Irakaskuntzaren helburua ekuazio diferentzial arrunten zenbakizko soluzioa hurbiltzeko zenbakizko analisiak eskaintzen dituen oinarrizko metodorik eta tresnarik garrantzitsuenetako batzuk sistematikoki aurkeztea da. Kurtsoan zehar ezinbestekoa da ordenagailu praktikak burutzea, bai programazio zientifikoko lengoaia batez edota ikasitako metodo batzuk aplikatu eta kudeatu egiten dituzten pakete informatikoak erabiliz. Irakasgai hau bigarren mailako Zenbakizko Metodoak I irakasgaiarekin eta hirugarren mailako Ekuazio Diferentzialak eta Eredu Matematikoak irakasgaiekin erlazionatuta daude.

GAITASUNAK



M05CM01 - Zenbakizko kalkuluko oinarrizko tresnak ezagutzea eta problemak ebazteko balio duten algoritmo edo metodo konstruktiboetan bihurtzea.

M05CM02 - Ikasitako zenbakizko metodoak ordenagailuaz programazio lengoai estrukturatsuaz inplementatzea eta modu eraginkorrez aplikatzea.

M05CM03 - Ikasitako metodo batzuk aplikatu eta kudeatu egiten duten pakete informatikoak erabiltzea eta oinarri bezala integratzea norberak egindako programetan.

M05CM04 - Errorearen analisia, lan konputazionala eta beste ezaugarrien arabera, problema bereziaren gainean metodo bakoitzaren erabilpenaren egokitasuna aztertzea.

M05CM05 - Simulazio baten bidez lortutako emaitzak balioztatu, irudikatu eta ondorioak atera.



IRAKASGAIA IKASTEAREN EMAITZAK

Hastapen baldintzetako problemak eta ekuazio diferentzial arrunteko sistemak zenbakizkoki ebazteko balio duten metodorik garrantzitsuenak ezagutzea eta aplikatzen jakitea.

1. ZENBAKIZKO INTERPOLAZIORAKO SARRERA:

Interpolazio polinomiala. Lagrangeren interpolazioa. Hermiteren interpolazioa. Interpolazio arrazionala.



2. ZENBAKIZKO INTEGRAZIO ETA DERIBAZIO METODOAK: Newton Cotesen formulak. Richardsonen estrapolazioa. Romberg-en integrazioa. Integrazio orokorreko formulak. Koadratura gaussiarra.



EKUAZIO DIFERENTZIAL ARRUNTEN ZENBAKIZKO EBAZPENA



3. SARRERA: Ordena handiko ekuazioen murrizketa. Diferentzia linealezko ekuazioak. Eulerren metodoa.



4. URRATS BATEKO METODOAK. R-K: Runge-Kutta metodoak. Runge-Kutta metodoen egonkortasuna.



5. URRATS ANITZEKO METODO LINEALAK: Urrats anitzeko metodo linealen egonkortasuna. Metodo aurresale-zuzentzaileak. Metodo aurresale-zuzentzaileen egonkortasuna.



6. DIFERENTZIA ATZERAKORREZKO METODOAK: Diferentzia atzerakorrezko Adams metodoak. BDF formula.



7. STIFF SISTEMAK: Kontzeptuaren interpretazioa. Egonkortasunaren definizioa stiff sistemetan. Esponentzialaren Padéren hurbilketak. Stiff sistemetarako metodoak.



EDUKI PRAKTIKOAK

Ikasgaiaren zati teorikoan ikasten eta analizatzen diren zenbait algoritmo aplikatzen dituen ordenagailu praktikak egin behar dira.

Eskola magistraletan ikasgaiaren eduki teorikoak garatuko dira bibliografian agertzen diren oinarrizko erreferentziei jarraituz. Eskola teorikoekin batera, ariketa saioak eskainiko dira (gelako praktikak); azken horietan ikasleei erantzuteko galderak proposatuko zaizkie, non eskola teorikoan garatutako kontzeptuak aplikatzen diren. Mintegietan ikasgaiaren edukiari lotutako galdera eta adibide esanguratsuak garatuko dira. Mintegia burutu baino lehen, ikasleei galdera eta adibideak bideratuko zaizkie, saioan bertan hausnarketa eta eztabaida sustatzeko. Horretaz gain, irakasgaiaren gaitasunaz jabetzeko, ordenagailu praktikak egingo dira.

• Ebaluazio Jarraituaren Sistema
• Azken Ebaluazioaren Sistema
• Kalifikazioko tresnak eta ehunekoak:
  • Garatu beharreko proba idatzia (%): 60
  • Praktikak egitea (ariketak, kasuak edo buruketak) (%): 20
  • Banakako lanak (%): 20

Idatzizko azterketak (notaren %60)

Ordenagailu praktikak (notaren %20)

Banakako problemak eta lanak (notaren %20)



Azterketan eta ordenagailu praktiketan gutxienez 4 puntuko kalifikazioa ateratzea ezinbestekoa da, aurretik zehaztutako portzentajeak eta irizpideak gauzatzeko.



