabiltzen jakitea.

Kurben luzera, kurbadura eta bihurdura lortzeko gai izatea.

Gainazaletan koordenatuen bidez jardutea.

Gainazalen kurbadurak lortzen jakitea.

Ikasitako kontzeptuak erabiltzea biraketa gainazalak, gainazal erregelatuak eta minimalak aztertzeko.

Gainazalen bektore-eremu ukitzailekin eta normalekin lan egitea eta ulertzea zer den bektore-eremuen garraiaketa paraleloa gainazalen gaineko kurben zehar.

Ikasi eta lortu gainazaletan kurba geodesikoak.

Kurbak eta gainazalak irudikatzeko eta bere osagaien kalkula egiketo, software eta baliabide informatikoak erabiltzen jakitea.

1. KURBAK ESPAZIO EUKLIDEARREAN: Kurbak parametrizatu erregularrak, parametrizazio baliokideak, parametro naturala, kurbadura, Frenet-en Triedroa, Frenet-en formulak, bihurdura, kurben teorema nagusia.



2. GAINAZAL ERREGULARRAK: Gainazal erregularrak, gainazalen gaineko funtzio diferentziagarriak, gainazalen arteko aplikazio diferentziagarriak, difeomorfismoak, gainazal baten gaineko bektore ukitzaileak, plano ukitzailea, gainazalen arteko aplikazioen diferentziala, tokiko difeomorfismo, lehen forma nagusia, bektore-eremuak, orientazioa, orientagarritasunaren ezaugarriak.



3. GAUSS-EN APLIKAZIOA: Gauss-en eta Weingarten-en aplikazioak, bigarren forma nagusia, kurbadura normalak, Meusnierren teorema, kurbadura nagusiak, norabide nagusiak, kurbadura lerroak, Olinde Rodriguesen teorema, Gaussen eta batezbesteko kurbadurak, gainazalen puntuen sailkapena, norabide asintotikoak, Dupinen adierazlea, norabide konjokatuak, Gaussen aplikazioa koordenatuetan, Weingartenen ekuazioak, Gaussen eta batezbesteko kurbaduren adierazpenak.



4. GAINAZALEN BEREZKO GEOMETRIA: Isometriak eta zatikako isometriak, aplikazio konformeak eta zatikako konformeak, Christoffelen ikurrak, Mainardi-Codazziren ekuazioak, Gaussen Egregium teorema, Bonneten teorema.



5. GEODESIKOAK: Bektore-eremuen deribatu kobariantea, kurba baten gaineko garraiaketa paraleloa, kurba geodesikoak, kurbadura geodesikoa, Liouvillen formula, kurba geodesikoen ekuazio diferentzialak, exponentziala aplikazioa, koordenatu geodesiko polarrak.

Eduki teorikoa klase magistraletan aurkeztuko da, bibliografian agertzen diren oinarrizko erreferentziei jarraituz. Klase magistralak ariketako klaseekin osatuko dira. Horietan, erakutsi egingo da nola erabiltzen den magistraletan ikasitakoa, ariketa erronkei aurrera egiteko.

Mintegietan, ordea, irakasgaiaren nondik norakoa argituko duten erronkak landu egingo dira, ikaslei aldez aurretik igorriak izan direnak, hausnarketaren zatirik handiena eurek egin dezaten.

Horrez gain ordenaigailu praktikak egingo dira irakasgaiaren gaitasunak lortzeko asmoarekin.

• Ebaluazio Jarraituaren Sistema
• Azken Ebaluazioaren Sistema
• Kalifikazioko tresnak eta ehunekoak:
  • Ikus ORIENTAZIOAK (%): 100

Nahitaezkoa izango da mintegietara eta ordenagailu praktiketara joatea.

Ordenagailu praktiketara joatea beharrezkoa denez, ikasleak kurtsoan zehar praktika horiek ez baditu egin praktika horiek menperatzen dituela erakutzi beharko du proba praktiko batean.



Praktika horiek aurreko moduan gainditu direnean, irakasgaia gainditu ahal izateko azterketa finalean 4 bat atera beharko da 10en gainean, eta azken nota honelaxe banatuko da: % 85 idatzitako azterketatik, % 10 ikasle bakoitzaren lanetatik eta %5 mintegietan egindako lanetatik.



Nolanahi ere, ikasleak azken ebaluazio sistemaren bidez ebaluatzeko eskubidea izango du, ebaluazio jarraituaren sisteman parte hartu duen edo ez kontuan hartu gabe. Horretarako, ikasleak idatziz aurkeztu beharko dio irakasleari ebaluazio jarraituari uko egiteko. Horretarako, 9 asteko epea izango dute ikastaroaren hasieratik zenbatzen hasita. Ordenagailu praktiketara joatea beharrezkoa denez, ikasleak kurtsoan zehar praktika horiek ez baditu egin praktika horiek menperatzen dituela erakutzi beharko du proba praktiko batean. Azken ebaluaziorako azterketa bat egingo da, notaren % 100a izango dena.

Ordenagailu praktiketara joatea beharrezkoa denez, ikasleak kurtsoan zehar praktika horiek ez baditu egin praktika horiek menperatzen dituela erakutzi beharko du proba praktiko batean.

Kurtsoan zehar praktika horiek modu egokian egin baditu, orduan ebaluazioa azterketa idatzi baten bidez soilik egingo da.

Oinarrizko bibliografia

M. P. DO CARMO, Diferencial de Curvas y Superficies, Alianza Universidad Textos 135, Alianza Editorial, 1990.

L. A. CORDERO, M. FERNANDEZ y A. GRAY, Geometría Diferencial de Curvas y

Superficies con Mathematica, Addison-Wesley Iberoamericana, 1995.

A. GRAY, Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces, Addison-Wesley, 1997.

C. C. HSIUNG, A First Course in Differential Geometry, International Press, 1997.

E. KREYSZIG, Differential Geometry, Dover, 1991.

J. McCLEARY, Geometry from a Differential Viewpoint, Cambtridge Univ. Press, 1994.

R. S. MILLMAN y G. D. PARKER, Elements of Differential Geometry, Prentice-Hall, 1977.

A. MONTESDEOCA, Apuntes de Geometría Diferencial de Curvas y Superficies, Col. Textos Univ. Gob. Canarias, 1996.

S. MONTIEL, A. ROS, Curvas y Superficies, Proyecto Sur, 1997.

J. OPREA, Differential Geometry and its Applications, Prentice Hall, 1997.