Irakasgaiaren helburua ikaslea Topologia Orokorreko oinarrizko teknika eta nozioekin ohitzea da.

Lehendabizi ikasleak espazio topologikoak definitzeko modu ezberdinak ezagutzea da gure xedea, ireki oinarri eta azpionarriak, inurune-sistemak eta ingurune-oinarriak erabiliz. Lehenengo gai honetan espazio metrikoen azterketak arreta berezia merezi du.

Jarraian Topologia Orokorreko oinarrizko gai batzuk aztertzen dira: funtzioen jarraitutasuna, espazio topologiko eratorriak eraikitzea (biderkadura eta zatidura espazioak), trinkotasuna eta konexutasuna.



Irakasgaiaren helburua zera da, ikaslea topologiaren ezagutzarekin hastea, Geometria eta Topologia eta Analisi Matematiko arloetako beste hainbat irakasgaitan beharrezkoak diren oinarrizko egiturak aztertuz.

GAITASUN ESPEZIFIKOAK



M02CM11 - Espazio topologiko eta metrikoen oinarrizko kontzeptu, metodo eta emaitzak (eta horien frogapenak) ezagutzea eta bereganatzea.

M02CM12 - Jarraitutasuna, trinkotasuna eta konexutasunaren kontzeptuak ezagutzea eta erabiltzen jakitea.

M02CM13 - Egitura topologikoak adibide konkretuetan ezagutzea.

M02CM14 - Espazio topologikoen adibideak eraikitzea azpiespazio topologiko, biderkadura espazio eta zatidura espazioaren nozioak erabiliz.

M02CM15 - Segiden konbergentzia erabiltzea jarraitutasuna eta trinkotasuna aztertzeko.





IRAKASGAIA IKASTEAREN EMAITZAK



- Egitura topologikoak adibide konkretuetan ezagutzea.

- Espazio topologikoen adibideak eraikitzen jakitea azpiespazio topologiko, biderkadura espazio eta zatidura espazioaren nozioak erabiliz.

- Segiden konbergentzia erabiltzen jakitea jarraitutasuna eta trinkotasuna aztertzeko.

1. ESPAZIO TOPOLOGIKOAK: Topologia. Azpimultzo irekiak eta itxiak. Topologia baten oinarria eta azpionarria. Inguruneak. Ingurune-oinarriak. Distantzia. Espazio metrikoa. Bola irekiak eta itxiak.



2. AZPIMULTZOAK ESPAZIO TOPOLOGIKOETAN: Multzo baten barrualdea. Multzo baten itxitura. Metatze-puntuak eta puntu isolatuak. Multzo deribatua. Multzo baten muga.



3. JARRAIKITASUNA: Aplikazio jarraituak. Homeomorfismoak. Propietate topologikoak. Segidak espazio metrikoetan: konbergentzia eta segidazko jarraitutasuna.



4. ESPAZIO TOPOLOGIKOEN ERAIKUNTZA: Azpiespazioak. Aplikazio konbinatuak. Murgilketak. Biderkadura topologia. Proiekzioak. Zatidura topologia. Identifikazioak.



5. TRINKOTASUNA: Espazio eta azpimultzo trinkoak. Espazio trinkoen biderkadura. Segidazko trinkotasuna. Trinkotasuna Hausdorff espazioetan.



6. KONEXUTASUNA ETA BIDEZKO KONEXUTASUNA: Espazio eta azpimultzo konexuak. Osagai konexuak. Bideak espazio topologikoetan. Bidezko konexutasuna. Osagai bidez konexuak.

Eduki teorikoa eskola magistralen bidez azalduko da, horretarako bibliografian eta nahitaezko materialean ageri diren oinarrizko erreferentziak erabiliko direlarik.

Eskola magistral hauen osagarri gisa ariketa-eskolak erabiliko dira. Horietan, eskola teorikoetan landutako edukien alde praktikoa jorratuko da.

Azkenik, mintegietan ikasleek aktiboki parte hartuko dute eta klase horietan irakasgai honetako zenbait adibide edota ariketa adierazgarri ebatziko dituzte.

• Ebaluazio Jarraituaren Sistema
• Azken Ebaluazioaren Sistema
• Kalifikazioko tresnak eta ehunekoak:
  • Ikus ORIENTAZIOAK (%): 100

EBALUAZIO JARRAITUA



Azterketa idatzia. (Pisua: %70-%85)

Irizpideak:

- Arrarrazoibide eta definizioen doitasuna.

- Hizkuntza matematikoaren erabilera zuzena.

- Arrazoibide prozedura zuzena, erabilitako argudioen eta bitarteko pausuen azalpen argia eta ordenatuarekin.



Mintegiak (Pisua: %5-%10)

Irizpideak:

- Erantzun zuzenak eta hizkuntza matematikoaren erabilera zuzena.

- Arrarrazoibideen argitasuna.

- Ahozko aurkezpenetan, ordena eta doitasuna.



Idatzitako ariketen ebazpena (Pisua: %10-%20)

Irizpideak:

- Erantzun zuzenak eta hizkuntza matematikoaren erabilera zuzena.

- Arrarrazoibideen argitasuna.

- Entregatutako ariketetan, ordena eta doitasuna.



AZKEN EBALUAZIOA (ebaluazio jarraituari uko egiten dioten ikasleentzat)



Azterketa idatzia: 100%

Azterketa idatzia: 100%

Gelako apunteak. Proposatutako ariketen zerrendak.

Oinarrizko bibliografia

Teoria



R. AYALA, E. DOMINGUEZ y A. QUINTERO; Elementos de Topología General, Addison-Wesley Iberoamericana, 1997.

J. R. MUNKRES, Topología, Prentice Hall, 2002.

S. WILLARD, General Topology, Dover Publications Inc, 2004.



Ariketak



G. FLEITAS MORALES Y MARGALEF ROIG, Problemas de Topología General, Alhambra, 1980.

G. FLORY; Ejercicios de Topología y Análisis, Reverté, 1978.

E.G. MILEWSKI, Problem solvers. Topology, Research & Education Association, 1994.

Gehiago sakontzeko bibliografia

I. ADAMSON; A General Topology Workbook, Birkhäuser, 1995.
E. BURRONI, J. PENON, La géometrie du caoutchouc. Topologie, Ellipses, 2000.
L. A. STEEN y J. A. SEEBACH, Counterexamples in Topology, Dover, 1995.
O. YA. VIRO, O. A. IVANOV, N. YU. NETSVETAEV y V. M. KHARLAMOV, Elementary Topology. Problem Textbook, AMS, 2008.

Aldizkariak

Americal Mathematical Monthly

Web helbideak

Topology without tears
http://www.topologywithouttears.net/

Topology Atlas
http://at.yorku.ca/topology/