Ordenagailu praktikak indibidualki edo bikoteka egingo dira. Talde bakoitzak bere praktikak era autonomoan egingo ditu, hau da, haien edukiak beste taldeekin partekatu gabe. Baldin eta bi talderen arteko programen egituran antzekotasun nabariak aurkitzen badira, praktika horiek automatikoki baliogabetuta geratuko dira. Praktiken entrega derrigorrezkoa da, praktika horien defentsa edo banakako azterketa egiteko eskubidea izateko, halako moldez non gaitasunen menderatzea bermatzen den, eta norberaren nota zehaztea posiblea den.



Ikasturteko bigarren lauhilabetekoaren lehenengo 9 asteetan zehar eskatzen duten ikasleek ebaluazio jarraituari uko egiteko eskubidea izango dute. Horretarako, irakasgaiko koordinatzaileari sinatutako dokumentuan jakinaraziko zaio. Orduan, irakasgaiaren gaitasunen menderatzea bermatzen duen "ebaluazio bakarreko" modalitateaz ordeztuko da. Ebaluazio mota hori proba bakar batez edo zenbait probaz osatuta egongo da, hala nola idatzizko azterketa, irakasgaiaren gaitasunekin eta edukiekin erlazionatutako materialei buruzko ahozko aurkezpena edo programazio azterketa praktikoa.



Deialdi bakoitzeko azterketako data ofizialean aurkezten ez diren ikasleak deialdiari uko egin dioten bezalakoak hartuko dira, eta irakasgaiko irakasleek horrela erregistratuko dituzte.



Ebaluazio-probak egiten diren bitartean, baldin eta irakasgaiko irakasleek berariaz eta idatziz baimendu ez badute, debekatuta dago liburuak, oharrak edota apunteak erabiltzea. Horretaz gain, gailu elektronikoak, telefonikoak, informatikoak edo bestelakoak erabiltzea ere debekatuta dago. Banakako probetan, debekatuta dago pertsonen arteko edozein motatako lankidetza eta material akademikoa partekatzea. Irregulartasunik, araugabeko jardunbiderik edo iruzurrik antzemanez gero, "UPV/EHUko ebaluazio probetan eta lan akademikoetan jokabide makur eta iruzurrezkoak eragozteari eta etika akademikoari buruzko protokoloan" esandakoa aplikatuko da. Araudi hori esteka honetan kontsulta daiteke:



https://www.ehu.eus/eu/web/graduak/araudia



Aipatutako protokoloan zehapen-araubidea aipatzen da, "Decreto de 8 de septiembre de 1954 por el que

se aprueba el Reglamento de disciplina académica de los Centros oficiales de Enseñanza Superior y de Enseñanza Técnica dependientes del Ministerio de Educación Nacional, que recoge las acciones consideradas infracciones, y las posibles sanciones a imponer tras su comisión", non 5.4 artikuluan "hutsegite larritzat" jarrera batzuk zehazten diren, besteak beste, "La suplantación de personalidad en actos de la vida docente y la falsificación de documentos".



Ebaluazio-probak aurrez aurre egingo dira, baldin eta egungo egoerak baimentzen badu eta agintari eskudunek ez badute horren aurkako agindurik ematen.

Ezohiko deialdian ohiko deialdian aplikatutako ebaluazio irizpide berberak erabiliko dira. Idatzizko azterketaz gain proposatutako jarduera osagarri ebaluagarriak gainditu gabe edukitzeak ez du jarduera horiek burutzeko behar diren ezagutza eta gaitasuna frogatzetik salbuesten. Beraz, irakasleek ezagutza horiek balioztatzea bermatzen duen proba bat proposa dezakete. Behin betiko notan proba horren balioa ohiko deialdian bezainbesteko proportzioan kontuan hartuko da. Proposatutako proba ahozko aurkezpena, ordenagailuarekiko saioa, banakako lana prestatzea zein jarduera osagarrietan ikasitako ezagutza praktikoen idatzizko deskribapena izan daiteke.

eGela gela birtualean argitaratutako edukiak.

Oinarrizko bibliografia

D.F. Griffiths and D.J. Higham: Numerical Methods for O.D.E. Initial Values Problems, Springer, 2010.



E. Hairer and S.P. Nørsett, and G. Wanner: Solving Ordinary Differential Equations I. Non-Stiff Problems. Springer, 1987.



M.H. Holmes: Introduction to Scientific Computing and Data Analysis, Springer, 2016.



S.D. Lambert: Numerical Methods for Ordinary Differential Systems. John Wiley & Sons, 1991.



C.D. Moler: Numerical Computing with MATALB. SIAM 2004.



J. Stoer, R. Bulirsch: Introduction to Numerical Analysis. Springer, 1983.



L.F. Shampine and I. Gladwelll and S, Thompson: Solving O.D.E. with MATLAB. Cambridge, 2003.

Gehiago sakontzeko bibliografia

J.C. Butcher: The Numerical Analysis of Ordinary Differential Equations. John Wiley & Sons, 1987

E. Hairer, S.P. Nørsett, G. Wanner: Solving Ordinary Differential Equations II. Stiff and Differential-Algebraic Problems. Springer, 1996.

L.N. Trefethen and A. Birkisson and T.A. Driscoll: Exploring ODEs. SIAM 2018.

Web helbideak

Octave: https://www.gnu.org/software/octave/index

Python: https://www.scipy.org/

C & C++ (GNU): https://www.gnu.org/software/gsl/

netlib: http://www.netlib.org/