Funtsezkoak diren (taldeak, eraztunak eta gorputzak) egitura aljebraikoei dagokien sarrerako irakasgaia da hau. Aipatutako egitura aljebraiko horiek, lehenengo eta bigarren mailan ikasitako espazio bektorialen egiturekin batera (Aljebra I eta Aljebra II irakasgaietan ikasitakoak, hurrenez hurren), Aljebraren oinarriak eta fundamentuak osatzen dituzte. Aljebrako oinarri horiek, hurrengoko urteetan eskainiko diren, Aljebra Trukakorra, Ekuazio Aljebraikoak, Taldeak eta Adierazpenak, etabar irakasgaietan sakonduko dira ere.

GAITASUN ESPEZIFIKOAK



M01CM01 Taldearen kontzeptua ulertzea, beste irakasgai batzuetan ikusitako adibideetan oinarrituz: zenbaki-taldeak, hondar-klaseen taldeak, matrize-taldeak, etabar.



M01CM02 Talde-teoriaren oinarrizko kontzeptuak (azpitaldeak, azpitalde normalak, zatidura-taldeak, homomorfismoak,...) ezagutzea.



M01CM03 Talde-mota garrantzitsu batzuetan (talde ziklikoak, biderkadura zuzenak, talde simetrikoak,...) lan egiten jakitea eta haien propietate nagusiak ezagutzea.



M01CM04 Eraztun-teoriaren eta gorputz-teoriaren oinarrizko kontzeptuak (azpieraztunak, idealak, zatidura-eraztunak, homomorfismoak, karakteristika, zatikien grorputzak,...) ezagutzea.



M01CM05 Indeterminatu bateko polinomioen zatigarritasun-propietateak ezagutzea eta, bereziki, irreduzibilitaterako irizpide nagusiak aplikatzen jakitea.



IRAKASGAIA IKASTEAREN EMAITZAK



Talde teoriaren oinarrizko kontzeptuak (azpitaldeak, azpitalde normalak, zatidurak, homomorfismoak ...), eta talde garrantzitsuen (talde ziklikoen, biderkadura zuzenen, talde diedrikoen, talde simetrikoen,...) propietateak ezagutzea.



Eraztunen eta gorputzen teoriaren oinarrizko kontzeptuak ezagutzea, eta bereziki, ezezagun bateko edo gehiagoko polinomioen eraztunen oinarrizko kontzeptuak ezagutzea.

1. TALDEAK. OROKORTASUNAK: Taldearen kontzeptua. Adibideak (zenbaki-taldeak, Z/nZ eta haren unitateak, matrize-taldeak, simetria-taldeak,...). Azpitaldeak. Azpimultzo batek sortutako azpitaldea. Koklaseak eta azpitalde baten indizea.

Lagrangeren teorema. Azpitaldeen biderkadura. Elementu baten ordena. Talde ziklikoak.

2. AZPITALDE NORMALAK ETA ZATIDURA-TALDEAK: Konjugazioa eta haren propietateak. Azpitalde normalak. Zatidura-taldearen eraikuntza. Zatidura-taldearen azpitaldeak.

3. TALDE-HOMOMORFISMOAK: Talde-homomorfismoak. Homomorfismo baten nukleoa eta irudia. Talde isomorfoak. Isomorfia-teoremak.

4. TALDE ZIKLIKOAK ETA ABELDARRAK: Talde ziklikoen azpitaldeak. Biderkadura zuzenak. Talde abeldar finituen sailkapena. Ordena txikiko talde batzuen sailkapena.

5. TALDE SIMETRIKOA: Permutazioak, ziklo disjuntuetako deskonposizioa. Signatura. Talde simetrikoa eta talde alternatua. Konjugazioa talde simetrikoan. Cayleyren teorema. Talde alternatuen bakuntasuna.

6. ERAZTUNAK ETA GORPUTZAK: Eraztunak eta gorputzak, lehenengo propietateak. Karakteristika eta azpigorputz lehena. Integritate-domeinuak. Integritate-domeinu baten zatikien gorputza. Azpieraztunak, idealak eta eraztun-homomorfismoak. Ideal maximalak eta gorputzak. Hondarren teorema txinatarra.

7. INDETERMINATU BATEKO POLINOMIOAK: Indeterminatu bateko polinomioen faktorizazioa. Irreduzibilitaterako irizpideak. Polinomioen eraztunen zatidurak. Gorputz finituak.

Klase magistralak, mintegiak eta ariketa-klaseak. Ikasleek modu aktiboan parte hartu beharko dute ariketa-klaseetan, proposatutako problemak ebatziz.

• Azken Ebaluazioaren Sistema
• Kalifikazioko tresnak eta ehunekoak:
  • Ikus Orientazioak. (%): 100

Bi idatzizko proba egongo dira, bat partziala, eta bestea finala. Azken notan ikasle bakoitzaren interesa eta jarrera kontuan hartuko dira. Irakasgaiaren azken nota egindako ekintza guztien batuketa ponderatu bat da.

- Idatzizko azterketa finala (notaren %60-80)

- Idatzizko azterketa partziala (notaren %10)

- Gelako praktikak, banakako lanak eta/edo taldekako lanak (notaren %10-30)

Irakasgaia gainditu ahal izateko, ezinbestekoa da azterketa finalean gutxienez 4 puntu ateratzea 10ren gainean.

- Idatzizko azterketa finala (notaren %100)

Ez dago.

Oinarrizko bibliografia

J.D. DIXON, Problems in Group Theory. Dover, 1973.

S. LANG, Undergraduate Algebra, 2nd ed. Springer, New York, 2001.

G. NAVARRO, Un curso de álgebra. Universidad de Valencia, 2002.

A. VERA; F. VERA, Introducción al Algebra, I. Ellacuría, Bilbao, 1984.

A. VERA; F. VERA, Aljebrarako Sarrera, I. Ellacuría, 1991.

A. VERA; J. VERA, Problemas de Algebra, I: Teorías de Grupos y de Cuerpos. AVL, 1995.

Gehiago sakontzeko bibliografia

J. F. HUMPHREYS, A Course in Group Theory. Oxford University Press, 1996.
I. M. ISAACS, Algebra. A Graduate Course. Brooks/Cole Publishing Company, Pacific Grove, California, 1994.
H. KURZWEIL; B. Stellmacher, The Theory of Finite Groups. An Introduction. Universitext, Springer, New York, 2004.
J.S. ROSE, A course on Group Theory. Cambridge University Press, 1978.

Aldizkariak

Gai batzuen sarrerako kurtsoa dela eta, ez dira argitalpen periodikorik aholkatzen.

Web helbideak

http://mathworld.wolfram.com/topics/GroupTheory.html
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Development_group_theory.html
http://www.springerlink.com/content/u503q3/